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2015年大连市高三双基测试理科数学答案


2015 年大连市高三双基测试

数学(理科)参考答案与评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应

得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一.选择题 (1)A; (2)C; (3)D; (4)A; (5)D; (6)D; (7)B; (8)C; (9)A; (10)D; (11) C; (12)B. 二.填空题 (13)

7 5 3 2 (14) ;(15) ;16. . 9 4 5 6

三. 解答题 (17)解:(I)? an ?1 ?

an , 2a n ?1

?

2a ?1 1 1 1 ? n ,化简得 ? 2? , an ?1 an an?1 an



?1? 1 1 ? ? 2 ,故数列 ? ? 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. · · · · · · · · · · · · · · · 6分 an?1 an ? an ?
n(1 ? 2n ? 1) 1 ? n 2 . ········· 8 分 ? 2n ? 1 ,所以 S n ? 2 an

(Ⅱ)由(I)知

证法一:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? ? ? ??? ? S1 S2 Sn 1 2 n 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1

1 1 1 1 1 1 n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) ? 1? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
证法二: (用数学归纳法)当 n ? 1 时,

1 1 1 ? 不等式成立. ? 1, n ?1 2 S1

假设当 n ? k 时,不等式成立,即

1 1 1 k . ? ? ??? ? ? S1 S2 Sk k ? 1

则当 n ? k ? 1 时,则 又? k ?

1 1 1 1 k 1 , ? ? ??? ? ? ? ? S1 S2 Sk Sk ?1 k ? 1 (k ? 1)2

1 k ?1 1 1 1 1 k 1 ? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ? 0, 2 2 2 k ? 1 (k ? 1) k ? 2 k ? 1 (k ? 1) k ? 2 k ? 2 (k ? 1) (k ? 2)(k ? 1)2

?

1 1 1 1 k ?1 , ? ? ??? ? ? ? S1 S2 Sk Sk ?1 k ? 2
n 1 1 1 1 1 1 , ? ? ??? ? ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? 1 ,又因为 1 ? n ?1 S1 S2 Sn 1 2 n

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? 原不等式成立.· 证法三:

所以

1 1 1 n .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? ? ??? ? ? S1 S2 Sn n ? 1

(18)解: (Ⅰ)系统抽样. 这 40 辆小型汽车车速众数的估计值为 87.5,中位数的估计值为 87.5. ··· 2 分 (Ⅱ)车速在[80,90)的车辆共有(0.2+0.3)×40=20 辆,速度在[80,85),[85,90) 内的车辆分别有 8 辆和 12 辆. 记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取 3 辆车, 车速在[80,85)内的有 2 辆, 在[85,90) 内的有 1 辆为事件 A,车速在[80,85)内的有 1 辆,在[85,90)内的有 2 辆为事件 B, C8C12 C8C12 864 72 则 P(A)+P(B)= 3 + 3 = = . ·············· 8 分 C20 C20 1140 95 (Ⅲ)车速在[70,80)的车辆共有 6 辆,车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有 2 辆和 4 辆,若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取 3 辆,设车速在[75,80)的车辆数为 X,则 X 的可能取值为 1、2、3.
2 1 1 2

2

P(X=1)= P(X=2)=

C2×C4 4 1 = = , 3 C6 20 5 C2×C4 12 3 = = , 3 C6 20 5
0 3 1 2

2

1

C2×C4 4 1 P(X=3)= 3 = = , C6 20 5 故分布列为

X P

1 1 5

2 3 5

3 1 5

∴车速在[75,80)的车辆数的数学期望为

E(X)=1× +2× +3× =2. ················· 12 分

1 5

3 5

1 5

B

z
A

(19)解: (Ⅰ) ?AE ?平面 CDE, CD?平面 CDE, , ? AE ? CD
O

x
y
C

E F D

A B C D 为正方形,? , C D ? A D
平面 DAE, A E A D ? A ,A D , A E ?

? CD ?平面 DAE
(Ⅱ)

C D ? D E ·············· 4 分 平面 DAE,? D E ?

