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专题:高考数学选择题的解题方法与技巧

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专题: 专题:选择题的解题方法与技巧
一、教学目标
1、了解并掌握选择题的解题方法与技巧,使学生能够达到准确、迅速解答选择题的目的; 2、培养学生灵活多样的辩证唯物主义观点; 3、培养学生的自信心,提高学生的创新意识.

二、重点聚集
高考数学选择题占总分值的
2 . 5

其解答特点是“四选一” ,

快速、准确、无误地选择好这个“一”是十分重要的. 选择题和其它题型相比,解题思路和方法有着一定的区别,产生这种现象的原因在于选择 题有着与其它题型明显不同的特点:①立意新颖、构思精巧、迷惑性强、题材内容相关相近, 真假难分;②技巧性高、灵活性大、概念性强、题材内容储蓄多变、解法奇特;③知识面广、 跨度较大、切入点多、综合性强. 正因为这些特点,使得选择题还具有区别与其它题型的考查功能:①能在较大的知识范围 内,实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查;②能比较确切地考查考生对概念、 原理、性质、法则、定理和公式的掌握和理解情况;③在一定程度上,能有效地考查逻辑思 维能力,运算能力、空间想象能力及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力.

三、基础训练
(1)若定义在区间(-1,0)内的函数 f ( x) = log 2 a ( x + 1) ,满足 f ( x) > 0 ,则 a 的取值范围 是:
1 A. (0, ) 2 1 B. (0, ] 2 1 C. [ , ∞ ) + 2 D. (0, ∞) +

(2)过原点的直线与圆 x 2 + y 2 + 4 x + 3 = 0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是: A. y = 3 x

B. y = ? 3 x

C. y =

3 x 3

D. y = ?

3 x 3

(3)如果函数 y = sin 2 x + a cos 2 x 的图像关于直线 x =

π
8

对称,那么 a 等于:

A. 2

B. ? 2

C .1

D.-1

?2 ? x ? 1, x ≤ 0 ? (4)设函数 f ( x) = ? 1 ,若 f ( x0 ) > 1 ,则 x0 的取值范围为: ? x2,x > 0 ?
( A. -1,1)

B. (?1,+∞)

C. (?∞,?2) ∪ (0,+∞)

D. (?∞,?1) ∪ (1,+∞)

(5)已知向量 a ≠ e , | e |= 1 ,且对任意 t ∈ R ,恒有 | a ? t e |≥| a ? e | ,则 A. a ⊥ e B. a ⊥ (a ? e) C. e ⊥ (a ? e) D. (e + a ) ⊥ (a ? e)

答案: (1)A (2)C (3)C (4)D (5)C

四、典型例题
(一)直接法 直接从题目条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理 和准确的运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应 的选择、涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
2 1 例 1、关于函数 f ( x) = sin 2 x ? ( ) | x| + ,看下面四个结论: 、 3 2 1 3 ① f (x) 是奇函数; ②当 x > 2007 时,f ( x) > 恒成立; f ( x) 的最大值是 ; f ( x) ③ ④ 2 2 1 的最小值是 ? .其中正确结论的个数为: 2 A .1 个 B.2 个 C .3 个 D .4 个 2 1 1 ? cos 2 x 2 | x| 1 1 2 【解析 f ( x) = sin 2 x ? ( ) | x| + = 解析】 ? ( ) + = 1 ? cos 2 x ? ( ) | x| , 解析 3 2 2 3 2 2 3

∴ f ( x) 为偶函数,结论①错;对于结论②,当 x = 1000π 时, x > 2007, sin 2 1000π = 0 ,
1 2 1000π 1 ?( ) < ,结论②错. 2 3 2 1 1 3 1 2 3 又∵ ? 1 ≤ cos 2 x ≤ 1 ,∴ ≤ 1 ? cos 2 x ≤ ,从而 1 ? cos 2 x ? ( ) | x| < ,结论③错. 2 2 2 2 3 2 2 1 2 1 f ( x) = sin 2 x ? ( ) | x| + 中, sin 2 x ≥ 0,?( ) | x| ≥ ?1 ,∴ f ( x) ≥ , 3 2 3 2 等号当且仅当 x=0 时成立,可知结论④正确.

∴ f (1000π ) =

【题后反思 题后反思】 题后反思 直接法是解答选择题最常用的基本方法,低档选择题可用此法迅速求解,直接法运用的 范围很广,只要运算正确必能得到正确的答案,提高直接法解选择题的能力,准确地把握中 档题的“个性” ,用简便方法巧解选择题,是建在扎实掌握“三基”的基础上的,否则一味求 快则会快中出错. (二)排除法 排除法也叫筛选法或淘汰法,使用排除法的前提条件是答案唯一,具体的做法是采用简 捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选” ,将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除,从而获 得正确结论.

例 2、直线 ax ? y + b = 0 与圆 x 2 + y 2 ? 2ax + 2by = 0 的图象可能是: 、
y y y y

O O x O x x O x

A. B. C. D. 【解析 解析】由圆的方程知圆必过原点,∴排除 A、C 选项,圆心(a,-b), 解析 由 B、D 两图知 a > 0,?b > 0 .直线方程可化为 y = ax + b ,可知应选 B. 【题后反思 题后反思】 题后反思 用排除法解选择题的一般规律是: (1)对于干扰支易于淘汰的选择题,可采用筛选法,能剔除几个就先剔除几个; (2)允许使用题干中的部分条件淘汰选择支; (3)如果选择支中存在等效命题,那么根据规定---答案唯一,等效命题应该同时排除; (4)如果选择支存在两个相反的,或互不相容的判断,那么其中至少有一个是假的; (5)如果选择支之间存在包含关系,必须根据题意才能判定. (三)特例法 特例法也称特值法、特形法. 就是运用满足题设条件的某些特殊值、特殊关系或特殊图形对选项进行检验或推理,从 而得到正确选项的方法,常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、 特殊位置等.

?2 ? x ? 1, x ≤ 0 ? ,若 f ( x0 ) > 1 ,则 x0 的取值范围为: 例 3、设函数 f ( x) = ? 1 、 ? x2,x > 0 ?
A. (-1,1) B. ? 1,+∞ ) ( C. (?∞,?2) ∪ (0,+∞) D. (?∞,?1) ∪ (1,+∞)

1 2 1 【解析 解析】∵ f ( ) = < 1 ,∴ 不符合题意,∴排除选项 A、B、C,故应选 D. 解析 2 2 2

例 4、已知函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图像如图所示,则 b 的取值范围是: 、
y

A. (?∞,0) C . 1 ,2 ) (

B. (0,1) D. (2,+∞)

O

1 2 x

【解析 解析】设函数 f ( x) = x( x ? 1)( x ? 2) = x 3 ? 3 x 2 + 2 x , 解析 此时 a = 1, b = ?3, c = 2, d = 0 . 【题后反思 题后反思】 题后反思

这类题目若是脚踏实地地求解,不仅运算量大,而且极易出错,而通过选择特殊点进行 运算,既快又准,但要特别注意,所选的特殊值必须满足已知条件. (四)验证法 又叫代入法,就是将各个选择项逐一代入题设进行检验,从而获得正确的判断,即将各个 选择支分别作为条件,去验证命题,能使命题成立的选择支就是应选的答案. “对于区间(1,2)上的任意 x1 , x 2 ( x1 ≠ x 2 ) , 例 5、 在下列四个函数中,满足性质: 、

| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |<| x1 ? x 2 | 恒成立”的只有:
A. f ( x) =
1 x B. f ( x) =| x |
C. f ( x ) = 2 x D. f ( x ) = x 2

