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江西省遂川中学2014届高三上学期第二次月考数学(理)试题 Word版含答案


遂川中学 2014 届高三年级第一学期第二次月考 理科数学试题
命题:罗书元; 审题:王世珠 2013-11-1
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

5? 5? ( ) 1 已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4, 集合 A ? ?1, 2,3, ,

B ? ?2, 4? ,则 CU A ? B 为(
A.



?0, 2, 4?

B. ?2, 3, 5?

C. ?1, 2, 4?

D. ?0, 2,3,5?

2. 已知定义在复数集 C 上的函数 f ( x) ? ? 1 于( ) A.第一象限 B.第二象限 3.下列有关命题说法正确的是(

? x ? i, x ? R ? ,则 f ( f (1)) 在复平面内对应的点位 ,x?R ? x ?
D.第四象限

C.第三象限 )

A. 命题 p: 存在x ? R,i + = 3x “ n o sx c s

” ?p 是假命题 ,则

B. a ? 1”是“函数 f ( x) ? co s 2 ax ? sin 2 ax的周期T = ?” 的充分必要条件 “ C.命题 的否定是: 对任意x ? R,x2 ? x ? 1 ? 0 ” “ “存在x ? R, 使得x 2 ? x ? 1=0” D.命题“若 tanα≠1,则α≠

? ” 的逆否命题是真命题 4
3 ,则这个三角形 2

4.已知 ?ABC 的三边长成公差为 2 的等差数列,且最大角的正弦值为 的周长是( A. 18 ) B. 21 C. 15 D. 24

5.已知在函数 y ?| x | ( x ?[?1,1] )的图象上有一点 P(t ,| t |) ,该函数的图象与 x 轴、直线 x =-1 及 x=t 围成图形(如图阴影部分)的面积为 S,则 S 与 t 的函数关系图可表示为 ( )

6. 已知函数 y ? f (x) 是 R 上的偶函数,且在区间 -?, 是单调递增的,若 ( 0)

S1 ? ? x 2 dx, S2 ? ?
1

2

2

1

2 1 dx, S3 ? ? e x dx 则下列不等式中一定成立的是( 1 x



A. f ( S1 ) ? f ( S2 ) ? f ( S3 ) C. f ( S2 ) ? f ( S1 ) ? f ( S3 )

B. f ( S3 ) ? f ( S2 ) ? f ( S1 ) D. f ( S3 ) ? f ( S1 ) ? f ( S2 )

7.函数 y ? sin(?x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如右图所示,设 P 是 图象的最高点, A, B 是图象与 x 轴的交点,则 tan ?APB ? A. 10 B. 8
3

y

P x

C.

8 7

D.

4 7

8.已知 f(x)=x -3x+m 在区间[0,2]上任取三个数 a,b,c,均 存在以 f(a),f(b),f(c)为边长的三角形,则实数 m 的取值范围 是 ( ) . A. (6,+∞) B. (5,+∞) C.(4,+∞) D. (3,+∞) 9.若 0 ? y ? x ?

A

O

B

且 tan 2x ? 3tan( x ? y) 则 x +y 的可能取值是( ) 2 ? ? ? ? A. B C. D. 6 5 4 3 10. 已知函数 f ( x) 及其导数 f ?( x) , 若存在 x0 , 使得 f ( x0 ) = f ?( x0 ) , 则称 x0 是 f ( x) 的 一个“巧值点” ,下列函数中,有“巧值点”的函数的个数是( ) ① f ( x) ? x 2 ,② f ( x) ? e? x ,③ f ( x) ? ln x ,④ f ( x) ? tan x ,⑤ f ( x) ? x ? A.2 B. 3 C. 4 D. 5

?

1 x

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分共 25 分,把正确答案填入答题卡上) 11. 已 知 函 数 f ( x) ? sin x ? cos x 且 f ( x) 是 f(x) 的 导 函 数 , 若 f (? ) ? 2 f (? ) , , 则
' '

tan 2 = ?