? 以 D 为原点,以 DE 为 x 轴建立如图所示的坐标系,
则E (2 ,0 ,0 ), F ( 1 ,0 ,0 ), A (2 ,0 ,2 ), D (0 ,0 ,0 ) ············· 6 分

AE?平面 CDE, D E ?平面 CDE,? A E ? D E
3

,? A D ? 22 A ED ?E ? 2

A B C D C D ? 22 为正方形,? ,? C ( 0 ,2 2 ,0 )
B C D为正方形可得: D 由A ,? B ( 2 ,2 2 ,2 ) B ?? D A D C ? ( 2 , 2 2 , 2 )
( x ,y ,z ) 设平面 BEF 的法向量为 n 1? 1 1 1
,F B E ? ( 0 , ? 22 , ? 2 ) E ? ( 1 ,0 ,0 ) 由?

? ? n1 ? B E ? 0

? 2 2y z ?? 1 ?2 1 ?0 ,令 y1 ? 1 ,则 z1 ?? 2 ? ? x ? 0 n ? F E ? 0 ? ? ? 1 ? 1

?? n 0 , 1 ,?2 ) 1 (
设平面 BCF 的法向量为 n , ( x ,y ,z ) 2? 2 2 2 ,C B C ?? (2 , 0 , ? 2 ) F ? ( 1 , ? 22 , 0 )

? ? 2 x 2 z 0 ? n C ? 0 ? 2? 2? ? 2?B 2 2 由? ,令 y 2 ? 1 ,则 x2 ? 2 2 , z2 ?? ? ? x ? 2 2 y ? 0 n ? C F ? 0 ? ? 2 2 ? ?2

? n ? ( 2 2 , 1 , ? 2 2 ) ······················· 8 分 2
设二面角 C 的平面角的大小为 ? ,则 ? B F ? E

n ? n 1 ? 4 55 1 1 2 c o s ? c o s ( ? ? n , n ? ) ? ?? c o sn , n ? ? ? ?? ?? 1 2 1 2 5 1 | nn || ?2 | 3 ?1 7 1

? ?

的平面角的余弦值为 ? ? B F ? E ? 二面角 C

5 51 51

·········· 12 分

(20)解: (Ⅰ)设直线 l1 的方程为: x ? my ? 2 ,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 联 立 方 程 组

? x ? my ? 2, ? 2 ? y ? 2 px.



y 2 ? 2 pmy ? 4 p ? 0



y1 ? y2 ? 2 pmy, y1 ? y2 ? ?4 p .
4

k1 ? k2 ?

y1 y y1 y2 2my1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 my1 ? 4 my2 ? 4 (my1 ? 4)(my2 ? 4)

?

?8mp ? 8mp · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? 0. · (my1 ? 2)(my2 ? 2) y1 ? y0 ?4 p ? y1 y0 当 x ? 2 时,yM ? , ( x ? x1 ) , x1 ? x0 y1 ? y0

(Ⅱ) 设点 P( x0 , y0 ) ,直线 PA : y ? y1 ?

同理 yN ?

?4 p ? y2 y0 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 y2 ? y0 ?4 p ? y2 y0 ?4 p ? y1 y0 ? ? ?2 , y2 ? y0 y1 ? y0

因为 OM ON ? 2 , 4 ? yN yM ? 2 ,

2 2 16 p 2 ? 4 py0 ( y2 ? y1 ) ? y0 y1 y2 16 p 2 ? 8 p 2 my0 ? 4 py0 , ? ? 2 ? ?2 2 2 y2 y1 ? y0 ( y2 ? y1 ) ? y0 ?4 p ? 2 pmy0 ? y0

p?

1 ,抛物线 C 的方程 y 2 ? x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2
ax ax

(21) (本小题满分 12 分) (1) f ( x) ? x ? e (a ? 0) ,则 f ?( x) ? 1 ? ae 令 f ?( x) ? 1 ? ae ? 0 ,则 x ?
ax

x
f ?( x )

1 1 ln a a 1 1 ( ?? , ln ) a a

1 1 ln a a
0

1 1 ( ln ,?? ) a a

?