【解析 当 f ( x) = 解析】 解析 故选 A.

| f ( x 2 ) ? f ( x1 ) | 1 1 时, = < 1, 所以 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |<| x1 ? x 2 | 恒成立, x | x1 ? x 2 | | x1 x 2 |

例 6、若圆 x 2 + y 2 = r 2 (r > 0) 上恰有相异两点到直线 4 x ? 3 y + 25 = 0 的距离等于 1,则 r 、 的取值范围是:
A.[4,6] B. [4,6) C. (4,6] D. (4,6)

【解析 解析】圆心到直线 4 x ? 3 y + 25 = 0 的距离为 5,则当 r = 4 时,圆上只有一个点到直线的 解析 距离为 1,当 r = 6 时,圆上有三个点到直线的距离等于 1,故应选 D. 【题后反思】 代入验证法适用于题设复杂、结论简单的选择题,这里选择把选项代入验证,若第一个恰 好满足题意就没有必要继续验证了,大大提高了解题速度. (五)数形结合法 “数缺形时少直观,形少数时难入微” ,对于一些具体几何背景的数学题,如能构造出与之 相应的图形进行分析,则能在数形结合,以形助数中获得形象直观的解法. 例 7、 若函数 y = f ( x)( x ∈ R ) 满足 f ( x + 2) = f ( x) ,且 x ∈ [?1,1] 时, f ( x) =| x | ,则函数 、
y = f ( x)( x ∈ R ) 的图像与函数 y = log 3 | x | 的图像的交点个数为: A .2 B.3 C .4 D.无数个
y Y=f(x) -3 -2 -1

y = log 3 | x |
1 2 3 x

【解析 解析】由已知条件可做出函数 f (x) 及 y = log 3 | x | 解析 的图像,如下图,由图像可得其交点的个数为 4 个, 故应选 C.

?2 x ? x ? 1, x ≤ 0 ? 1 ,若 f ( x0 ) > 1 若 f ( x0 ) > 1 ,则 x0 的取值范围为: 例 8、设函数 f ( x) = ? 、 ? x2 ,x > 0 ?

A. (-1,1)
C. ? 1,+∞ ) (

B. (?∞,?2) ∪ (0,+∞)
y

D. (?∞,?1) ∪ (1,+∞)

1 x -1 O 1

【解析 解析】在同一直角坐标系中,做出函数 f (x) 解析 和直线 x=1 的图像,它们相交于(-1,1)和 (1,1)两点,则 f ( x0 ) > 1 ,得 x0 < ?1或x0 > 1 ,故选 D. 【题后反思 题后反思】 题后反思

严格地说,图解法并非属于选择题解题思路范畴,而是一种数形结合的解题策略,但它在 解有关选择题时非常简便有效,不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几 何图形较熟悉,否则错误的图像反会导致错误的选择. (六)逻辑分析法 分析法就是根据结论的要求,通过对题干和选择支的关系进行观察分析、寻求充分条件, 发现规律,从而做出正确判断的一种方法,分析法可分为定性分析法和定量分析法. 例 9、若定义在区间(-1,0)内的函数 f ( x) = log 2 a ( x + 1) 满足 f ( x) > 0 ,则 a 的取值范围 、 是:
1 A. (0, ) 2 1 B. (0, ] 2 1 C. ( ,+∞) 2 D. (0,+∞)

【解析 解析】要使 f ( x) > 0 成立,只要 2a 和 x+1 同时大于 1 或同时小于 1 成立,当 x ∈ (?1,0) 解析 时, x + 1∈ (0,1) ,则 2a ∈ (0,1) ,故选 A. 用 每个排列为一行写成一个 n! 例 10、 n 个不同的实数 a1 , a 2 , a3 ? , a n 可得 n! 个不同的排列, 、 行的矩阵,对第 i 行 a i1 , ai 2 , a i 3 ? , a in ,记 bi = ? ai1 + 2ai 2 ? 3a i 3 + ? + (?1) n ain , 1 2 3
132 213 231 数之和都是 12,所以 b1 + b2 + ? + b6 = ?12 + 2 × 12 ? 3 × 12 = ?24 ,那么用 1, 3 2 1 312

( i = 1,2,3, ? , n )例如用 1、2、3 排数阵如图所示,由于此数阵中每一列各

2,3,4,5 形成的数阵中, b1 + b2 + ? + b120 = A.-3600 B.1800

C.-1080

D.-720

【解析 n = 3 时, 3!= 6 ,每一列之和为 3!?2!= 12 , b1 + b2 + ? + b6 = 12 × (?1 + 2 ? 3) = ?24 , 解析】 解析
n = 5 时, != 6 , 5 每一列之和为 5!?4!= 360 , 1 + b2 + ? + b120 = 360 × (?1 + 2 ? 3 + 4 ? 5) = ?1080 , b

故选 C. 【题后反思 题后反思】 题后反思 分析法实际是一种综合法,它要求在解题的过程中必须保持和平的心态、仔细、认真的去分

析、学习、掌握、验证学习的结果,再运用所学的知识解题,对考察学生的学习能力要求较 高. (七)极端值法 从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变,应用极端值法解决某些问题,可以避开抽 象、复杂的运算,隆低难度,优化解题过程. 例 11、对任意 θ ∈ (0, ) 都有: 、 2
A. sin(sin θ ) < cos θ < cos(cos θ )
C. sin(cos θ ) < cos(sin θ ) < cos θ B. sin(sin θ ) > cos θ > cos(cos θ ) D. sin(cos θ ) < cos θ < cos(sin θ )

π

【解析 解析】当 θ → 0 时, sin(sin θ ) → 0 , cos θ → 1, cos(cos θ ) → cos 1 ,故排除 A、B, 解析 当θ →

π
2

时, cos(sin θ ) → cos 1 , cos θ → 0 ,故排除 C,因此选 D.

例 12、设 a = sin α + cos α , b = sin β + cos β ,且 0 < α < β < 、
A. a <

π
4

,则

a2 + b2 a2 + b2 <b< 2 2 a2 + b2 a2 + b2 < <b 2 2

B. a < b <

a2 + b2 a2 + b2 < 2 2

C. a <

a2 + b2 a2 + b2 D. <a<b< 2 2

【解析 解析】∵ 0 < α < β < 解析

π
4

,∵令 α → 0, β →

π
4

,则 a → 1, b → 2,

a2 + b2 3 → , 2 2

易知: 1 < 1.5 < 2 < 1.5 ,故应选 A. 【题后反思 题后反思】 题后反思 有一类比较大小的问题,使用常规方法难以奏效(或过于繁杂) ,又无特殊值可取,在这种 情况下,取极限往往会收到意想不到的效果. (八)估值法 由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程,因此可通过猜测、合情推理、估 算而获得答案,这样往往可以减少运算量,避免“小题大做” . 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形, EF//AB, = EF 例 13、 、
EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为: 9 15 D A. B.5 C .6 D. 2 2 【解析 解析】由已知条件可知,EF//面 ABCD,则 F 到平面 ABCD 解析 A 1 2 的距离为 2,∴ V F ? ABCD = × 3 × 2 = 6 ,而该多面体的体积必大于 6,故选 D. 3
E F C B

3 , 2

例 14、 已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 、 AB=BC=CA=2,则球面面积是: 16π 8π 64π A. B. C. 4π D. 9 3 9 【解析 设球的半径为 R, ABC 的外接圆半径 r = 解析】 ? 解析 故选 D. 【题后反思 题后反思】 题后反思 有些问题,由于受条件限制,无法(有时也没有必要)进行精确的运算和判断,而又能依 赖于估算,估算实质上是一种数字意义,它以正确的算理为基础,通过合理的观察、比较、 判断、推理,从而做出正确的判断、估算、省去了很多推导过程和比较复杂的计算,节省了 时间,从而显得快捷.其应用广泛,它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的 运算方法. (九)割补法 “级割善补”是解决几何问题常用的方法,巧妙地利用割补法,可以将不规则的图形转化为 规则的图形,这样可以使问题得到简化,从而缩短解题时间. 例 15、一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一 、 球面上,则此球的表面积为:
A. 3π B. 4π C. 3 3π D. 6π
B C A D

2 3 16 , S 球 = 4πR 2 ≥ 4πr 2 = π > 5π , 则 3 3

【解析 解析】如图,将正四面体 ABCD 补成正方体,则正四面体、正方体的中心与其外接球的 解析 球心共一面,因为正四面体棱长为 2 ,所以正方体棱长为 1,从而外接球半径 R =
S 球 = 3π ,选 A.

