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2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)理科数学


2013 年普通高等学校统一考试(江苏卷)数学试题

卷Ⅰ 必做题部分
一.填空题。 1.函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) 的最小正周期为

。 。 。

2.设 z ? (2 ? i) 2 ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为

/>
x y ? ? 1 的两条渐近线的方程为 16 9 4.集合 {?1,0,1} 共有 个子集。 5.下图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是
3.双曲线

2

2



6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩(单位:环) ,结果如下: 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 87 91 90 89 93 甲 89 90 91 88 92 乙 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 。 7.现在某类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m , n ( m ? 7 , n ? 9 )可以任意选取,则 m,n 都取到奇数 的概率为 。 8.如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是 AB,AC,AA 的中点,设三棱锥 F ? ADE 的 1 体积为 V1 ,三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积为 V2 ,则 V1 :V2 ? 。

C1 A1
F E A D

B1

C
B
2

9.抛物线 y ? x 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部与边界) 。若点 P( x, y) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是 。 10.设 D,E 分别是 ?ABC 的边 AB,BC 上的点, AD ? ( ?1,?2 为实数) ,则 ?1 ? ?2 的值为 。

1 2 AB , BE ? BC ,若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC 2 3

2 11.已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数。当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间 表示为 。

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 F ,右准线为 a 2 b2 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d2 ,若 d2 ? 6d1 ,则 椭圆 C 的离心率为 。 1 13.在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a ) , P 是函数 y ? ( x ? 0 )图象上一动点,若点 P,A 之 x 间的最短距离为 2 2 ,则满 足条件的实数 a 的所有值为 。 1 14.在正项等比数列 {an } 中, a5 ? , a6 ? a7 ? 3 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最大正整数 n 2
12.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为 的值为 二.解答题: 。 15.本小题满分 14 分。已知 a (cos ?,sin ?),? (cos ?,sin ?) , 0 ? ? ? ? ? ? 。 = b (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值。

?

?

? ?

?

?

?

? ?

?

16.本小题满分 14 分。 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB ,过 A 作 AF ? SB , 垂足为 F ,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点. 求证: (1)平面 EFG // 平面 ABC ; (2) BC ? SA .

S
E
F

G C

A B

17.本小题满分 14 分。如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径 为 1 ,圆心在 l 上。 (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。 y A l

O

x

18.本小题满分 16 分。如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线 步行到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C 。现有甲.乙两位游客从 A 处

下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m / min 。在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从匀速步行到 C 。假设缆车匀速直线运动的速度为 130m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量,

12 3 , cos C ? 。 13 5 (1)求索道 AB 的长; cos A ?
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? A B

C

19. 本小题满分 16 分。 {an } 是首项为 a , 设 公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , n 是其前 n 项和。 bn ? 记 S

nS n , n2 ? c

n ? N * ,其中 c 为实数。 (1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ) ; (2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 。
20.本小题满分 16 分。
x 设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e ? ax,其中 a 为实数。 (1)若 f (x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g (x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围;

(2)若 g (x) 在 (?1,??) 上是单调增函数, 试求 f (x) 的零点个数,并证明你的结论。

卷Ⅱ 附加题部分答案 word 版
[选做题]第 21 题,本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多 ...... 做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21.A.[选修 4-1:几何证明选讲]本小题满分 10 分。 如图, AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D , C , AC 经过圆心 O ,且 BC ? 2OC 求证: AC ? 2 AD

21.B.[选修 4-2:矩阵与变换]本小题满分 10 分。 已知矩阵 A ? ?

??1 0 ? ?1 2 ? ?1 ? , B ? ?0 6 ? ,求矩阵 A B 。 ?0 2 ? ? ?

21.C.[选修 4-4:坐标系与参数方程]本小题满分 10 分。

在平面直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

( ? 为参数) ,试求直线 l 与曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标。 21.D.[选修 4-5:不定式选讲]本小题满分 10 分。
3 3 2 2 已知 a ? b >0,求证: 2a ? b ? 2ab ? a b

? x ? 2 tan 2 ? ?x ? t ? 1 ( t 为参数)曲线 C 的参数方程为 ? , ? y ? 2t ? y ? 2 tan ?

