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吉林省长春市2014届高三数学毕业班第四次调研测试试题 理

时间:2014-05-23


1

2

3

4

数学试题(理科)答案 1. 【答案】 B

A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | x ? 1} , 【解析】 由韦恩图可知阴影部分表示的是 ?U B
∴阴影部分表示的集合为 {x | 1 ? x ? 2} ,故选 B

. 2. 【答案】 A

?

?

A

【解析】由图可知, z1 ? ?2 ? i , z2 ? i ,则 z1 ? z 2 ? ?2 ,∴ | z1 ? z 2 |? 2 ,故选 A . 3. 【答案】 D 【解析】A 选项,可能 m ? ? ,B 选项,若 n ? ? ,则 n ? ? ,无条件 n ? ? ,直线 n 与 平面 ? 位置关系不确定,C 选项,在空间中, l 与 m 可能平行,可能异面,可能相交,故 选D . 4. 【答案】 B 【解析】由约束条件 | x | ? | y |? 1 ,作出可行域如图, 设 z ? 2 x ? y ,则 y ? ?2 x ? z ,平移直线 y ? ?2 x , 当经过点 A(1, 0) 时, z 取得最大值 2 ,当经过点 B(?1,0) 时,

z 取得最小值 ? 2 ,故选 B .
5. 【答案】 D 【解析】 由程序框图, 输入 x ? 3 , 第 1 次进入循环体,x ? 6 , 第 2 次进入循环体,x ? 21 , 第 3 次进入循环体, x ? 231 , 231 ? 100 成立,输出结果 x ? 231 ,故选 D . 6. 【答案】 D

3 2 ta n ? 3 1 ? ? ,解得 tan ? ? ?3 或 tan ? ? ,又 ? ? (0, ) , ,即 2 4 3 4 1 ? ta n ? 4 1 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? ? ?2 ,故选 D . ∴ tan ? ? ,又 3 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 7. 【答案】 D 【解析】观察茎叶图,甲班学生成绩的平均分是 86 ,故 x ? 8 ,乙班学生成绩的中位数是
【解析】tan 2? ?

83 ,故 y ? 5 ,∴ x ? y ? 13 ,故选 D .
8. 【答案】 A
2 【解析】 y ? x ? 1 ,∴ y ? ? 2 x , k ? y? | x?1 ? 2 ,故切线 l 方程为: 2 x ? y ? 0 ,

又x

2

? y 2 ? 4x ? 3 ? 0 表示的是以 (?2,0) 为圆心,以 1 为半径的圆,圆心 (?2,0) 到 l 的
4 5 ? 4 5 2 2 , ∴直线 l 上的任意点 P 与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 上的任意点 Q 之 5
4 5 ? 1 ,故选 A . 5
5

距离 d ?

间的最近距离是

9. 【答案】 A 【解析】在 Rt △ MF1 F2 中,| F1 F2 |? 2c ,则 | MF2 |?

2 3c 4 3c ,| MF1 |? ,由双曲 3 3

线定义可知: | MF1 | ? | MF2 |? 2a ,即

c 2 3c ? 2a ,化简得 ? 3 ,故选 A . a 3

10. 【答案】 C 【解析】由题可知,图 1 中的虚线长为图 2 正四棱锥的底面边长,设为 x ,又正四棱锥的 正视图是正三角形,所以正四棱锥的斜高也为 x ,则 x ? 锥的底面边长为 4 2 , 易得四棱锥的体积 V ? 11. 【答案】 D 【解析】令 f ( x) ? 0 , g ( x) ? 0 , h( x) ? 0 分别得 x ? 则 x1 , x2 , x3 分别为函数 y ? x 的图象与函数 y ?

x ? 6 2 , x ? 4 2 ,即正四棱 2

1 64 ? 32 ? 2 6 ? 6 ,故选 C . 3 3

x ? 1, x ? ?2 x , x ? ? ln x ,

x ? 1, y ? ?2 x , y ? ? ln x 的图象交

点的横坐标, 在同一平面直角坐标系下作出它们的图象, 易得 x1 ? 1 , x2 ? 0 , 0 ? x3 ? 1 , 故选 D . 12. 【答案】 C 【







| a n ? a m |?| 1 2
n ?1

s

n ? 1) s n ? 2) i s m si n ? 1) sn in ? 2) in s m i( n ? ? ? ? m |?| |?| | ??? | m | n ?1 n?2 n ?1 n?2 2 2 2 2 2 2 ??? 1 1 1 1 1 ? n ( ? 2 ? ? ? m?n ) m 2 2 2 2 2

n (

?

?

