nbhkdz.com冰点文库

托勒密定理塞瓦定理梅涅劳斯定理西姆松定理

时间:2013-04-05


托勒密定理
内容:指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

证明: 在任意凸四边形 ABCD 中(如右图), 作△ABE 使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD, 连接 DE. 则△ABE∽△ACD ∴BE/CD=AB/AC,即 BE·AC=AB·CD (1)

由△ABE∽△ACD 得 AD/AC=AE/AB

,又∠BAC=∠EAD, ∴△ABC∽△AED. BC/ED=AC/AD,即 ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又∵BE+ED≥BD ∴AB×CD+AD×BC≥AC×BD

塞瓦定理
在△ABC 内任取一点 O, 直线 AO、 CO 分别交对边于 D、 F, (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 BO、 E、 则
因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=1 所以 CD、AE、BF 交于一点

用同一法证 点 D,E,F 分别为三角形 ABC 三边 BC,AC,AB 上的点,若 AF/BF*BD/DC*CE/AE=1,则 AD,BE,CF 三点共线

逆命题证明

证明:设 BE,CF 交与点 O,AO 交 BC 于点 P。 则由赛瓦定理可知,AF/BF*BP/PC*CE/AE=1。 由已知 AF/BF*BD/DC*CE/AE=1 知,AF/BF*BP/PC*CE/AE=1=AF/BF*BD/DC*CE/AE。 推出 BP/PC=BD/DC,所以 BD/BC=BP/BC,故 BD=BP。 所以 D 点与 P 点重合。则 AD,BE,CF 三点共线,命题得证。

梅涅劳斯定理
如果一条直线与△ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 F、D、E 点,那么 (AF/FB)× (BD/DC)× (CE/EA)=1。 或:设 X、Y、Z 分别在△ABC 的 BC、CA、AB 所在直线 上,则 X、Y、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

西姆松定理
(1)称三角形的垂心为 H。西姆松线和 PH 的交点为线段 PH 的中点, 且这点在九点圆上。 (2)两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 (3)若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点 P 对应两者的西 姆松线的交角,跟 P 的位置无关。

(4)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落 在三角形的外接圆上。 (5)过三角形垂心的任意直线都是三角形的的西姆松线。


高中数学联赛常用定理

梅涅劳斯定理塞瓦定理 1、梅涅劳斯定理 2 梅涅劳斯...西姆松定理的逆定理为:若一点在三角形三边所在直线...五、托勒密定理 1、定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理...

数学竞赛—梅涅劳斯定理精选例题(一)

梅涅劳斯定理证明:赛瓦(Ceva)定理:在△ABC 内任取一点 O,直线 AO、BO、 ...用梅涅劳斯定理证明:西姆松(Simson)定理:若从△ABC 的外接圆上一点 P 作 BC...

平面几何中几个重要定理的证明

用上塞瓦定理使命题顺利获证. 二、梅涅劳斯定理 3....托勒密定理 5.托勒密定理及其证明 A B 定理:凸四边...四、西姆松定理 8.西姆松定理及其证明 定理:从 ?...

数学竞赛

几个重要定理:梅涅劳斯定理塞瓦定理托勒密定理西姆松定理。 几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离 的平方和最小的...

2014高中数学奥数培训资料之梅涅劳斯定理

塞瓦定理 1.背景: Menelaus 定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先...变式练习 2: (西姆松(Simson)定理)若从△ABC 的外接圆上一点 P 作 BC、...

平面几何的著名定理

梅涅劳斯定理梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是...“托勒密定理”) 复数证明 用 a、b、c、d 分别...西姆松定理的逆定理为:若一点在三角 形三边所在...

全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容

2、 几个重要定理:梅涅劳斯定理塞瓦定理托勒密定理西姆松定理。 3、 几个全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何 1、 数学竞赛大纲所确定的所有...

...班二试平面几何讲义.第一讲---平面几何的26个定理-1...

则 PC QA RB 注:梅涅劳斯定理的逆定理也成立 (用...塞瓦定理: 设 P, Q, R 分别是 ?ABC 的三边 ...西姆松定理:若从 ?ABC 外接圆上一点 P 作 BC ,...

3几何选讲平面几何中几个重要定理的证明

塞瓦定理使命题顺利获证. 二、 梅涅劳斯定理 3....托勒密定理 5.托勒密定理及其证明 定理:凸四边形 ABCD...四、 西姆松定理 8.西姆松定理及其证明 定理:从 ...

初中数学竞赛中常用重要定理

数学竞赛中几个重要定理 1、 梅涅劳斯定理:如果在△...3、 塞瓦定理:设 O 是△ ABC 内任意一点, AO ...· cosC; 10、西姆松定理:点 P 是△ ABC 外接圆...