[必做题]第 22、23 题,每题 10 分,共 20 分。请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤。 22.本小题满分 10 分。 如图,在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, AB ? AC , AB ? AC ? 2 , AA1 ? 4 ,点 D 是 BC 的中点 (1)求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值 (2)求平面 ADC1 与 ABA 所成二面角的正弦值。 1

23.本小题满分 10 分。 设 数 列

1 ,- 2 ?an?: ,-

k个 ????????? k1 ) - 1 2 ,- ,- ,-3,- , , ( - ) k, ,( 4 k k 4, 1 即 , 3 , , ? 3 4 1 ? 4



(k ? 1 k ) (k ? 1 k ) ?n? (- k ? k ? N ? ? 时, an ? 1)?1k ,记 Sn ? a1 ? a2 ?? an ? n ? N ? ? ,对于 l ? N ? , 2 2 ? 定义集合 Pl ? ?n S n 是an的整数倍,n ? N ,且1 ? n ? l?
(1)求集合 P11 中元素的个数; (2)求集合 P2000 中元素的个数。

参考答案 一、填空题 1. ? 10. 2.5 3. y ? ?

3 x 4

4.8

5.3

6.2

7.

20 . 8. 1: 24 63

9. ?? 2,

? ?

1? 2? ?

1 2

11. ?? 5,0? ? ?5,???

12.

3 3

13. ?1 或

10
2

14.12

二、解答题 15.解: (1)∵ | a ? b |? 又∵ a ?| a | ? cos
2 2 2

2

∴| a ? b |

2

? 2 即 a ? b ? a ? 2ab ? b ? 2 ,

? ?

2

2

? ? sin 2 ? ? 1, b ?| b | 2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ∴ 2 ? 2ab ? 2 ∴ ab ? 0 ∴ a ? b ?cos? ? cos ? ? 0 ?cos? ? ? cos ? (2)∵ a ? b ? (cos? ? cos? , sin ? ? sin ? ) ? (0,1) ∴? 即? ?sin ? ? sin ? ? 1 ?sin ? ? 1 ? sin ? 1 1 两 边 分 别 平 方 再 相 加 得 : 1 ? 2 ? 2 sin ? ∴ sin ? ? ∴ sin ? ? ∵ 0 ? ? ?? ?? ∴ 2 2

2

? ? ?,? ? ?
16.证明: (1)∵ AS ? AB , AF ? SB ∴F 分别是 SB 的中点 ∵E.F 分别是 SA.SB 的中点 ∴EF∥AB 又∵EF ? 平面 ABC, AB ? 平面 ABC ∴EF∥平面 ABC 同理:F G∥平面 ABC 又∵EF ? FG=F, EF.FG ? 平面 ABC∴平面 EFG // 平面 ABC (2)∵平面 SAB ? 平面 SBC 平面 SAB ? 平面 SBC =BC AF ? 平面 SAB AF⊥SB ∴AF⊥平面 SBC 又∵BC ? 平面 SBC ∴AF⊥BC 又∵ AB ? BC , AB ? AF=A, AB.AF ? 平面 SAB 17.解: (1)由 ?

5 6

1 6

∴BC⊥平面 SAB 又∵SA ? 平面 SAB∴BC⊥SA

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2) ,∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1
2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3)

? ( y ? 2) 2 ? 1
3 4

显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0 ∴

3k ? 2 ? 3 k 2 ?1

? 1∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4 (2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4)
∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ? 则圆 C 的方程为: ( x ? a)
2

? ?y ? (2a ? 4)? ? 1
2

又∵ MA ? 2 MO ∴设 M 为(x,y)则 ∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2
2

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 整理得: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 设为圆 D
即:圆 C 和圆 D 有交点

a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1

由 5a ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R

12 5 ? 12 ? 终上所述, a 的取值范围为: ?0, ? ? 5? 12 3 18.解: (1)∵ cos A ? , cos C ? 13 5 ? 5 4 ( ∴ A、C ? 0, ) sinA ? ∴ , sinC ? 2 13 5
由 5a ? 12a ? 0 得 0 ? x ?
2

( ? ∴ sinB ? sin ? ? A ? C)? sin(A ? C) sinAcos C ? cos AsinC ?
根据

?