3 ,故 2

【题后反思 题后反思】 题后反思 “割”即化整为零,各个击破,将不易求解的问题,转化为易于求解的问题; “补”即代分 散不集中,着眼整体,补成一个“规则图形”来解决问题,当我们遇到不规则的几何图形或 几何体时,自然要想到“割补法” . 五、限时课后练习 (1)已知 α , β 是锐角,且 α + β =
1 3 A. [ , ] 2 2 2π ,则 cos 2 α + cos 2 β 的取值范围是: 3 1 3 1 3 1 3 B. [ , ) C. [ , ] D. [ , ) 2 2 2 4 2 4

(2) 2007,安徽高考)若 A = {x | 2 ≤ 2 2? x < 8, x ∈ Z } , B = {x || log 2 x |> 1, x ∈ R} ,则 A 交 (
B 补中元素的个数为: A. 0 B.1 C .2 D. 3

(3) (2007,山东高考)已知集合 M = {?1,1} , N = {x |
A. {?1,1} B. {?1} C. {0}

1 < 2 x +1 < 4, x ∈ Z } ,则 M ∩ N = 2 D. {?1,0}

(4)过原点的直线与圆 x 2 + y 2 + 4 x + 3 = 0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是:
A. y = 3 x
B. y = ? 3 x C. y =

3 x 3

D. y = ?

3 x 3

0 2 n (5)如果 n 是正偶数,则 C n + C n + ? + C n =

A. 2 n

B. 2 n ?1

C. 2 n +1

D. (n ? 1) × 2 n?1

(6)函数 f ( x) = M sin(ωx + ? )(ω > 0) ,则区间[a,b]上是增函数,且 f (a ) = ? M , f (b) = M , 则函数 g ( x) = M cos(ωx + ? ) 在[a,b]上是:
A.增函数

(7)函数 f ( x) = sin(
A.

π
3

B.减函数

C.有最大值 M

D.有最小值—M

? 2 x) + sin 2 x 的最小正周期是: B. π C .2 π D.4 π

π
2

(8)过点 A(1,-1) B(-1,1)且圆心在直线 x + y ? 2 = 0 上的圆的方程是: ,
A. ( x ? 3) 2 + ( y + 1) 2 = 4 C. ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 = 4 B. ( x + 3) 2 + ( y ? 1) 2 = 4 D. ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = 4

(9)定义在 (?∞,0) ∪ (0,+∞) 上的奇函数 f (x) ,在 (0,+∞) 上为增函数,当 x > 0 时, f (x) 的
y

图像如下图所示,则不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] < 0 的解集是:
A. (?3,0) ∪ (0,3) C. (?∞,?3] ∪ (3,+∞) B. (?∞,?3) ∪ (3,+∞) D. (?3,0) ∪ (3,+∞ )
O O 3 x

(10)函数 y =| x 2 ? 1 | +1 的图像与函数 y = 2 x 的图像交点的个数为:
A .1 B.2 C .3 D .4

(11)如下图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 ?ADE , ?BCF 均为正三角形,EF//AB,EF=2,则该多面体的体积为:
2 A. 3 3 B. 3 4 C. 3 3 D. 2
E D A B C F

(12)如下图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,P、 Q 分别为侧棱 AA1、和 CC1 上的点,且 AP=C1Q,则四棱 锥 B—A1PQC 的体积为:
2V A. 3 V B. 3 3V C. 7 2V D. 7
D1 A1 B1 F O E D H G C B C1

A1 B1 P A B

C1 Q

C

(13)如右图所示,在正方体 AC1 中,
E 为 AD 的中点,O 为侧面 AA1B1B

的中心,F 为 CC1 上任意一点,则 异面直线 OF 与 BE 所成的角是:
A.

π
6

B.

π
4

C.

π
3

D.

π
2

A

(14)要得到函数 y = 2 sin 2 x 的图像,只需把函数 y = 4 sin( x +
A.向右平移 C.向右平移

π
6

) cos( x +

π
6

) 的图像:

π π
3

个单位 个单位

B.向左平移 D.向左平移

π π
3

个单位

个单位 6 6 (15)函数 y =| log 1 x | 的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度 b-a 的最小值
2

是:

A.2

B.

3 2

C .3

D.

3 4

1 (16)已知函数 f ( x) = ( ) x ? log 2 x ,正实数 a,b,c 满足 f (c) < 0 < f (a ) < f (b) ,若实数 d 3

是函数 f (x) 的一个零点,那么下列四个判断:①d<a;②d>b;③d<c;④d>c,其中可能成立 的个数为: A.1
B.2 C .3 D.4

? ( x + 1) 2 , x < 1 (17)设函数 f ( x) = ? ,则使得 f (?1) + f (m ? 1) = 1 成立的 m 的取值为: ?4 ? x ? 1, x ≥ 1
A.10 B.0,-1 C.0,-2,10 D.1,-1,11

(18) 已知点 P 是椭圆

x2 y2 + = 1 上的动点, 1, 2 分别为椭圆的左右焦点, 为坐标原点, F F O 8 4



|| PF1 | ? | PF2 || 的取值范围是: | OP | A. [0, 2 ] 2 B. [0,2] 1 2 C. ( , ] 2 2 D. [0, 2 ]

答案: ( 答案: 1)D (10)C

(2)C

(3 )B (4 )C

(5 )B (6 )C

(7 )B (8 )C

(9 )A

(11)A (12)B (13)D (14)C

(15)D (16)B (17)D (18)D

填空题的解题方法与技巧 第二节 填空题的解题方法与技巧
一、教学目标
1.了解填空题的题型特点和考查角度,掌握填空题的解题方法和技巧,规范其解答; 2.培养学生分析问题和解决问题的能力; 3.使学生会一分为二的辩证的看待问题.

二、重点聚集
填空题的主要作用是考查学生的基础知识、基本技能及思维能力和分析问题、解决问题的 能力,填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简,结果稍有毛病,便得 零分. 填空题的基本特点: 1.方法灵活,答案唯一; 2.答案简短,具体明确. 学生在解答填空题时注意以下几点; 1.对于计算型填空题要运算到底,结果要规范; 2.填空题所填结果要完整,不可缺少一些限制条件; 3.填空题所填结论要符合高中数学教材要求; 4.解答填空题平均每小题 3 分钟,解题时间应控制在 12 分钟左右. 总之,解填空题的基本原则是“小题小做” ,要“准”“活”“灵”“快” 、 、 、 .