1 2
n?2

1 1 [1 ? ( ) m?n ] 1 2 1 1 1 2 ? n? ? n (1 ? m?n ) ? n ,故选 C . 1 2 2 2 2 1? 2 13. 【答案】 0.0228
【解析】设大米质量为 x ,则 x 不足 9.8kg 的概率即 P ( x ? 9.8) ? 14. 【答案】 (1,3) 【解析】设 c ? ( x, y) ,则 c ? a ? ( x ? 2, y ? 1) , c ? b ? ( x ? 1, y ? 2) , ∴ ( x ? 2)(x ? 1) ? ( y ? 1)( y ? 2) ? 0 化简得: x ? x ? y ? 3 y ? 0 ①
2 2

N (10,0.12 ) ,则 P(9.8 ? x ? 10.2) ? 0.9544,∴质量
1 ? 0.9544 ? 0.0228 . 2

6

又 a,b 在非零向量 c 上的投影相等,则

c?a c?b ,即 y ? 3x ② ? c c

由①②联立得:∴ x ? 1 , y ? 3 ,∴ c ? (1,3) .

n?3 (n ? N ? ) 2 4 5 6 2 3 4 【解析】 f ( 2 ) ? , f ( 2 ) ? , f ( 2 ) ? , 2 2 2 n ? 3 f (2 n ?1 ) ? , (n ? N ? ) 2
15.【答案】 f ( 2
n ?1

)?

f (2 5 ) ?

7 ,由归纳推理得, 一般结论为 2

. 16. 【答案】 ? 4,18? 【解析】设 4 个实数根依次为 m, mq, mq2 , mq3 ,由等比数列性质,不妨设 m, m q3 为

x 2 ? ax ? 1 ? 0 的两个实数根,则 mq, mq2 为方程 x 2 ? bx ? 1 ? 0 的两个根,由韦达定理

m2q3 ? 1



m ? mq3 ? a



mq ? mq2 ? b
1 (1 ? q 3 )(q ? q 2 ) q3

,



ab ? (m ? mq3 ) (mq ? mq2 ) ? m 2 (1 ? q 3 )(q ? q 2 ) ?

? (q ?

1 1 1 ? ? 2)(q ? ? 1) , 设 q ? ? t , ∵ q ? ? ? 2 ? 3, 2? , ∴ t ? [2,4] , 故 q q q

f (t ) ? (t ? 2)(t ? 1) 的值域为 [4,18] ,即 ab 的取值范围是 ?4,18? .
17. 【解析】 (1)由题意可知 g ( x ) ? 2 sin[? ( x ? 由 于

?
4

) ? ?] T ? ? 2 2
, ∴

S△ABC ?

??2
2? 3

1 ? ? 2? | BC |? 2 2
???2 分

, 则

| BC |?

T ??

, 即

n? ( 又 由 于 g ( 0) ? 2 s i ?

?
2

) ?1 , 且 ?

?
2

?? ?

?
2

?

?
2

, 则 ??

?
2

?

?
6

, ∴

??


???5 分

g ( x) ? 2 sin[ 2( x ?
??6 分

?
4

)?

2? ? ] ? 2 sin( 2 x ? ) . 3 6

?

( 2 ) g ( A) ? 2 sin( 2 A ?

?
6

) ? 1 , 2A ?

?

A?

?
3

? 13? ? 5? ?( , ) 则 2A ? ? , ∴ 6 6 6 6 6

???8 分

7


2


2









b 2 ? c 2 ? 2bc c

A? o a 2 ?s5





5 ? b ? c ? bc ? bc ???10 分 1 5 3 ∴ S△ABC ? bc sin A ? ,当且仅当 b ? c ? 5 时,等号成立,故 S?ABC 的最大值为 2 4 5 3 .?12 分 4
18. 【解析】 (1)∵ ∴

? xi ? 20 , ? yi ? 25,∴ x ?
i ?1 i ?1

5

5

1 5 1 5 , x ? 4 y ? ? yi ? 5 ? i 5 i ?1 5 i ?1

?? b

?x y
i ?1 5 i

5

i

? 5x y ? 5x
2

?x
i ?1

?

2 i

112 ? 5 ? 4 ? 5 ? 1.2 90 ? 5 ? 4 2

???3 分

? x ? 5 ? 1.2 ? 4 ? 0.2 ? ? y ?b a
???5 分 ∴ 线 性 回 归 方 ???6 分 程

? ? 1.2 x ? 0.2 . y

? ? 1.2 ? 0 , ∴ 变 量 x 与 y 之 间 是 正 相 ( 2 ) ① 由 ( 1 ) 知 b
关. ???9 分

? ? 9.8 (万元) ②由(1)知,当 x ? 8 时, y ,即使用年限为 8 年时,支出的维修费约
是 9.8 万元. ? ??12 分 19. 【解析】 (1)证明:∵底面 ABCD 和侧面 BCC1 B1 是矩形, ∴ BC ? CD , BC ? CC1 又∵ CD ? CC1 ? C ∴ BC ? 平面 DCC1 D1 ???3 分 ∵

D1 E ?