. ,则满足方程 f (a) ? 1的所有的 a 的值为

?log 3 x, x ? 0 ? x 12.知函数 f ( x ) ? ? ? 1 ? ??3? ,x ? 0 ?? ?

.

13.经过点 P(2,1 且与曲线 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 相切的直线 l 的方程是____________。 )
3 2

14.若函数 y ?| a ? 1| ?2a ( a ? 0且a ? 1) 有两个零点,则 a 的取值范围是
x

.

15.已知函数 f(x)=4 x ? 4ax, 当x ? ? 0,1?时,关于x的不等式 f ( x) ? 1的 解集为空集, 则
3

满足条件的实数 a 的值为

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,请写出各题的解答过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知集合 A ? ? x |

? ?

x ?3 ? ( ? 0 ? , B ? ? x | y ? ln ? x 2 +12x ? 20) , ? x?7 ?

C ? ?x | 5 ? a ? x ? a?(1)求 A ? B , ?C R A? ? B ;(2)若 C ? ? A ? B ? ,求 a 的取值范
围.

17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间;

?
2

? x) cos x ? sin x ? cos(? ? x) 。

(Ⅱ)在△ABC 中,若 A 为锐角,且 f (A) =1,BC=2,B=

? ,求 AC 边的长。 3

18. (本小题满分 12 分)时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课 外学习的一种趋势, 假设某网校的套题每日的销售量 y (单位:千套)与销售价格 x(单

m 2 ? 4 ? x ? 6 ? ,其中 2 ? x ? 6 , m 为常数.已知销售 x?2 价格为 4 元/套时,每日可售出套题 21 千套.(1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资, 办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数) ,试确定销售价格 x 的值,使
位:元/套)满足的关系式 y ? 网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数点)

19.定义在区间 [ ?

2 ? x ? [ ? ? , ] 时函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 ? ? 0 0 ? ? ? ? ) 图象如图所示. 3 6

2 ? ? , ? ] 上的函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? 对称,当 3 6

2 (Ⅱ)求方程 f ( x) ? 2 的解; ? , ? ] 的表达式; 3 2? (Ⅲ)是否存在常数 m 的值,使得 f ( x) ? m ? 2 在 x ? [? , ? ] 上恒成立;若存在,求出 3 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)求函数 y ? f (x) 在 [ ?

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

1? x ? ln x . ax

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是增函数,求正实数 a 的取值范围;

(Ⅱ)若 a ? 1 , k ? R 且 k ? 大值和最小值.

1 1 ,设 F ( x) ? f ( x) ? (k ? 1) ln x ,求函数 F ( x) 在 [ , e] 上的最 e e

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 1 x3 ? ax2 ? bx ? 1( x ? R, a ,b 为实数)有极值,

3

且在 x ? 1处的切线与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 a,使得函数 f (x) 的极小值为 1,若存在,求出实数 a 的值;若不存 在,请说明理由; (Ⅲ)设函数 g ( x) ?

f ?( x) ? 2ax ? b ? 1 ? 2 ln x 试判断函数 g (x) 在 (1,??) 上的符号, x 1 1 1 1 1 1 1 并证明?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ln n ? (1 ? ) (n ? N * ) 。 2 3 4 n ?1 n 2 n

期中考试数学(理)试卷答案 2013.11
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 6 题序 选项 A A D C B D 7 B 8 A 9 A 10 B

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. ?

3 1 3 ; 12.0 或 3; 13. 4 x ? y ? 7 ? 0 或 y ? 1 ; 14. (0, ) ; 15. . 2 4 4
? ? x ?3 ? ? 0 ? = ? x | 3 ? x ? 7? …………(1 分 ) x?7 ?
…………(2 分 …………(3 分 ) )

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,请写出各题的解答过程或演算步骤) 16 解(1) A ? ? x |

B ? ? x | 2 ? x ? 10?
A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10?,
因为 C R A ? ? x | x ? 3或x ? 7? ,

所以 ?C R A? ? B ? x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10 .…………(5 分 ) (2)由(1)知 A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10?, ①当 C ? ? 时,满足 C ? ? A ? B ? ,此时 5 ? a ? a ,得 a ?

