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高三文科数学检测卷


高三文科数学检测卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.设集合 A={x|x2-4<0}, B={x|log2(x-1)≥0},则 A∪B 等于 A.{x|x>-2} B.{x|-2<x<2} C.{x|x≥2} 2.已知向量 a=(3,4) , b=(2,1) ,且(a+λ b)⊥(a-b),则实数λ 等于 A

.1 B.-1 C.3 ( D.{2} ( D.-3 ) )

3.已知直线 a 和平面 ? 、 ? ,? ? ? ? l , a ? ? , a ? ? , 且a在? , ? 内的射影分别为直线 b 和 c, 则 b 和 c 的位置关系是 A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 -1 x 4.已知函数 f(x)=2 +1, 则 f (-x)的图象只可能是 ( ) D.相交、平行或异面 ( )

5.给出下列三个命题: (1)函数 y ?| cos(2 x ?

1 ? (2)函数 | 的最小正周期为 ; 6 2 2 3? 3? ? 5? y ? s i nx(? )在[? , ) 上单调递增; (3) x ? 是函数 y ? cos(2 x ? ) 的图 2 2 4 2 )?
( C.2 D.3 )

?

象的一条对称轴.其中正确命题的个数是 A.0 B.1

?x ? y ? 1 ? 0 ? 6.在直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域的面积是 ?y ? 0 ?
A.0.25 B.0.5 C.1 D.2





7.若定义运算 a ? b为a ? b ? ? A. (0,1]

?b(a ? b) , 则函数f ( x) ? log 2 x ? log 1 x 的值域为 ( ?a ( a ? b ) 2
C. [0,??) D. [1,??) (



B. (??,0]

8.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大植和极小值,则实数 a 的取值范围是 A.-1<a<2 B.-3<a<6 C.a<-3 或 a>2



D.a<-3 或 a>6

9.两个实数集合 A={a1, a2, a3,…, a15}与 B={b1, b2, b3,…, b10},若从 A 到 B 的是映射 f 使 B 中的每一个元素都有原象,且 f(a1)≤f(a2) ≤…≤f(a10)<f(a11)<…<f(a15), 则这样的映射共 有 A. C10 个
5

( B. C 9 个
4



C.1015 个

D. 5 ? A15 个
10 10

10.一种产品的年产量情况是:第一年为 a 件,第二年比第一年增长 p1%,第三年比第二年 增长 p2%.且 p1>0, p2>0. p1+p2=2p,如果年平均增长 x%,则有 ( ) A.x=p B.x≥p C.x≤p D.x<p 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 已知向量 a ? xi ? ( y ? 1) j , b ? xi ? ( y ? 1) j , 其中x, y ? R(i, j 分别是与 x 轴, y 轴方向 相同的单位向量) ,且 | a | ? | b | ? 4 ,则动点 M(x, y)的轨迹方程为
2 2

.

12.若 a2+b2≤1,则 a+b 的取值范围是 13.将二项式 ( x ?

. 个. a14 a24 a34 an4 … … … … a1n a2n a3n ann

1 2 x
4

) 8 的展开式中 x 的指数是整数的项共有
a12 a22 a32 an2 a13 a23 a33 an3

14.如右图所示,n2 个(n≥4)正数排成 n a11 行 n 列方阵,其中每一行的数成等差数 a21 列,每一列的数成等比数列,并且所有 a31 公比都相等.设 a24=1, a42= , a43= 则 a22 的值为

1 8

3 . 16

an1

1 2

15.设函数 f(x)=x|x|+bx+c, (x∈R),给出以下四个命题: ①c=0 时, f(x)时奇函数; ②b=0, c>0 时方程 f(x)=0 只有一个实根 ③y= f(x)的图像关于点(0, c)对称 ④方程 f(x)=0 至多有两个实根 其中正确的序号是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知方程 x2+2mx+m+1=0( m∈R 且 m≠0)的两根是 tanα 、tanβ . (1)求 sin2(α +β )+2cos(α +β )sin(α +β )的值; (2)若α 、β 为某三角形的两个内角,试求 m 的取值范围. 17. (本小题满分 12 分)某人参加射击测试,射击一次击中的概率为 案.

2 ,现有两个测试方 3

方案一:要求射击四次,至少击中两次为合格,求此人合格的概率. 方案二:如果击中目标测试就结束,否则将继续进行,直到击中为止,但射击的 次数最多不超过四次,求此人三次内结束射击的概率.(结果用最简分数表示)

18. (本小题满分 14 分)如图:直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,

?ACB ?

?

2

, AC ? 2, BC ? 2 3, B1C ? A1 B.

(1)求侧棱 BB1 的长; (2)求二面角 A1—B1C—B 的大小; (3)求直线 A1B 与平面 A1B1C 所成角的大小.

19. (本小题满分 14 分)已知数列{an}对任意的 n∈N*都有前 n 项 a1,a2,a3,…,an 的平 均数为 2n+1. (1)求{an}的通项公式; (2)设 c n ?

an , 试判断并说明 cn ?1 ? cn (n ? N *) 的符号; 2n ? 1 an ,是否存在最大的实数λ ,当 x≤λ 时,对于一 2n ? 1

(3)设函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ?