三、基础训练
(1)设直线 l ? 平面α ,过平面 α 外一点 A 作直线,
则与 l , α 都成 45 角的直线有 条.

y B

·Q(2,1) ·P(x,y) A x

(2)如下图所示,过点 Q(2,1)的动直线 l 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,则线段 AB 的中点 P 有轨迹方程为: (3)若数列 {a n } 中, a1 = 1, a n +1 = 3S n (n ≥ 1) ,则 S n 为:

. .

(4)对于满足 0 ≤ p ≤ 4 的一切实数 x,不等式 x 2 + px > 4 x + p ? 3 恒成立,则 x 的取值范 围是:

? x? y+2≥0 ? (5)设实数 x、y 满足 ? x + y ? 4 ≥ 0 ,则 | x + 2 y ? 4 | 的最大值是: ?2 x ? y ? 5 ≤ 0 ?

答案: (1)2 答案:

(2) 2 xy ? x ? 2 y = 0( x ≠ 1) (4) (?∞,?1) ∪ (3,+∞) (5)21

(3) S n = 4 n ?1 (n ∈ N * )

四、典型例题
(一)直接法 直接法求解就是从题设条件出发,运用定义、定理、公式、性质、法则等知识,通过变形、 推理、计算等,得出正确的结论. 例 1、不等式 (1 + x)(1? | x |) > 0 的解集是: 、 【解析 解析】当 x ≥ 0 时,原不等式等价于 (1 + x)(1 ? x) > 0 , 解析 ∴ ? 1 < x < 1 ,此时应有: 0 ≤ x < 1 ; 当 x < 0 时,原不等式等价于 (1 + x) 2 > 0 , ∴ x ≠ ?1 ,此时应有: x < ?1或 ? 1 < x < 0 ; ∴不等式 (1 + x)(1? | x |) > 0 的解集是: {x | x < 1且x ≠ ?1} . 例 2、在等差数列 {a n } 中, a1 = ?3, na5 = 5a8 ? 13 ,则数列 {a n } 的前 n 项和 Sn 的最小值为: 、 【解析 解析】设公差为 d,则 11(?3 + 4d ) = 5(?3 + 7 d ) ? 13 , 解析
5 ,∴数列 {a n } 为递增数列, 9 5 2 令 a n ≥ 0 ,∴ ? 3 + (n ? 1) × ≤ 0 ,∴ n ≤ 6 , 9 5

∴d =

∵ n ∈ N * ,∴ n ≤ 7 ,∴前 6 项和均为负值, ∴Sn 的最小值为 S 6 = ? 【题后反思 题后反思】 题后反思 由于填空题不需要解题材过程,因此可以透过现象看本质,自觉地、有意识地采用灵活、 简洁的解法,省去某些步骤,大跨度前进,也可配合心算、速算、力求快速,辟免“小题大 做” . (二)特殊值法 特殊值法 当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,我们只需把题材中的参 变量用特殊值代替之,即可得到结论.
5 7 函数 y = f (x) 在 0, ) ( 2 上是一增函数, 函数 y = f ( x + 2) 是偶函数, f (1), f ( ), f ( ) 则 例 3、 、 2 2 的大小关系为: (用“<”号连接) 29 . 3

7 5 【解析 解析】取 f ( x) = ?( x ? 2) 2 ,则 f ( ) < f (1) < f ( ) , 解析 2 2

例 4、椭圆 、

x2 y2 + = 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为其上的动点,当 ∠F1 PF2 为钝角时,点 P 横 9 4

坐标的取值范围是: 【解析 解析】设 P(x,y),则当 ∠F1 PF2 = 90 时,点 P 的轨迹方程为 x 2 + y 2 = 5 ,由此可得点 P 解析 的横坐标 x = ±
3 5

,又当点 P 在 x 轴上时, ∠F1 PF2 = 0 ;点 P 在 y 轴上时, ∠F1 PF2 为钝角,
3 5 3 5 <x< . 5 5

由此可得点 P 横坐标的取值范围是: ? 【题后反思 题后反思】 题后反思

特殊值法一般可取特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊性点、 特殊方程、特殊模型等. (三)数形结合法 根据题目条件,画出符合题意的图形,以形助数,通过对图形的直观分析、判断,往往可 以简捷地得出正确的结果,它既是方法,也是技巧,更是基本的数学思想. 例 5、已知直线 y = x + m 与函数 y = 1 ? x 2 的图像有两个 、 不同的交点,则实数 m 的取值范围是: 【解析 解析】∵函数 y = 1 ? x 2 的图像如图所示, 解析 ∴由图可知: 1 ≤ m < 2 .
1 3 1 2 x + ax + 2bx + c , 若当 x ∈ (0,1) 时, f (x) 可取得极大值; x ∈ (1,2) 当 3 2 b?2 y 时, f (x) 可取得极小值,则 的取值范围是: A(1,2) a ?1
y y = x+


-1 1

2 y=x y = x +1 y = x ?1
x

例 6、 、 设函数 f ( x) =

【解析 f ( x) = x + ax + 2b ,由条件知, f ( x) = 0 的一个 解析】 解析
/ 2 /

根在(0,1)上,另一个根在(1,2)上,
? f / (1) < 0 ?a + 2b + 1 < 0 ? / ? ∴ ? f (0) > 0 ,即 ? b>0 ? f / ( 2) > 0 ?a +b+ 2 > 0 ? ?

(-3,1) … … …. …… ……… ……… ……… -2 -1

x a+2b+1=0

-2

a+b+1=0

如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中作出上述区域,得点 P(a,b)在图中的阴影区域内, b?2 b?2 1 而 的几何意义是过两点 P(a,b)与 A(1,2)的直线的斜率,易知 = k PA ∈ ( ,1) . a ?1 a ?1 4 【题后反思 题后反思】 题后反思 数形结合法,常用的有 Venn 图,三角函数线,函数图像及方程的曲线等,另一面,有些图

形问题转化为数量关系,如直线垂直可转化为斜率关系或向量积等. (四)等价转化法 等价转化法 通过“化复杂为简单,化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题,从而等到正确 的结果. 例 7、若不论 k 为何实数,直线 y = kx + 1 与圆 x 2 + y 2 ? 2ax + a 2 ? 2a ? 4 = 0 恒有交点,则实 、 数 a 的取值范围是: 【解析 解析】题设条件等价于直线上的定点(0,1)在圆内或圆上,或等价于点(0,1)到圆心 解析 (a,0)的距离小于或等到于圆的半径 2a + 4 ,所以 ? 1 ≤ a ≤ 3 例 8、计算 3 7 + 5 2 + 3 7 ? 5 2 = 、 【解析 分别求这两个二重根式的值显然不是那么容易, 解析】 不妨从整体考虑, 通过解方程求之. 解析 设3 7 + 5 2 + 3 7 ?5 2 = x , 两边同时立方得:x 3 + 3 x ? 14 = 0 , 即:( x ? 2)( x 2 + 2 x + 7) = 0 , ∵ x 2 + 2 x + 7 ≠ 0 ,∴ x = 2 ,即 3 7 + 5 2 + 3 7 ? 5 2 = 2,因此应填 2. 【题后反思 题后反思】 题后反思 在研究解决数学问题时,常采用转化的手段将问题向有利于解答的方面转化,从而使问题 转化为熟悉的、规范的、甚至模式的问题,把复杂的问题转化为简单的问题. (五)构造法 构造法 根据题设条件与结论的特殊性,构造出一些新的数学形式,并借助于它来认识和解决问题. 例 9、如果 (1 + sin 4 θ ) sin θ > (1 + cos 4 θ ) cos θ , (θ ∈ (0,2π )) ,那么角 θ 的取值范围是: 、 .

