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全国高中数学联赛模拟试题(7)


全国高中数学联赛模拟试题( 全国高中数学联赛模拟试题(7) 第一试
一.填空题: (每小题 7 分,共 56 分)

1、若集合 S={n|n 是整数,且22n+2整除2003n+2004},则 S 为 ______________(选填空集 ,单元集 ,二元集,无穷集) 2、 若多项式 x2-x+1能除尽另一个多项式 x3+x2+ax+b a、 皆

为常数) 则 ( b . a+b 等于_______________________ 3、设 a 是整数,关于 x 的方程 x2+(a-3)x+a2=0的两个实根为 x1、x2,且 tan(arctan x1+arctan x2)也是整数. 则这样的 a 的个数是________________ 4、在十进制中,若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外,其 余各个数字都小于其左边的数字时,则称它为递降正整数.所有这样的 递降正整数的个数为___________________ 5.、在正方体的8个顶点中,能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组 的个数是________________ 6、银行计划将某项资金的40%给项目 M 投资一年,其余的60%给项目 N.预 计项目 M 有可能获得19%到24%的年利润, 有可能获得29%到34%的年 N 利润.年终银行必须回笼资金,同时按一定的回扣率支付给储户.为使 银行的年利润不少于给 M、N 总投资的10%而不大于总投资的15%,则给 储户的回扣率的最小值是 .

7.△ABC 的三边长 a、b、c(a≤b≤c)同时满足下列三个条件 (i)a、b、c 均为整数; (ii)a、b、c 依次成等比数列; (iii)a 与 c 中至 有一个等于100. 则(a,b,c--)的所有可能的解为___________________________ 8.如图,已知正方体 ABCD-A1B1C--1D1,过顶点 A1在空间作直线 l,使 l 与 线 AC 和 BC1所成的角都等于60°.这样的直线 l 可以做________________

二.解答题(14+15+15)

9.设 a0=1,a1=2,an+1=2an-1+n,n=1,2,3,….试求出 an 的表达式(答案 用有限个关于 n 的式子相加的形式表示,且项数与 n 无关) .

10.试求出所有的有序整数对(a,b),使得关于 x 的方程 x4+(2b-a2)x2-2ax+b2 -1=0的各个根均是整数.

11.有2002名运动员,号码依次为1,2,3,…,2002.从中选出若干名运 动员参加仪仗队,但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人 的号码数的乘积.那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人?给出你的选 取方案,并简述理由.

加试
1.试求出正整数 k 的最小可能值,使得下述命题成立:对于任意的 k 个 整数 a1,a2,…,ak(允许相等) ,必定存在相应的 k 的整数 x1,x2,…,xk(也允许相 等) ,且|xi|≤2(i=1,2,…,k),|x1|+|x2|+…+|xk|≠0,使得2003整除 x1a1+x2a2 +…+xkak.

2.已知 x0=1,x1=3,xn+1=6xn-xn-1(n∈N+) . 求证:数列{xn}中无完全平方数.

3.已知△ABC 的外角∠EAC 平分线与△ABC 的外接圆交于 D, CD 为直 以 径的圆分别交 BC、CA 于点 P、Q. 求证:线段 PQ 平分△ABC 的周长.

4.给定由正整数组成的数列
(n≥1) . (1)求证:数列相邻项组成的无穷个整点 (a1,a2),(a3,a4),…,(a2k-1,a2k),… 均在曲线 x2+xy-y2+1=0上. (2)若设 f(x)=xn+xn-1-anx-an-1,g(x)=x2-x-1,证明:g(x)整除 f(x).

答案: 1.二元集 2.1 3.1 4.1013 5.48 6.10% 7.(100,100,100), (100,110,121),

(100,120,144),(100,130,169),(100,140,196),(100,150,225),(100,160,256), (49,70,100),(64,80,100),(81,90,100),(100,100,100) 8.3
9.a2n=2
n+2

-2n-3;a2n+1=3×2 n+1-2n-4.

10.(a,b)=(2l―1,l2―l―1)(l∈Z) 11.43 加试:
1.kmin=7

2.证略(提示:易由特征根法得 xn=,设 yn=,于是,原结论等价于方程 x4 -2y2=1无整数解,由数论只是可证) . 3.证略 4.证略(提示:用数学归纳法) .

5.


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