?

?

5 ; …………(8 分 ) 2


?5 ? a ? a 5 ? ②当 C ? ? 时,要 C ? ? A ? B ? ,则 ?5 ? a ? 2 ,解得 ? a ? 3 .…………(11 分 2 ?a ? 10 ?
由①②得可知 a 的取值范围: a ? 3 .…………(12 分 17 解Ⅰ f ( x) ? sin( )

?
2

? x) cos x ? sin x ? cos(? ? x) ? cos2 x ? sin x cos x ……(2 分)

1 1 2 ? 1 ? cos2 x ? sin 2 x ? (sin 2 x ? cos 2 x ? 1) ? sin(2 x ? ) ? ?(3 分) 2 2 2 4 2
令?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

?
2

? 2k? , k ? Z

可得函数 f (x) 的单调增区间为:

? ? 3? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z ?? 8 ? 8 ?
同理可得函数 f (x) 的单调减区间为

?????????(5 分)

5? ?? ? ? k? ?, k ? Z ? ? k? , 8 ?8 ?

?????????(6 分)

(Ⅱ)因为 f (A) =1,所以 因为 A 为锐角,所以 所以 2 A ?

2 ? 1 ? 2 sin(2 A ? ) ? ? 1 所以 sin(2 A ? ) ? 2 4 2 4 2

?
4

? 2A ?

?
4

?

?
4

?

3? ? ,所以 A ? 4 4

5? 4

??????(8 分) ??????(9 分)

在△ABC 中,由正弦定理得,

BC AC 2 AC ??(11 分) ? 即 ? ? ? sin A sin B sin sin 4 3

解得 AC ?

6

??????(12 分)

18(1)因为 x ? 4 时, y ? 21 , 代入关系式 y ?

m m 2 ? 4 ? x ? 6 ? ,得 ? 16 ? 21 ,????????2 分 x?2 2 10 2 ? 4 ? x ? 6 ? , ????????6 分 x?2

解得 m ? 10 . ???????4 分 (2)由(1)可知,套题每日的销售量 y ? 所以每日销售套题所获得的利润
2? 2 ? 10 f ( x) ? ? x ? 2 ? ? ? 4 ? x ? 6 ? ? ? 10 ? 4 ? x ? 6 ? ? x ? 2 ? ? 4 x3 ? 56 x 2 ? 240 x ? 278 ? 2 ? x ? 6 ? ?x?2 ?

从而 f ' ? x ? ? 12 x 2 ? 112 x ? 240 ? 4 ? 3 x ? 10 ?? x ? 6 ?? 2 ? x ? 6 ? . 令 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ?

????????8 分

10 ? 10 ? ? 10 ? ' ,且在 ? 2, ? 上, f ( x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递增;在 ? , 6 ? 上, 3 ? 3? ? 3 ?

f ' ( x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递减, ????????10 分

10 是函数 f (x) 在 ? 2, 6 ? 内的极大值点,也是最大值点,???????11 分 3 10 所以当 x ? ? 3.3 时,函数 f (x) 取得最大值. ????????12 分 3
所以 x ? 故当销售价格为 3.3 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. 19(Ⅰ) x ? [ ?

T ? 2? 2 ? ? , ] , A ? 2, ? ? ? (? ), T ? 2? , ? ? 1 4 6 3 3 6

且 f ( x) ? 2sin( x ? ? ) 过 ( ? ∵ 0 ?? ?? ∴ ?

?
6

, 2) ,

?
6

?? ?

?
2

,? ?

2? 2? 2? ? 时 ?x? , f ( x) ? 2sin( x ? ) 当 ? 3 6 3 3

?
6

?

?

? ? 2? ? x ? ? , f ( ? x) ? 2sin( ? x ? ) ? 2sin(? ? x) ? 2sin x ??????3 分 3 3 3 3
?