【解析 解析】设函数 f ( x) = (1 + x) 4 x ,则 f / ( x) = 1 + 5 x 4 > 0 ,所以 f (x) 是增函数,由题设,得出 解析

π 5π f (sin θ ) > f (cos θ ) ,得 sin θ > cos θ ,所以 θ ∈ ( , ) . 4 4 例 10、P 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的上底面 A1B1C1D1 内任意一点,AP 与三条棱 AA1, 、
AB1,AD 的夹角分别为 α , β , γ ,则 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ =
A1 Q B1 R C1 P D1

【解析 解析】如上图,过 P 作平面 PQQ P ,使它们分别与平面 B1C1CB 解析 和平面 C1D1DC 平行,则构造一个长方体 AQ/P/R/—A1QPR,故
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 .

/ /

A B Q
/

P/ R
/

D C

【题后反思 题后反思】 题后反思

凡解题时需要根据题目的具体情况来设计新模式的的问题,通常要用构造法解决. (六)分析法 根据题设条件的特征进行观察、分析、从而得出正确的结论.

x2 ? y 2 = 1 的左焦点 F 和左准线 l 为相应的焦点和准线的椭圆截直线 例 11、 以双曲线 、 3
y = kx + 3 ,所得的弦恰好被 x 轴平分,则 k 的取值范围是:



3 【解析 解析】双曲线的左焦点为 F(-2,0) ,左准线 l 为 x = ? ,因为椭圆截直线所得的弦恰好 解析 2 3 被 x 轴平分, 故根据椭圆的对称性, 知椭圆的中心即为直线 y = kx + 3 与 x 轴的交点 ? ,0 ) ( , k 3 3 故 ? < ?2 ,得 0 < k < . k 2

( 例 12、 2007 福建)某射手射击 1 次,击中目标的概率为 0.9,他连续射击 4 次,且各次射 、 击是否击中目标相互之间没有影响,有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9;②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.9 3 × 0.1 ;③他至少击 中目标 1 次的概率是 1 ? 0.14 . 【解析 解析】①第 3 次击中目标意味着 1、2、4 次可击中,也可不击中,从而第 3 次击中目标 解析 的概率为 (0.9 + 0.1) × (0.9 + 0.1) × 0.9 × (0.9 + 0.1) = 0.9 ; ②恰好击中目标 3 次的概率是独立重复
3 试验,故概率为 C 4 × 0.9 3 × 0.1 ;③运用对立事件 4 次射击,一次也没有击中的概率为 0.14 ,

从而至少击中目标一次的概率为 1 ? 0.14 .故正确结论的序号为①、③. 【题后反思 题后反思】 题后反思 分析法是解答问题的常用方法,该方法需要我们从题设出发,对条件进行观察、分析,找 到相应的解决方法.

五、限时课后练习
2 (1)已知函数 f ( x) = x 3 ? 2 x + 5 在 (? ,1) 上单调递减,在 (1,+∞) 上单调递增,且 f (x) 的导数 3

记为 f / ( x) ,则下列结论中,正确的是:
2 是方程 f / ( x) = 0 的根; ②1 是方程 f / ( x) = 0 的根; 3 2 ④有极大值 f (? ) ; ⑤ a = ?0.5 3

①?

③有极小值 f (1) ;

(2)设 m、n 是异面直线,则:①一定存在平面 α ,使 m ? α 且 n // α ;②一定存在平面 β , 使m ? β 且n ⊥ β ; ③一定存在平面 γ , m、 到 γ 的距离相等; 使 n ④一定存在无数对平面 α 和

β ,使 m ? α , n ? β且α ⊥ β .上述四个命题中,正确命题的序号是:



(3) i 是虚单位,

? 5 + 10i = 3 + 4i

(用 a + bi,a, b ∈ R 的形式表示)
. 条件.

(4)设 a > b > 1 ,则 log b a, log a b, log ab b 的大小关系是: (5) x、y 中至少有一个小于 0”是“ x + y < 0 ”的 “

a+b ,则两边均 2 含有运算符号“*”和“+” ,且对于任意 3 个实数 a、b、c 都能成立的一个等式可以是: .
(6)若记符号“*”表示求两个实数 a 与 b 的算术平均数的运算,即 a * b =

x2 y2 (7)设椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为 F1,右准线为 l1 ,若过 F1 且垂直于 x 轴的弦长 a b
等于点 F1 到直线 l1 的距离,则椭圆的离心率是: .

(8) a = (m + 1)i ? 3 j ,b = i + (m ? 1) j , 设 其中 i, j 为互相垂直的单位向量, (a + b) ⊥ (a ? b) , 又 则实数 m= .

(9) 如果函数 f ( x) = x 2 + bx + c 对任意实数 t, 都有 f (2 + t ) = f (2 ? t ) , 那么 f (1), f (2), f (4) 的 大小关系是: (10)过抛物线 y = ax 2 (a > 0) 的焦点 F 作一直线与抛物线交于 P、Q 两点,若线段 PF、FQ 的长分别为 p、q,则
1 1 + = p q



(11)椭圆 为:

x2 y2 + = 1 的长轴的两端点为 M、N,点 P 在椭圆上,则 PM 与 PN 的斜率之积 4 3


1 x 的实数解的个数是: 4 4 3 (13)不等式 x > ax + 的解集为(4,b) ,则 a= 2

(12)方程 sin( x ?

π

)=

. ,b= ;

(14)已知函数 f ( x) = x 3 ? 12 x + 8 在(-3,3)上的最大值与最小值分别为 M、m, 则 M+m= .

( 15 ) 已 知 集 合 A = {( x, y ) | x 2 + mx + 2 = y} , B = {( x, y ) | x ? y + 1 = 0,0 ≤ x ≤ 2} , 如 果

A ∩ B ≠ φ ,则实数 m 的取值范围是:


1 , 则 f ( x)

( 16 ) 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 是 奇 函 数 , 且 满 足 f ( x + 1) = ?

f (1) + f (2) + f (3) _ f (4) + f (5) + f (6) + f (7) =



x2 (17) F1, 2 是双曲线 设 F ? y 2 = 1 的两个焦点, P 在双曲线上且 ∠F1 PF2 = 90 , ?F1 PF2 点 则 4 的面积是: . . (18)在数列 {a n } 中,若 a1 = 1, a n +1 = 2a n + 3(n ≥ 1) ,则该数列的通项 a n = 答案: 答案: (1)①②③④⑤; (2)①③④; (3) 1 + 2i ; 4) log ab b < log a b < log b a ; 5)必要不充分; ( ( (6) a + (b * c) = (a + b) * (a + c)(或(a * b) + c = (a * c) + (b * c)或(a * b) + c = (b * a) + c) (答案不 唯一) ; (12)3;
(16)0; 1 (7 ) ; 2

(8)-2;

(9) f (2) < f (1) < f (4) ; (10)4a;
(14)16;

(11) ?

3 ; 4

1 (13) a = ,b = 36 ; 8

(15) m ≤ ?1 ;

(17)1;

(18) 2 n +1 ? 3 .

解答题的解题 题的解题策略 第三节 解答题的解题策略
一、教学目标
1.使学生掌握解答题的解题策略和技巧,使学生在解答客观性问题时能较为迅速的明确

解题的方向和解题的策略;
2.培养学生客观的分析问题、解决问题的能力,同时提高学生处理问题的整体意识.

二、重点聚集
解答题可分为低档题、中档题和高档题三个档次,低档题主要考查基础知识和基本方法与 技能,中档题还要考查数学思想方法和运算能力、思维能力、整合与转化能力、空间想象能 力,高档题还要考查灵活运用数学知识的能力及分析问题和解决问题的能力.