?

63 65

AB AC AC ? sinC ? 1040 m 得 AB ? sinC sinB sinB
2

(2)设乙出发 t 分钟后,甲.乙距离为 d,则 d

? (130 t ) 2 ? (100 ? 50t ) 2 ? 2 ? 130t ? (100 ? 50t ) ?

12 13

? 200(37t 2 ? 70t ? 50) 1040 ∵0 ? t ? 即0 ? t ? 8 130
∴d
2

35 35 时,即乙出发 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最 短。 37 37 AC 1260 5 BC AC sin A ? ? 500 (m) ? (3)由正弦定理 得 BC ? 63 13 sinB sinA sinB 65
∴t ? 乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m) ,还需走 710 m 才能到达 C

500 710 ? ?3 v 50 500 710 1250 625 ? ? 3∴ ?v? ∴?3? v 50 43 14
设乙的步行速度为 V m / min ,则 ∴为使两 位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 ?

?1250 625? , ? 范围内 ? 43 14 ?

法二:解: (1)如图作 BD⊥CA 于点 D, 设 BD=20k,则 DC=25k,AD=48k, AB=52k,由 AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)设乙出发 x 分钟后到达点 M, 此时甲到达 N 点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 2 2 2 2 由余弦定理得:MN =AM +AN -2 AM·ANcosA=7400 x -14000 x+10000, 35 其中 0≤x≤8,当 x= (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. 37 1260 126 (3)由(1)知:BC=500m,甲到 C 用时: = (min). 50 5 126 141 86 若甲等乙 3 分钟,则乙到 C 用时: +3= (min),在 BC 上用时: (min) . 5 5 5 86 1250 此时乙的速度最小,且为:500÷ = m/min. 5 43 126 111 56 若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时: -3= (min),在 BC 上用时: (min) . 5 5 5 56 625 此时乙的速度最大,且为:500÷ = m/ min. 5 14 1250 625 故乙步行的速度应控制在[ , ]范围内. 43 14

M B D C N

A

19.证明:∵ {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和 ∴ S n ? na ? (1)∵ c ? 0

n(n ? 1) d 2
∴ bn ?

Sn n ?1 ?a? d n 2
∴ b2
2

1 3 ? b1b4 ∴ (a ? d ) 2 ? a(a ? d ) 2 2 1 1 2 1 1 1 ∴ ad ? d ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 ∵ d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2 4 2 2 2
∵ b1,b2,b4 成等比数列

∴ S n ? na ? ∴左边= S nk

n(n ? 1) n(n ? 1) d ? na ? 2a ? n 2 a 2 2 2 2 2 ? (nk) a ? n k a 右边= n 2 S k ? n 2 k 2 a

∴左边=右边∴原式成立 (2)∵ {bn } 是等差数列∴设公差为 d1 ,∴ bn

? b1 ? (n ? 1)d1 带入 bn ?

nS n 得: n2 ? c

b1 ? (n ? 1)d1 ?

nSn 1 1 3 2 ? ∴ (d1 ? d )n ? (b1 ? d1 ? a ? d )n ? cd 1 n ? c(d1 ? b1 ) 对 n ? N 恒成立 2 2 2 n ?c

1 ? ?d1 ? 2 d ? 0 ? 1 ? ∴ ?b1 ? d1 ? a ? d ? 0 2 ? cd1 ? 0 ? ?c(d ? b ) ? 0 ? 1 1 1 由①式得: d 1 ? d ∵ d ? 0 2 由③式得: c ? 0
法二:证: (1)若 c



d1 ? 0
n[( n ? 1)d ? 2a ] (n ? 1) d ? 2a , bn ? . 2 2

? 0 ,则 an ? a ? (n ? 1)d , S n ?
2

当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 即: ? a ?