而函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 即 f ( x) ? 2sin x ,

?
6

6

对称,则 f ( x) ? f (

?

3

? x)

? x ??

2? 2? ? ? ?2sin( x ? 3 ), x ? [? 3 , 6 ] ? ? f ( x) ? ? ? ?2sin x, x ?[ , ? ] ? 6 ?
(Ⅱ)当 ?

??????5 分

2? ? 2? ? x ? 时, f ( x) ? 2sin( x ? )? 2 3 6 3 2? ? 3? ? 或 , 3 4 4
即 x??

sin( x ?

2? 2 )? 3 2

∴x?

5? ? 或 12 12
2 ? 3? ∴x? 或 2 4 4
??????8 分



?
6

? x ? ? 时, f ( x) ? 2sin x ? 2,sin x ?

∴方程 f ( x) ?

? 5? ? ? 3? ? 2 的解集是 ? ? , , , ? ? 12 12 4 4 ?

(Ⅲ)存在 假设存在,由条件得: m ? 2 ? f ( x) ? m ? 2 在 x ? [?

2? , ? ] 上恒成立 3

2? ? x ? [? ,? ] ? 3 ? ?m ? 2 ? 0 即 ?? f ( x ) ?min ? m ? 2 ,由图象可得: ? ∴ 0 ? m ? 2 ??????12 分 ?m ? 2 ? 2 ?? f ( x) ? ? m ? 2 max ? ?
20(Ⅰ)解:由题设可得 f '( x) ?

因为函数 f ( x) 在 [1, ??) 上是增函数, 所以,当 x ?[1, ??) 时,不等式 f '( x) ? 因为,当 x ?[1, ??) 时,

ax ? 1 (a ? 0) ax 2 ax ? 1 1 ? 0 即 a ? 恒成立----2 分 2 x ax

1 的最大值为 1 ,则实数 a 的取值范围是 [1, ??) -----4 分 x

(Ⅱ) 解: a ? 1 , f ( x) ?

1? x ? ln x x

F ( x) ?

1? x 1? x ? ln x ? (k ? 1) ln x ? ? k ln x x x

所以, F ( x) ?
'

(1 ? x)' x ? (1 ? x) x ' k kx ? 1 ? ? 2 …………6 分 x2 x x

(1) 若 k ? 0 ,则 F '( x) ?

?1 1 ,在 [ , e] 上, 恒有 F '( x) ? 0 , 2 e x

所以 F ( x) 在 [ , e] 上单调递减

1 e

F ( x)min ? F (e) ?

1? e 1 , F ( x)max ? F ( ) ? e ? 1 …………7 分 e e

kx ? 1 (2) k ? 0 时 F ' ( x) ? ? x2

1 k(x ? ) k x2 1 k(x ? ) k ?0 2 x

1 (i)若 k ? 0 ,在 [ , e] 上,恒有 e
所以 F ( x) 在 [ , e] 上单调递减

1 e

F ( x)min ? F (e) ?

1? e 1? e 1 ? k ln e ? ? k ? ? k ?1 e e e

1 F ( x)max ? F ( ) ? e ? k ? 1 …………10 分 e
ii) k ? 0 时,因为 k ?

1 1 ,所以 ? e e k

1 ( x ? ) ? 0 ,所以 k
1 e

1 k(x ? ) k ?0 2 x

所以 F ( x) 在 [ , e] 上单调递减

F ( x)min ? F (e) ?

1? e 1? e 1 ? k ln e ? ? k ? ? k ?1 e e e

1 F ( x)max ? F ( ) ? e ? k ? 1 …………12 分 e
综上所述:当 k ? 0 时, F ( x) min ? 且k ?

1 时, F ( x) max e

1? e , F ( x) max ? e ? 1 ;当 k ? 0 e 1 ? e ? k ? 1, F ( x)min ? ? k ? 1 .…………13 分 e
3 2

21.解: (Ⅰ)? f ( x) ? 1 x ? ax ? bx ? 1,

3

? f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b, 由题意? f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 1,

?b ? 2a.