D

1

D1

C



C

BC ? D1E .

???6 分

8

(2) 解法 1: 延长 BE ,AD 交于 F , 连结 D1 F , 则平面 ADD1 A 1 ? 平面 BED1 ? D1 F 底面 ABCD 是 矩 形 , E 是 CD 的 中 点 , AB ? 2 BC ? 2 ,∴连结 AE ,则 AE ? EB 又由(1)可知 BC ? D1E 又∵ D1E ? CD , BC ? CD ? C ∴

D1 E

?





A

B

C, D∴
???9 分

D1E ? AE



AE ?





BED1

过 E 作 EG ? D1 F 于 G ,连结 AG ,则 ?AGE 是平面 ADD1 A 1 与平面 BED1 即平面

BCC1B1 与平面 BED1 所成锐二面角的平面角,所以 ?AGE ?
又 AE ?

?
3

? 6 2 ,∴ EG ? tan ? AE ? 3 3
EF ? 2


又 易 得

FG ?

2 3 3

, 从 而 由

EG D1 E ? FG EG

, 求 得

D1E ? 1 .

???12 分

解法 2:由(1)可知 BC ? D1E 又 ∵

D1E ? CD
C D



BC ? CD ? C
???7 分



D1 E

?





A

B

设 G 为 AB 的中点,以 E 为原点,以 EG , EC , ED1 所在直线分别为 x, y , z 轴,建立 空 间 图 ???8 分 直 角 坐 标 系 如 .

设 D1 E ? a ,则 E (0,0,0) , B(1,1,0) , D1 (0,0, a) , C (0,1,0) , B1 (1,2, a) 设平面 BED 1 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ∵ EB ? (1,1,0) , ED1 ? (0,0, a)

9

由? 令

? ?x ? y ? 0 ? n ? EB ? 0 ,得 ? ?n ? ED1 ? 0 ? z?0 ?
x ?1
, 得 ???9 分

n ? (1,?1,0)
设平面 BCC1B1 法向量为 m ? 由

? x1 , y1 , z1 ? ,因为


CB ? (1,0,0) , CB1 ? (1,1, a) ,


? ?m ? CB ? 0 ? ? ?m ? CB1 ? 0

? x1 ? 0, ? ? x1 ? y1 ? az1 ? 0.
???10 分

z1 ? ?1





m ? ?0 a ? , ?. ,

1

由平面 BCC1B1 与平面 BED1 所成的锐二面角的大小为 得 cos ? m, n ? ?

? , 3

| m?n | m n

?

a 2 ? a2 ? 1

? cos

?
3

,解得 a ? 1 . 即线段 D1E 的长度为

1 .??12 分
20 .【 解 析 】( 1 ) 由 题 意 , e ?

3 c 3 3 ,即 , S△DEF2 ? 1 ? ,即 ? 2 a 2 2

1 3 ???2 分 (a ? c)b ? 1 ? 2 2
又 a ? b ? c 得: a ? 2, b ? 1
2 2 2







C













x2 ? y 2 ? 1. 4
(2)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ? 3

???5 分

? x?? 3 ?x ? ? 3 ?x ? ? 3 ? ? ? 2 联立 ? x ,解得 ? 1 或? 1 , 2 y ? y?? ? y ?1 ? ? ? 2 2 ? ? ?4
不妨令 A( ? 3 , ) ,B ( ? 3 ,? ) , 所以对应的“椭点”坐标 P(? 而 OP ? OQ ? 所 点. 以

1 2

1 2

3 1 3 1 , ) ,Q(? ,? ) . 2 2 2 2

1 ?0 2
时 以



PQ





















???7 分

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3)

10

? y ? k ( x ? 3) ? 2 消去 y 得, (4k 2 ? 1) x 2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 ? x 2 ? y ?1 ? ? 4
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则这两点的“椭点”坐标分别为 P( 由 根 与 系 数 关

x1 x , y1 ), Q( 2 , y 2 ) 2 2
系 得 ???9 分 :

x1 ? x2 ?