? b1b4 ,

d? 3d ? ? 2 ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2? 2 ? ? 2 2 2 2 2 2 2 由此: S n ? n a , S nk ? (nk) a ? n k a , n S k ? n k a .
. ? n 2 Sk ( k , n ? N * ) (n ? 1)d ? 2a n2 nSn 2 (2) bn ? 2 , ? 2 n ?c n ?c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a n2 ?c ?c 2 2 2 ? 2 n ?c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 n2 ? c 若 {bn } 是等差数列,则 bn ? An ? Bn 型. 故: Snk 观察(※) 式后一项,分子幂低于分母幂,

? ?

2

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 ? 0 ,而 故有: ≠0, ? 0 ,即 c 2 2 2 n ?c 故 c ? 0 .经检验,当 c ? 0 时 {bn } 是等差数列. c
20.解: (1)由 f ( x ) ?
'

1 1 ?1? ? a ? 0 即 ? a 对 x ? (1,??) 恒成立,∴ a ? ? ? max x x ?x?

1 <1 ∴a ?1 x ' x ' 由 g ( x) ? e ? a 令 g ( x) ? 0 则 x ? ln a ' ' 当 x < ln a 时 g ( x) <0,当 x > ln a 时 g ( x) >0,
而由 x ? (1,??) 知

∵ g (x) 在 (1,??) 上有最小值 ∴ ln a >1 ∴a>e 综上所述: a 的取值范围为 (e,??) (2)证明:∵ g (x) 在 (?1,??) 上是单调增函数

( x) ? e x ? a ? 0 即 a ? e x 对 x ? (?1,??) 恒成立, x ∴ a ? e min 1 1 x 而当 x ? (?1,??) 时, e > ∴a ? e e
∴g
'

? ?

分三种情况: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x ) ?
'

∵ f (1) ? 0

1 >0 x

∴f(x)在 x ? (0,??) 上为单调增函数

∴f(x)存在唯一零点
'

1 ? a >0 ∴f(x)在 x ? (0,??) 上为单调增函数 x a a a ∵ f (e ) ? a ? ae ? a(1 ? e ) <0 且 f (1) ? ?a >0
(Ⅱ)当 a <0 时, f ( x ) ? ∴f(x)存在唯一零点

1 1 1 ' ' 时, f ( x ) ? ? a ,令 f ( x) ? 0 得 x ? e x a 1 1 ? a( x ? ) ? a( x ? ) 1 ' a >0; x > 1 时, f ' ( x) ? a <0 ∵当 0< x < 时, f ( x) ? a a x x 1 1 1 1 ∴ x ? 为最大值点,最大值为 f ( ) ? ln ? a ? ? ln a ? 1 a a a a 1 1 ①当 ? ln a ? 1 ? 0 时, ? ln a ? 1 ? 0 , a ? , f (x ) 有唯一零点 x ? ? e e a 1 ②当 ? ln a ? 1 >0 时,0< a ? , f (x ) 有两个零点 e 1 1 1 1 a 1 1 1 实际上,对于 0< a ? ,由于 f ( ) ? ln ? a ? ?1 ? <0, f ( ) ? ln ? a ? ? ln a ? 1 >0 e e e e e a a a ?1 1? ?1 1? 且函数在 ? , ? 上的图像不间断 ∴函数 f (x ) 在 ? , ? 上有存在零点 ?e a? ?e a? 1 ? 1? ? 1? ? 1? ' 另外,当 x ? ? 0, ? , f ( x ) ? ? a >0,故 f (x ) 在 ? 0, ? 上单调增,∴ f (x ) 在 ? 0, ? 只有一个零点 x ? a? ? a? ? a? ?1 ? a ?1 a ?1 a ?1 ?1 a ?1 ?2 a ?1 下面考虑 f (x ) 在 ? ,?? ? 的情况,先证 f (e ) ? ln e ? ae ? a ln e ? ae ? a(a ? e ) <0 ?a ? x 2 x 2 ' x x 为此我们要证明:当 x > e 时, e > x ,设 h( x) ? e ? x ,则 h ( x) ? e ? 2 x ,再设 l ( x) ? e ? 2 x
(Ⅲ)当 0< a ?