……………………………………………………… ( 1 分 )

? f ( x)有极值,? 方程f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b ? 0有两个不等实根.

?? ? 4a 2 ? 4b ? 0,
2

? a 2 ? b ? 0.



由①、②可得, a ? 2a ? 0.

? a ? ?2或a ? 0.


故实数 a 的取值范围是 a ? (??,?2) ? (0,??) …………………………(3 分 (Ⅱ)存在 a ? ? 8 . ………………………………………(5 分)

3

? ? 由(1)可知 f ( x) ? x ? 2ax ? b, 令f ( x) ? 0 ,
2

? x1 ? ?a ? a 2 ? 2a , x2 ? ?a ? a 2 ? 2a .

,且 a ? (??,?2) ? (0,??)

x
f ?(x)
f (x)

(??, x1 )
+ 单调增

x1
0 极大值

( x1 , x 2 )
- 单调减

x2
0 极小值

( x 2 ? ?)
+ 单调增

? x ? x2时, f ( x)取极小值, 则f ( x2 ) ?

1 3 2 x2 ? ax2 ? 2ax2 ? 1 ? 1 , 3

2 ? x2 ? 0或x2 ? 3ax2 ? 6a ? 0 .…………………………………………………(6 分)

若x2 ? 0, 即 ? a ? a 2 ? 2a ? 0, 则a ? 0(舍). …………………………………(7 分)
2 2 若x2 ? 3ax2 ? 6a ? 0, 又f ?( x2 ) ? 0,? x2 ? 2ax2 ? 2a ? 0,? ax2 ? 4a ? 0.

? a ? 0,

? x2 ? 4,

??a ? a 2 ? 2a ? 4

? a ? ? 8 ? ?2. 3

8 ? 存在实数a ? ? , 使得函数f ( x) 的极小值为 1.………………………………(8 分) 3 f ?( x) ? 2ax ? b ? 1 (Ⅲ)由 g ( x) ? ? 2 ln x x x 2 ? 2ax ? b ? 2ax ? b ? 1 1 ? ? 2 ln x ? x ? ? 2 ln x x x 1 即 g ( x) ? x ? ? 2 ln x x 1 2 x 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 1) 2 g ?( x) ? 1 ? 2 ? ? ? ?0 故, x x x2 x2 则 g (x) 在 (1,??) 上是增函数,故 g ( x) ? g (1) ? 0 ,

所以, g (x) 在 (1,??) 上恒为正。.………………………………(10 分) (注:只判断符号,未说明理由的,酌情给分) 当 n ? N 时,
*

n ?1 n ?1 ,则 ? 1 ,设 x ? n n n ?1 n ?1 n n ?1 g( )? ? ? 2 ln n n n ?1 n 1 1 ? 1? ?1? ? 2[ln(n ? 1) ? ln n] n n ?1 1 1 ? ? ? 2[ln(n ? 1) ? ln n] ? 0 n n ?1 1 1 即, ? ? 2[ln(n ? 1) ? ln n] .………………………………(12 分) n n ?1 上式分别取 n 的值为 1、2、3、??、 (n ? 1) 累加得: 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 1 2 2 3 3 4 n ?1 n ( ? 2[ln 2 ? ln 1 ? ln 3 ? ln 2 ? ln 4 ? ln 3 ? ? ? ln n ? ln(n ? 1)] , n ? 1) 1 1 1 1 1 ( ?1 ? 2( ? ? ? ? ? ) ? ? 2 ln n , n ? 1) 2 3 4 n ?1 n 1 1 1 1 1 1 ( ? 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2 ln n ? 1 ? , n ? 1) 2 3 4 n ?1 n n 1 1 1 1 1 1 1 ( ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ln n ? (1 ? ) , n ? 1) 2 3 4 n ?1 n 2 n n 1 1 1 即, ln n ? (1 ? ) ? ? , n ? 1) ( ,当 n ? 1时也成立……………(14 分) 2 n i ?1 i


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