? 8 3k 2 12k 2 ? 4 , x x ? 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

若使得以 PQ 为直径的圆过坐标原点,则 OP ? OQ 而 OP ? (

x1 x , y1 ), OQ ? ( 2 , y 2 ) ,∴ OP ? OQ ? 0 2 2



x1 x 2 xx ? y1 y 2 ? 0 ,即 1 2 ? k 2 [ x1 x 2 ? 3 ( x1 ? x 2 ) ? 3] ? 0 4 4

代入 x1 ? x2 ?

? 8 3k 2 12k 2 ? 4 2 ,解得: k ? ? , x x ? 1 2 2 2 2 4k ? 1 4k ? 1
直 线 方 程 为





y?

2 6 x? 2 2



y??

2 6 . x? 2 2

???12 分

x2 ? x x x ? x (e ? x ? 1) , 21. 【解析】(1) a ? 1 时, f ( x) ? x ? ex e x x 令 g ( x) ? e ? x ? 1 , g ?( x) ? e ? 1 ? 0 , ∴ g ( x) 在 [0,??) 上 为 增 函
数 ???3 分 , ∴ 当

g ( x) ? g (0) ? 0
证. (2) (1 ?

x?0





f(

x ? x) x e

?g (

x ) ,

得0

???6 分

ln x x ?1 ) f ( x) ? ( x ? ln x)(1 ? x ) x e x ?1 令 h( x) ? x ? ln x , h ?( x ) ? , 0 ? x ? 1 时, h ?( x) ? 0 , x ? 1 时, h ?( x) ? 0 x 即 h( x) 在 (0,1) 上 为 减 函 数 , 在 (1,??) 上 为 增
数 ∴ h( x) ? h(1) ? 1 ① 令 ? ( x) ? 1 ? ???9 分



x ?1 x?2 , ? ?( x) ? , x e ex ∴ 0 ? x ? 2 时,? ?( x) ? 0 ,x ? 2 时,? ?( x) ? 0 即 ? ( x) 在 (0,2) 上为减函数, 在 (2,??)
上为增函数 ∴ ? ( x) ? ? (2) ? 1 ?

1 ② e2
11









得 ???12

(1 ?

ln x 1 ) f ( x) ? h( x)? ( x) ? 1 ? 2 . x e

分 22. 【解析】 (1)因为 PA 是⊙ O 的切线,切点为 A , 所 ?PAE ? ?ABC ? 45? , ??1 分 PA ? PE 又 , 所 以

以 ?

?PEA ?
???2 分

45 ?



?APE ? 90 ?

2 因 为 PD ? 1 , DB ? 8 , 所 以 由 切 割 线 定 理 有 PA ? PD ? PB ? 9 , 所 以

EP ? PA ? 3 , ???4 分
所 以 △

ABP





积 ???5 分



1 27 BP ? PA ? . 2 2
( 2 ) 在

Rt



APE

















AE ? 3 2
又 ED ? EP ? PD ? 2 , EB ? DB ? DE ? 6 , 所 以 由 相 交

???6 分





EC ? EA ? EB ? ED ? 12
所 以

理 ???9 分 ,



EC ?

12 3 2

?2 2



AC ? 5 2 .
23. 【解析】 (1)设 P( x, y) ,由题设可知, 则x ?

???10 分

2 1 | AB | cos( ? ? ? ) ? ?2 cos ? , y ? | AB | sin(? ? ? ) ? sin ? , 3 3

所 以 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 ? ???5 分 (2)由(1)得

? x ? ?2 cos? ? ? ? ? ? ). ( ? 为 参 数 , 2 ? y ? sin ?

| PD | 2 ? (?2 cos? ) 2 ? (sin? ? 2) 2 ? 4 cos2 ? ? sin 2 ? ? 4 sin ? ? 4
2 28 ? ?3 sin 2 ? ? 4 sin ? ? 8 ? ?3(sin ? ? ) 2 ? . 3 3
当 sin ? ?

2 2 21 时, | PD | 取得最大值 . 3 3
???10 分

12

24. 【解析】 (1) a ? b ? 2ab
2 2

∴ 2a 2 ? 2b 2 ? (a ? b) 2 ,∴ (a ? b) 2 ? 9 ∴ a ? b ? 3 (当且仅当 a ? b ?

3 时取等号) 2
???5 分

又 m ? a ? b ,故 m ? 3 ,即 m 的最小值为 3. (2)由(1) a ? b ? 3

若 2 | x ? 1 | ? | x |? a ? b 对任意的 a , b 恒成立,故只需 2 | x ? 1 | ? | x |? 3

x?0 x ?1 ? ? 0 ? x ?1 ? 或? 或? ? ?2(1 ? x) ? x ? 3 ?2(1 ? x) ? x ? 3 ?2( x ? 1) ? x ? 3
解 得

x??

1 3
???10 分



x?

5 . 3

13


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