切非零自然数 n,都有 f(x) ≤0;

20. (本小题满分 14 分)双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1, 离心率为 3 ,过 S(2,0)作斜率为 1 a2 b2

的直线交双曲线于 A,B 两点,且满足 OA ? OB =0(O 为原点). (1)求双曲线 C 的方程; (2)双曲线 C 上是否有关于 l 对称的两点 M、N,若有求出 MN 中点 Q 的坐标,若没 有说明理由.

21. (本小题满分 14 分)设函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a, b, c, d ∈R) 的图象关于原点对称,且 x=1 时,f(x)取极小值-

2 . 3 4 ; 3

(1)求 a,b,c,d 的值; (2)求证:当 x1, x2∈[-1,1]时|f(x1)-f(x2)|≤

(3)设点 A(x0, y0)在曲线 y=f(x)上,点 A 处的切线 l1 交曲线 y=f(x)于点 B,若点 B 处的 切线 l2 的倾斜角为钝角,试求 y0 的取值范围.

参考答案
一、选择题 1.A 2.D 二、填空题:11.x2+y2=1 3.D 4.B 5.C 12. [ ? 2 , 2 ] 6.A 13.3 7.B 8.D 14. 9.B 10.C

1 2

15.①②③

三、解答题 16.解:由韦达定理得: tan? ? tan ? ? ?2m 又由于 m ? 0所以 tan( ? ? ?) ?

tan? tan ? ? m ? 1

tan? ? tan ? ? 2m ? ? 2 ………………2 分 1 ? tan? tan ? 1 ? (m ? 1)

(1)而 sin (? ? ? ) ? 2 cos( ? ? ? ) sin(? ? ? )
2

=

sin 2 (? ? ? ) ? 2 cos( ? ? ? ) sin(? ? ? ) 2 sin (? ? ? ) ? cos2 (? ? ? )

tan 2 (? ? ? ) ? 2 tan(? ? ? ) 8 = = ………6 分 1 ? tan 2 (? ? ? ) 5
(2)α 、β 是三角形的内角,又 tan(α +β )=2,所以α 、β 都是锐角, 即 0<tanα <2、0<tanβ <2,令 f(x)=x2+2mx+m+1

? f ( 0) ? 0 ? f ( 2) ? 0 ? 1? 5 ? 即 m 满足: ? 解得: ? 1 ? m ? ………(12 分) 2m 2 ?0 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? ? ( 2m) ? 4(m ? 1) ? 0
17.解(1)击中两次的概率为 P 1 :P 1 ? C4 ( ) ( ) ?
2 2 2

2 3

1 3

8 , 27

2 3 1 32 , 3 3 81 16 8 4 2 4 击中四次的概率为 P3 : P3 ? C 4 ( ) ? , ∴合格的概率 P=P1+P2+P3= ……6 分 9 3 81
击中三次的概率为 P2 : P2 ? C 4 ( ) ( ) ?
3

(2)记第 n 次击中为事件 Ai(i =1,2,3), 则 A1,A2,A3,彼此互斥.

2 1 2 2 1 1 2 2 , P( A2 ) ? ? ? , P( A3 ) ? ? ? ? 3 3 3 9 3 3 3 27 2 2 2 26 ∴三次内击中的概率为: P ? ? ? …………………………12 分 ? 3 9 27 27 P( A1 ) ?
18.解: (1)过 C 作 CH⊥AB 于 H,连结 B1H,

AH AC 2 1 ? ? , 由△ACH∽△BCH 得 HB BC 2 3
又 AB=4∴AH=1,BH=3,∵CH⊥面 ABB1A1, A1B⊥B1C,∴A1B⊥B1H,

∴△A1B1B∽△B1BH 则有

BB1 3 ? 解得 BB1=2 3 ……………4 分 BB1 4

(2)有(1)知 A1C1⊥面 CC1B1,过 C1 作 C1O⊥B1C 于 O,连结 A1O,则二面角 A1— B1C—C1 的平面角为∠A1OC1tan∠A1OC1=

A1C1 2 6 ? ? , 设二面角 A1—B1C—B 的平面 C1O 3 6

角为θ ,则θ =π -∠A1OC1=π -arctan (3)设点 B 到面 A1B1C 的距离为 d

6 3

………………………9 分

? V A1 ? B1BC ? V B ? A1B1C
α ,则 sin ? ?

?d ?

S ?B1BC ? A1C1 S ?A1B1C

?