三、基础训练
(1)试求常数 m 的范围,使曲线 y = x 2 的所有弦都不能被直线 y = m( x ? 3) 垂直平分. 思路点拨: 思路点拨: “不能”的反面是“能” ,被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称,于是问题转化为 “抛物线 y = x 2 上存在两点关于直线 y = m( x ? 3) 对称,求 m 的取值范围” ,再求出 m 的取值 集合的补集即为原问题的解. (2)已知 a ∈ R ,求函数 y = (a ? sin x)(a ? cos x) 的最小值. 思路点拨: 路点拨: y = (a ? sin x)(a ? cos x) = a 2 ? a (sin x + cos x) + sin x cos x ,而 sin x + cos x 与 sin x cos x 有联

系,可设 t = sin x + cos x ,则原来的问题可转化为二次函数的闭区间上的最值问题. x2 y2 (3)已知 x、y 满足条件 + = 1 ,求 y-3x 的最大值与最小值. 16 25 思路点拨: 思路点拨: 此题令 b=y-3x,即 y=3x+b,视 b 为直线 y=3x+b 的截距,而直线与椭圆必须有公共点, 故相切,b 有最值. (4)设不等式 2 x ? 1 > m( x 2 ? 1) 对满足 m ∈ [?2,2] 的一切实数 m 都成立,求 x 的取值范围. 思路点拨: 思路点拨: 此问题由于是常见的思维定势,易把它看成关于 x 的不等式讨论,若变换一个角度,以 m 为变量, f (m) = ( x 2 ? 1)m ? (2 x ? 1) , 使 则问题转化为求一次函数 (或常函数) f (m) 的值在[-2,
2]内恒负时,参数 x 应满足的条件.

四、典型例题 (一)以退为进策略
1、由整体向局部退 、 某些问题,可以退到构成这一整体内容的部分上,用带有整体特征的部分来处理问题,解 题思路便会豁然开朗. 例 1、在锐角 ?ABC 中,求证: sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos C . 、 【解析 解析】∵ A, B, C ∈ (0, ) ,∴ A + B > ,即 A > ? B > 0 ,由于 y = sin x 在 (0, ) 上是单调 解析 2 2 2 2
? B ) = cos B ,同理可证: sin B > cos C , sin C > cos A . 2 上述三式相加,得: sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos C .

π

π

π

π

递减的.∴ sin A > sin( 【题后反思 题后反思】 题后反思

π

本题由整体退向局部,由一个角的三角函数或两个角的三角函数关系式入手,进行研究, 解出部分证明了整体. 2、由巧法向通法退 、 巧法向通法退 巧法的思维起点高,技巧性也强,有匠心独具、出人意料等特点,而巧法本身的思路难寻, 方法不易把握,而通法则体现了解决问题的常规思路,而顺达流畅,通俗易懂的特点. 例 2、已知 sin α cos β = 、
1 ,求 cos α sin β 的取值范围. 2 1 1 【解析 解析】由 sin α cos β = ,得 cos 2 β = , 解析 2 4 sin 2 α

∴ sin 2 β = 1 ? cos 2 β = 1 ?

1 4 sin 2 α ? 1 = , 4 sin 2 α 4 sin 2 α

4 sin 2 α ? 1 ∴ sin β cos α = sin β (1 ? sin α ) = ? (1 ? sin 2 α ) 2 4 sin α
2 2 2 2

=

1 5 1 ? 4 sin 4 α + 5 sin 2 α ? 1 5 ) ≤ ?1 = , = ? (sin 2 α + 2 2 4 4 4 4 sin α 4 sin α

1 1 从而得 cos α sin β ∈ [? , ] . 2 2 【题后反思 题后反思】 题后反思 本题是一典型、常见而又方法繁多、技巧性较强的题目,求解时常常出错,尤其是题目的 隐含条件的把握难度较大,将解法退到常用的数学方法之一——消元法上来,则解法通俗、 思路清晰.

(二)合理转化策略 合理转化策略
转化思想方法用于研究、解释数学问题时思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化成 另一种情况,也就是转化到另一种情境,使问题得到解释的一种方法,这种转化是解决问题 的有效策略,同时也是成功的思维模式,转化的目的是使问题变的简单、容易、熟知,达到 解决问题的有利境地,通向问题解决之策.

1、常量转化为变量
有的问题需要常、变量相互转化,使求解更容易.
sin 例 3、设 9 cos A + 3 sin B + tan C = 0, 2 B ? 4 cos A ? tan C = 0 ,求证: | cos A |≤ 1 . 6
1 成立; 6

【解析 解析】令 x = 3 ,则有 x 2 cos A + x sin B + tan C = 0 ,若 cos A = 0 ,则 | cos A |= 0 ≤ 解析

若 cos A ≠ 0 ,则 ? = sin 2 B ? 4 cos A ? tan C = 0 ,∴方程有两个相等的实数根,即 x1 = x 2 = 3 ,
tan C ,即 tan C = 9 cos A ,又 sin 2 B ? 4 cos A tan C = 0 , cos A 1 ∴ sin 2 B ? 4 cos A9 cos A = 0 ,∴ 36 cos 2 A = sin 2 B ≤ 1 ,∴ | cos A |≤ . 6

由韦达定理, x1 x 2 = 9 =

【题后反思 题后反思】 题后反思 把变量变为常量,也就是从一般到特殊,是我们寻找规律时常用的解题方法,而本题反其 道而行之,将常量变为变量,从特殊到一般使问题得到解决.

2、主元转化为辅元
有的问题按常规确定主元进行处理往往受阻,陷于困境,这时可以将主元化为辅元,即可迎 刃而解. 对于满足 | p |≤ 2 的所有实数 p, 求使不等式 x 2 + px + 1 > 2 x + p 恒成立的 x 的取值范围. 例 4、

【解析 把 x 2 + px + 1 > 2 x + p 转化为 ( x ? 1) p 2 + x 2 ? 2 x + 1 > 0 , 解析】 则成为关于 p 的一次不等式, 解析 则 | p |≤ 2 ,得 ? 2 ≤ p ≤ 2 ,由一次不等式的性质有: ( x ? 1) p + ( x ? 1) 2 = ( x ? 1)( x ? 1 + p ) > 0 , 当 p = ?2 时, ( x ? 1)( x ? 3) > 0 ,∴ x < ?1或x > 3 ; 当 p = 2 时, ( x ? 1)( x + 1) > 0 ,∴ x < ?1或x > 1 ,综上可得: x < ?1或x > 3 . 【题后反思 题后反思】 题后反思 视 x 为主元,不等式是关于 x 的一元二次不等到式,讨论其取值情况过于繁琐,将 p 转化 为主元,不等式是关于 p 的一次的不等式,则问题不难解决. 3、正向转化为反向 、正向转化为反向 转化为 有些数学问题,如果是直接正向入手求解难度较大,可以反向考虑,这种方法也叫“正难 则反” 例 5、若椭圆 、
x2 + y 2 = a 2 (a > 0) 与连接 A(1,2) B(3,4)两点的线段没有公共点,求 、 2

实数 a 的取值范围. 【解析 解析】设线段 AB 和椭圆有公共点,由 A、B 两点的坐标可得线段 AB 的方程为 y = x + 1 , 解析 ? x2 2 2 ? x ∈ [1,3] ,则方程组 ? 2 + y = a ,消去 y ? y = x +1 ? 得:
x2 3 3 2 1 + ( x + 1) 2 = a 2 ,即 a 2 = x 2 + 2 x + 1 = ( x + ) 2 + , 2 2 2 3 3

9 41 3 2 82 ∵ x ∈ [1,3] ,∴ a 2 ∈ [ , ] ,∵ a > 0 ,∴ ≤a≤ , 2 2 2 2

∴当椭圆与线段 AB 无公共点时,实数 a 的取值范围为 (0, 【题后反思 题后反思】 题后反思

3 2 82 )∪( ,+∞) . 2 2

在探讨某一问题的解决办法时,如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难,则应 从反面的方向去探索. 4、数与形的转化 、数与形的转化 数形结合,实质上是将抽象的语言与直观图形结合起来,以便化抽象为直观,达到化难为 易,化简为繁的目的.