( x) ? e x ? 2 ' x x 当 x >1 时, l ( x) ? e ? 2 > e -2>0, l ( x) ? e ? 2 x 在 ?1,??? 上是单调增函数 ' x ' 2 故当 x >2 时, h ( x) ? e ? 2 x > h (2) ? e ? 4 >0 x 2 x 2 e 2 从而 h( x) ? e ? x 在 ?2,??? 上是单调增函数,进而当 x > e 时, h( x) ? e ? x > h(e) ? e ? e >0 x 2 即当 x > e 时, e > x , 1 ?1 a ?1 a ?1 a ?1 ?1 a ?1 ?2 a ?1 当 0< a < 时,即 a >e 时, f (e ) ? ln e ? ae ? a ln e ? ae ? a(a ? e ) <0 e 1 1 1 ?1 a ?1 又 f ( ) ? ln ? a ? ? ln a ? 1 >0 且函数 f (x ) 在 a , e 上的图像不间断, a a a
∴l
'

?

?

1 ?1 a ' ∴函数 f (x ) 在 a , e 上有存在零点,又当 x > 时, f ( x) ? a ?1 单调减函数∴函数 f (x ) 在 a ,?? 只有一个零点
?1

?

?

?

?

1 ? a( x ? ) a <0 故 f (x) 在 ?a ?1 ,??? 上是 x
1 时, f (x ) 的零点个数为 2 e

综合(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)知:当 a ? 0 时, f (x ) 的零点个数为 1;当 0< a < 21.A 证明:连接 OD,∵AB 与 BC 分别与圆 O 相切于点 D 与 C ∴ ?ADO ? ?ACB ? 90 ,又∵ ?A ? ?A ∴ RT?ADO ~ RT?ACB
0



BC AC ? OD AD

又∵BC=2 OC=2OD

∴AC=2AD

?a ?b ? ?? a ? ? b? ?1? 0? ?? 1? 0? ?a ?b ? ?1? 0? ? ,则 ?0? 2 ? ?c ?d ? = ?0 ?1? ,即 ?2c ?2d ? = ?0 ?1? , ?c ?d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? 1? 0 ? 1 ?1 ?, 故 a=-1,b=0,c=0,d= ∴矩阵 A 的逆矩阵为 A ? ? ?0 ? ? 1 ? 2 2? ? ?? 1? 0 ? ?1?2 ? ?? 1? ? 2? ?1 ∴ A B=? = 1? ? ?0 ? ? ? ?0?6? ?? 0? ? 3 ? ? ? ? 2? ? ?x ? t ? 1 21.C 解:∵直线 l 的参数方程为 ? ∴消去参数 t 后得直线的普通方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ① ? y ? 2t
21.B 解:设矩阵 A 的逆矩阵为 ? 同理得曲线 C 的普通方程为

y 2 ? 2x



1 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 21.D 证明:∵ 2a ? b ? 2ab ? a b ? 2a ? 2ab ? (a b ? b ) ? 2a a ? b ? b(a ? b )
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为 ( 2,2) , ( ,?1)

? a 2 ? b 2 (2a ? b) ? (a ? b)(a ? b)(2a ? b) 又∵ a ? b >0,∴ a ? b >0, a ? b ? 0 2a ? b ? 0 , ∴ (a ? b)(a ? b)(2a ? b) ? 0 3 3 2 2 ∴ 2a ? b ? 2ab ? a b ? 0 3 3 2 2 ∴ 2a ? b ? 2ab ? a b
22.本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力。 解: (1)以

?

?

?

?

?

?

?AB, AC, AA ?为为单位正交基底建立空间直角坐标系 A ? xyz ,
1

则 A(0,0,0) B(2,0,0) , C (0,2,0) , A1 (0,0,4) , D(1,1,0) , C1 (0,2,4) ∴ A1 B ? (2,0,?4) , A1 B ? (1,?1,?4)

∴ cos ?

A1 B, C1 D ??