2 15 5

设 A1B 与面 A1B1C 所成的角为

d 105 105 ? ?? ? arcsin …………………14 分 A1 B 35 35
则 A(2,0,0) ,B(0,2 3 ,0) ,

另解: (1)建立如图空间直角坐标系,设 AA1=a

A1(2,0,a) ,B1(0,2 3 ,a),C1(0,0,a)? CB1 ? A1 B ? CB1 ? A1 B ? 0解得a ? 2 3 (2)显然面 B1BC 的法向量 n1 =(1,0,0) ,设面 A1B1C 的法向量 n 2 =(x, y , z)

? CA1 ? n2 ? 0, CB1 ? n2 ? 0则有 x ? 3 z ? 0, y ? z ? 0, 令z ? 1 得n2 ? (?3 3 ,?1,1), cos ? n1 , n2 ?? n1 ? n2 | n1 | ? | n2 | ?? 15 5
15 5

设二面角 A1—B1C—B 的平面角为θ ,则 ? ? ? ? arccos

(3) A1 B ? (?2,2 3 ,?2 3 ), | cos ? A1 B, n2 ??

105 35

设 A1B 与面 A1B1C 所成的角

为α ,则 ? ?

?
2

? | cos ? A1 B, n2 ?|?

?
2

? arccos

105 105 ? arcsin 35 35

19. (1)由题知 a1+a2+…+an-1+an=n(2n+1), a1+a2+…an-1=(n-1)(2n-1) 两式相减,得 an=4n-1(n≥2),a1=3, ∴an=4n-1(n∈N*)……………………4 分 (2)设 cn ?

an 4 ?1 3 3 ? ? 2? , cn?1 ? 2 ? , 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3

3 3 ? ? 0,即cn?1 ? cn .……………………………………9 分 2n ? 1 2n ? 3 (3)由(2)知 c1=1 是数列{cn}中的最小项,? x ? ? 时,对于一切非零自然数 n,都 cn?1 ? cn ?
有 f ( x) ? 0, 即 ? x 2 ? 4 x ?

an ? cn , 2n ? 1

? ? x 2 ? 4 x ? c1 ? 1,即x 2 ? 4 x ? 1 ? 0, 解之, 得x ? 2 ? 3或x ? 2 ? 3,

? 取? ? 2 ? 3 . ………………………………………………………14 分

20.解(文) (1)? e ? 3 ,? 1 ?

b2 b2 x2 y2 ? 3 , ? ? 2 , 则双曲线方程为 2 ? ?1. a2 a2 a 2a 2

设 A(x1, y1), B(x2, y2), 且 A,B 在直线 y=x-2 上,则有 OA ? OB =y1y2+x1x2=2x1x2- 2(x1+x2)+4=0 ①所以将双曲线方程

x2 y2 ? ? 1 与 y=x-2 联立,得 x2+4x-(4+2a2)=0,将 a 2 2a 2
2

y2 x1+x2=-4, x1x2=-(4+2a )代入①解得 a=1 所以双曲线方程为 x ? ? 1. ………5 分 2
2

(2)设点 M(x1, y1), N(x2, y2), MN 中点 Q(x0, y0),则其在 l 上,即 y0=x0-2



? 2 y12 x ? ?1 ? y ? 1 2 点差法得 0 ? (?1) ? 2 由? 2 x0 ?x 2 ? y2 ? 1 2 ? 2 ?



由①②得

x0 ?

2 4 2 4 2 2 4 , y 0 ? ? ,即Q( ,? ) y ? ? x ? 代入 C,△>0 满足,∴存在 Q ( ,? ) …12 分 3 3 3 3 3 3 3
? f ( x) 在 x=1 处取得极小值 ?

21.解(1)∵f(x)图象关于原点对称,f(x)+f(-x)=0,整理得:2bx2+2d=0 恒成立. ∴b=d=0.

f ?( x) ? 3ax 2 ? c

2 3

1 ? f ?(1) ? 0 ? 1 ? ?a ? ?? 3 综上,a= , b=0, c=-1, d=0………4 分 2 , 解得? 3 f (1) ? ? ? ? 3 ? ?c ? ?1
(2)由(1) f ( x) ?

1 3 x ? x, f ?( x) ? x 2 ? 1. 3

当 x∈[-1,1]时,恒有 f ?( x) ≤0.故 f(x)在[-1,1]上为减函数.

[ f ( x)] max ? f (?1) ?

2 2 , [ f ( x)] man ? f (1) ? ? , 3 3

?当x1 , x2 ? [?1,1]时, | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f (?1) ? f (1) |?
3 2 (3) l1 : y ? ( x0 ? x0 ) ? ( x0 ? 1)( x ? x0 ), 与方程f ( x) ?

4 ………………7 分 3

1 3

1 3 x ? x 联立得: 3

1 2 2 ( x ? x0 )[ ( x 2 ? x0 ? xx0 ) ? 1] ? ( x0 ? 1)( x ? x0 ), 依题 : x ? x0 , 3 1 2 2 ? ( x 2 ? x0 ? xx0 ) ? 1 ? x0 ? 1, 得x ? x0 (舍)或x ? ?2 x0 由 l2 的倾斜角为钝角知: 3 1 1 k ? x 2 ? 1 ? 0,?1 ? x ? 1. ? ? ? x0 ? . 2 2 1 1 1 3 11 11 又 f ( x)在(? , ) 上为减函数, ? y0 ? x0 ? x0 ? (? , )且y0 ? 0 …14 分 2 2 3 24 24


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