例 6 、 已 知 f (x) 是 定 义 在 {x | x ≠ 0} 上 的 奇 函 数 , 且 在 区 间 (0,+∞) 上 是 增 函 数 , 若
f (1) = 0, a > 1 ,解不等式 f (log a x) < 0 .

【解析 解析】由 f (x) 在 (0,+∞) 上为增函数,且 f (x) 是定义域上的奇函数, 解析 ∴ f (x) 在 (?∞,0) 上也是增函数. ∵ f (1) = 0 ,∴ f (?1) = 0 ,∴ f (log a x) < 0 = f (1) 或 f (log a x) < 0 = f (?1) ,

x>0 ? ? x<0 由函数的单调性知: ? 或? , ?0 < log a x < 1 ?log a x < ?1
1 ∴原不等式的解集为: {x | 1 < x < a或0 < x < } a 【题后反思 题后反思】 题后反思 由已知, f (x) 是定义在 {x | x ≠ 0} 上的奇函数,且在区 间 (0,+∞) 上是增函数,由 f (1) = 0, a > 1 ,则可得 f (x) 的 大致图像如下图,可知 f (?1) = 0
-1 y

○ O ○ 1 x

5、自变量与函数值的转化 自变量与函数值的转化
函数单调性的定义明确体现了函数自变量的不等式关系与函数值间不等关系相互转化的思 想,理解它们之间的相互转化关系,有利于灵活运用函数的单调性解题. 设 且对于定义域内任意 x、 都有 f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) y, 例 7、 f (x) 是定义在 (0,+∞) 上的增函数, f (2) = 1 ,求使不等式 f ( x) + f ( x ? 3) ≤ 2 成立的 x 的取值范围.

? x>0 【解析 解析】∵ f (x) 的定义域是 (0,+∞) ,∴ ? ,即 x > 3 , 解析 ?x ? 3 > 0
由于 f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) ,得 f ( x) + f ( x ? 3) = f [( x ? 3) ? x] , 由 f (2) = 1 ,得 2 = 1 + 1 = f (2) + f (2) = f (4) , ∴由题设条件得: f [ x( x ? 3)] ≤ f (4) , ∵ f (x) 是定义在 (0,+∞) 上的增函数,∴ x( x ? 3) ≤ 4 ,解之得: ? 1 ≤ x ≤ 4 ,又 x > 3 , ∴适合题意的 x 的取值范围为[3,4]. 【题后反思 题后反思】 题后反思 这类抽象函数求解是初学者较难掌握的,解题的关键需实现三种转化:

①将函数值间的不等关系转化为自变量的不等关系;②根据函数的单调性意义又能比较两 个值的大小,因此需将 f ( x) + f ( x ? 3) ,根据等价转化为 f [ x( x ? 3)] ;③需将②转化为某自变 量的函数值,从而建立关于 x 的不等关系,求出 x 的取值范围.

五、限时课后练习
(1)已知函数 f ( x) = 2 x ?
1 2 | x|

(Ⅰ)若 f ( x) ≥ 2 ,求 x 的值; (Ⅱ)若 2 t f (2t ) + mf (t ) ≥ 0 对于 t ∈ [1,2) 恒成立,求实数 m 的取值范围. (2)设函数 f ( x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) ,曲线 y = f ( x) 通过点(0,2a+3)且在点(-1, f (?1) ) 处的切线垂直于 x 轴. 用 a 分别表示 b 和 c; (Ⅱ)当 bc 取得最小值时,求函数 g ( x) = ? f ( x)e ? x 的单调区间. (3)在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点( 0,? 3 )( 0, 3 )的距离之和等于 4,设点 P 的 , 轨迹为 C,直线 y = kx + 1 与 C 交于 A、B 两点, (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)若 OA ⊥ OB ,求 k 的值; (Ⅲ)若点 A 在第一象限,证明:当 k>0 时,恒有 | OA |>| OB | . (4)已知函数 f (t ) =

1? t 17π , g ( x) = cos xf (sin x) + sin xf (cos x) , x ∈ (π , ], 1+ t 12

(Ⅰ)将函数 g ( x) 化简成 A sin(ωx + ? ) + B( A > 0, ω > 0, ? ∈ [0,2π )) 的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的值域. (5)已知曲线 C1: 圆半径为
|x| | y| + = 1(a > b > 0) 所围成的封闭图形的面积为 4 5 ,曲线 C1 的内切 a b

2 5 ,记 C2 为以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆, 3

(Ⅰ)求椭圆 C2 的标准方程; (Ⅱ)设 AB 是过椭圆 C2 中心的任意弦,l 是线段 AB 的垂直平分线,M 是 l 上异于椭圆 ,当点 A 在椭圆 C2 上运动时,求点 M 中心的点,①若 | MO |= λ | OA | (O 为坐标原点) 的轨迹方程;②若 M 是 l 与椭圆 C2 的交点,求 ?AMB 面积的最小值. 答案: 答案:

1. (1) x = log 2 (1 + 2 ) ; (2) m ∈ [?5,+∞)
2. 1)c=2a+3,b=2a; (

(2) y = g (x) 的单调减区间为 (?∞,?2)和(2,+∞) ,单调增区间为(-2,2) ;
3. 1) x 2 + (

y2 = 1, 4

1 (2 ) k = ± , 2 (3)略; 4. 1) g ( x) = 2 sin( x + (

π
4

)?2,

(2) g (x) 的值域为 [2 ? 2 ,?3) ; ( 5. 1)
x2 y2 + = 1, 5 4

x2 y2 40 (2)① + = λ2 (λ ≠ 0) ,② . 4 5 9

探索性问题的基本题型及解题方法 第四节 探索性问题的基本题型及解题方法
一、考情分析
探索性问题是近几年高考的热点,通过对探索性问题的考查,能考查出考生的创新意识与 创新能力,高考中一般以填空题或大题的形式出现,难度为中、高档.

二、问题特点及解题方法
条件为完备或结论不确定是探索性问题的基本特征,数学探索性问题的解答一般没有固 定、现成的模式可循,它有较强的思维发散性,必须自己设计解决方案,以考查创新意识、 创新精神为目标的此类题型,常以新颖的形式出现,解题入口宽,而且题设条件往往比较隐 蔽,但只要能明确问题特点,根据特点采取相应的策略,仍可以使求解“程序化” ,有据可依, 有规可特, 解决这类问题时,应充分运用观察、比较、类比、分析、综合、演绎、归纳、抽象、概括 等思维方式, 对试题的条件和结论所提供的外在信息与自身大脑中储存的内在信息进行提取, 组合、加工和转化,明确解题方法,形成解题策略,选择解题步骤.