?

f ( x)

极大值

1 1 1 1 ln ) ;减区间为 ( ln ,?? ) . a a a a 1 1 2 1 2 2 2 (2)当 ln ? ,即 0 ? a ? 2 时, f ( x) max ? f ( ) ? ? e , a a a e a a 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 当 ? ln ? 时,即 2 ? a ? 时, f ( x) max ? f ( ln ) ? ln ? , a a a a e e a a a a a
故函数 f ( x) 的增区间为 ( ?? ,
5

1 1 1 1 1 1 ln ? 时,即 a ? 时, f ( x) max ? f ( ) ? ? e . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 e a a a a a 1 1 1 1 1 1 (3)若函数 f ( x) 有两个零点,则 f ( ln ) ? ln ? ? 0 ,即 a ? , e a a a a a 1 1 1 1 1 而此时, f ( ) ? ? e ? 0 ,由此可得 x1 ? ? ln ? x2 , a a a a a 1 1 1 1 1 故 x2 ? x1 ? ln ? ,即 x1 ? x2 ? (1 ? ln ) , a a a a a
当 又

f ( x1 ) ? x1 ? eax1 ? 0, f ( x2 ) ? x2 ? eax2 ? 0

1 1 a[( (1?ln )] x1 eax1 ax1 ? ax2 a ( x1 ? x2 ) a a ? ? ax2 ? e ?e ?e ? eln( ae) ? ae . · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 x2 e

(22) 证明: (Ⅰ)连结 AB ,∵ ABPE 四点共圆,∴ ?ABC ? ?E . 又∵ ?ABC ? ?ADC ,∴ ?ADC ? ?E ,∴ A, D, M , E 四点公圆.· · · · · · · 5分 (Ⅱ)法一:连结 BN , ∵ ?PNB ? ?PAB ? ?C , ?BPN ? ?NPC ,

PB PN 2 ? ,∴ PN ? PB ? PC . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 PN PC 法二:连结 PN , AN .由(Ⅰ)知 ?PDN ? ?E ,∴ ?PDN ? ?E ? ?PNA ,又∵ PD PN 2 ?APN ? ?NPD ,∴ ?PDN ∽ ?PNA .∴ ? ,∴ PN ? PD ? PA , PN PA
∴ ?PNB ∽ ?PCN ,

PB ? PC ? PD ? PA , ∴ PN 2 ? PB ? PC . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

(23)解: (Ⅰ)直线 l 的极坐标方程为: ? sin( 曲线 C 的参数方程为 ?

?
3

?? ) ? 4,

? x ? 2cos ? . .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (? 为参数) ? y ? sin ? .

(Ⅱ) 曲线 C 的点 P (2cos? .sin? ) 到直线 l : 3x ? y ? 2 ? 0 的距离

d?

| 2 3 cos ? ? sin ? ? 2 | | 2 3 cos ? ? sin ? ? 2 | . ? 2 3 ?1
d 3 ? 13 sin(? ? ? ) ? 2 , tan ? ? . sin 30? 6

则 PA ?

当 sin(? ? ? ) ? ?1 时, | PA |max ? 13 ? 2 ;
6

当 sin(? ? ? ) ?

2 12 时, | PA |min ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 13

2 2 2 2 (24)证明:因为 x , y 是正实数,所以 ( x y ? x ? y ) ? 3 3 xy ? y ? x ? 3 xy ,当且仅当

x2 y ? x ? y 2 ,即 x ? y ? 1 时,等号成立;
2 2 2 2 同理: xy ? y ? x ? 3 3 xy ? y ? x ? 3xy ,当且仅当 xy 2 ? y ? x 2 ,即 x ? y ? 1

时,等号成立. 所以 ( x2 y ? x ? y 2 )( xy 2 ? y ? x2 ) ? 9x2 y 2 , 当且仅当 x ? y ? 1 时,等号成立. 因为 x ? y ,所以 ( x2 y ? x ? y 2 )(xy 2 ? y ? x 2 ) ? 9x 2 y 2 . ····· 10 分

7


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