A1 B ? C1 D A1 B C1 D

?

18 20 18

?

3 10 10

∴异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值为

3 10 10

(2) AC ? (0,2,0) 是平面 ABA 的的一个法向量 1 设平面 ADC1 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,∵ AD ? (1,1,0) , AC1 由m?

? (0,2,4)

AD, m ? AC1 ?x ? y ? 0 ∴? 取 z ? 1 ,得 y ? ?2, x ? 2 ,∴平面 ADC1 的法向量为 m ? (2,?2,1) ?2 y ? 4 z ? 0 设平面 ADC1 与 ABA 所成二面角为 ? 1


cos? ? cos ? AC, m ? ?

AC ? m AC m

?

5 ?4 2 ? , 得 sin ? ? 3 2?3 3

∴平面 ADC1 与 ABA 所成二面角的正弦值为 1

5 3

23.本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决 问题能力及推理论证能力。 (1) 由数列 an 的定义得:a1 ? 1 ,a2 ? ?2 ,a3 ? ?2 ,a4 ? 3 ,a5 ? 3 ,a6 ? 3 ,a7 ? ?4 ,a8 ? ?4 , 解:

? ?

a9 ? ?4 , a10 ? ?4 , a11 ? 5 ∴ S1 ? 1 , S 2 ? ?1 , S 3 ? ?3 , S 4 ? 0 , S 5 ? 3 , S 6 ? 6 , S 7 ? 2 , S8 ? ?2 , S 9 ? ?6 , S10 ? ?10 , S11 ? ?5 ∴ S1 ? 1 ? a1 , S 4 ? 0 ? a 4 , S 5 ? 1 ? a5 , S 6 ? 2 ? a6 , S11 ? ?1 ? a11 ∴集合 P11 中元素的个数为 5 (2)证明:用数学归纳法先证 Si ( 2i ?1) ? ?i(2i ? 1)
事实上,[来源:Z_xx_k.Com] ① 当 i ? 1 时, Si ( 2i ?1) ② 则: i ? m ? 1 ,时,

? S3 ? ?1 ? (2 ? 1) ? ?3 故原式成立 ? ?m ? (2m ? 1) 故原式成立

假设当 i ? m 时,等式成立,即 S m( 2m?1)

S(m?1)[ 2( m?1)?1} ? S(m?1)(2m?3} ? Sm(2m?1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2 ? ?m(2m ? 1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2
? ?(2m2 ? 5m ? 3) ? ?(m ? 1)(2m ? 3) 综合①②得: Si ( 2i ?1) ? ?i(2i ? 1) 于是

S(i?1)[2i?1} ? Si (2i ?1} ? (2i ? 1) 2 ? ?i(2i ? 1) ? (2i ? 1) 2 ? (2i ? 1)(i ? 1)
由上可知: Si ( 2i ?1} 是 ( 2i ? 1) 的倍数 而 a(i ?1)( 2i ?1}? j 又 S (i ?1)[ 2i ?1} 所以 倍数

? 2i ? 1( j ? 1,2,?,2i ? 1) ,所以 Si ( 2i ?1)? j ? Si ( 2i ?1) ? j(2i ? 1) 是

a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 1) 的倍数
? (i ? 1)(2i ? 1) 不是 2i ? 2 的倍数,
? ?(2i ? 2)( j ? 1,2,?,2i ? 2)
而 a(i ?1)( 2i ?1}? j

S(i?1)(2i ?1)? j ? S(i ?1)(2i ?1) ? j(2i ? 2) ? (2i ? 1)(i ? 1) ? j(2i ? 2) 不 是 a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 2) 的
2

( ) 故当 l ? i(2i ? 1) 时,集合 Pl 中元素的个数为 1 ? 3 ? ? ? 2i - 1 ? i

于是当 l ? i(2i ? 1) ? j( ? j ? 2i ? 1 时,集合 Pl 中元素的个数为 i 1 )

2

?j

( ) 又 2000 ? 31 ? 2 ? 31 ? 1 ? 47
2

故集合 P2000 中元素的个数为 31 ? 47 ? 1008


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