三、基础训练

2 1 (1)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a1 = ? 且 S n + + 2 = a n (n ≥ 2) ,计算 S1 , S 2 , S 3 , S 4 , 3 Sn

并猜想 S n 的表达式. (2)在平面直角坐标系 xOy 中,如图,过定点 C(0,p)作直线与抛物线 x 2 = 2 py ( y > 0) 相 交于 A、B 两点, (Ⅰ)若点 N 是点 C 关于原点 O 的对称点, 求 ?ANB 面积的最小值; (Ⅱ)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定 值?若存在,求出 l 的方程;若不存在, 说明理由.
y

B C A O N x

(3)设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,则 S 4 , S 8 ? S 4 , S12 ? S 8 , S16 ? S12 成等差数列,类比以 上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,则 T4 , 数列. (4)设 α ∩ β = EF , AB ⊥ α = B, CD ⊥ β = D ,由此能否推出 BD ⊥ EF ?若不能,需如何改 变条件? (5)设函数 f ( x) = sin(ωx + ? )(ω > 0,? 线x = , ,

T16 成等比 T12

π
2

<? <

π
2

) ,给出以下四个论断:①它的图像关于直

,0 ]上是增函数;④它 2 3 6 的周期为 π .以其中的两个论断为条件,另两个论数不结论,写出你认为正确的一个 命题 (填写序号) . 答案: 答案: 2 3 4 5 n +1 (1) S1 = ? , S 2 = ? , S 3 = ? , S 4 = ? ,猜想: S n = ,n ∈ N * . 3 4 5 6 n+2 p (2) (Ⅰ) ( S ?ABN ) min = 2 2 P 2 , (Ⅱ)满足条件的直线 l 存在,其方程为 y = . 2

π

对称;②它的图像关于点(

π

,0 )对称;③在区间[ ?

π

(3)

T8 T , 12 . T4 T8

(4)不能,需加条件 AC ⊥ EF . (5)②④ ? ①③.

四、典型例题
1、探究型 探究型
探究型是依据题目所给予条件或提供的信息,综合所学知识,来探究问题的分析方法 和解决方法,常以常规题形式出现,但往往改变设问方式,或得出探究和方向,或给出探

究的结论,考查学生的判断能力,创新精神和综合素质,解答此类问题时,需要考生提取 题目的有效信息,从有效信息引出思维联想,从而设计解题方法,化归与转化是解决这类 问题常用的数学思想. 例 1、已知数列 a1 , a 2 , a 3 , ? a 30 ,其中 a1 , a 2 , a 3 , ? a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 、 a10 , a11 , a12 , ? a 20 是公差为 d 的等差数列, a 20 , a 21 , a 22 , ? a30 是公差为 d 2 的等差数列
( d ≠ 0)

(Ⅰ)若 a 20 = 40 ,求 d 的值; (Ⅱ)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求出 a 30 的取值范围; (Ⅲ)续写已知数列,使 a 30 , a 31 , a 32 , ? a 40 是公差为 d 3 的等差数列,…,依次类推,把 已知数列推广为无穷数列,提出同(Ⅱ)类似的问题,(Ⅱ)应当作为特例) ( ,并进行 研究,你能得到什么样的结论? 【解析 解析】 解析 (Ⅰ) a10 = 10 , a 20 = 10 + 10d = 40,∴ d = 3 ; (Ⅱ)当 d ∈ (?∞,0) ∪ (0,+∞) , a 30 ∈ [7.5 + ∞) ; (Ⅲ)所给数列可推广为无穷数列 {a n } ,其中 a1 , a 2 , a 3 , ? a10 是首项为 1,公差为 1 的 等差数列,当 n ≥ 1 时,数列 a10 n , a10 n +1 , a10 n + 2 , ? a10( n +1) 是公差为 d n (d ≠ 0) 的等差 数列, 研究的结论可以是:由 a 40 = a 30 + 10d 3 = 10(1 + d + d 2 + d 3 )(d ≠ 0) , ? 1 ? d n +1 ?10 × (d ≠ 1) , = 10(1 + d + d 2 + ? + d n ) = ? 1? d ? 10(n + 1)(d = 1) ?

依次类推可得: a10( n +1)

当 (d ≠ 0) 时, a10 ( n +1) 的取值范围是: (0,+∞) . 【题后反思 题后反思】 题后反思 由题设条件给出问题的组成结构, 先通过特例研究问题的结论, 然后给出问题的推广, 提出探究的方向,让解题者顺着命题者提出的推广方向进行探究,是探究型题的一种常 见题型,解答这类问题时一般不改变命题的结构形式,而提出的探究结论也应该是对特 例的推广.

2、开放型 、 开放型题是指问题的结论、条件、解题策略是不惟一的或需要探索的一种题型,这类题 型结构新颖,解题方法灵活、知识覆盖面宽,问题结构开放,打破了固定的思维模式和解 题套路,给解题者很大的思考空间和多种分析思路,有利于培养和考查学生的创新思维能 力和探究问题的能力,所以此类问题是当前高考命题的热点之一. 例 2、设动点 P 到定直线 x = ?4 的距离为 d,已知 F(2,0)且 d ? | PF |= 2 、 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ) 过圆锥曲线的焦点 F, 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB, 若点 M 在 x 轴上, 且使得 MF 为 ?AMB 的一条内角平分线,则称点 M 为该圆锥曲线的“特征点” ,问该曲 线是否存在特征点 M?若存在,求出点 M 的坐标,并观察点 M 是怎样的点,同时将你 的结论推广,若不存在,请说明理由(不用证明推广后的结论) . 【解析 解析】 解析 (Ⅰ)设动点 P 的坐标为 P(x,y) ,且点 P 到直线 x = ?2 的距离为 d/, ∵动点 P 到定直线 x = ?4 的距离为 d,F(2,0)且 d ? | PF |= 2 , ∴动点 P 到定直线 x = ?2 的距离为 d/,F(2,0)且 d / =| PF | ,即点 P 是以坐标原 点为顶点,以 F(2,0)为焦点的抛物线, ∴动点 P 的轨迹方程是 y 2 = 8 x . (Ⅱ)假设抛物线存在特征点 M,并设其坐标为 M(m,0) , ∵弦 AB 不垂直于 x 轴,且抛物线 y 2 = 8 x 的焦点为(2,0) , ∴设直线 AB 的方程为 x = ky + 2(k ≠ 0) ,代入 y 2 = 8 x 并整理,得: y 2 ? 8ky ? 16 = 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,则 y1 + y 2 = 8k , y1 y 2 = ?16 , ∵ ∠AMB 被 x 轴平分,∴ k AM + k BM = 0 ,即

y1 y2 + =0, x1 ? m x 2 ? m

∴ y1 ( x 2 ? m) + y 2 ( x1 ? m) = 0 ,即 y1 (ky 2 + 2) + y 2 (ky1 + 2) ? ( y1 + y 2 )m = 0 , ∵ 2ky1 y 2 ? ( y1 + y 2 )(m ? 2) = 0 ,即 ? 32k ? 8k (m ? 2) = 0 , ∵ k ≠ 0 ,∴ m = ?2 . 故抛物线上存在特征点 M, 其坐标为 M -2, ) 该点是抛物线的准线与 x 轴的交点, ( 0 , 猜想:对于抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) ,其“特征点 M”是抛物线的准线与 x 轴的交点.

【题后反思 题后反思】 题后反思 本题从特例出发, 探究一般情况下的结论, 解答这类问题时, 可以通过特例得到的信息, 从命题提出的探究方向思考,归纳问题的结论(有时不止一个,而有些问题的结论并不成 立) ,再给出数学推理证明,本题由于题目的要求没有给出推理证明. 3、定义信息型 、定义信息型 定义信息型是近几年来高考出现频率较高的新题型之一,其命题特点是:给出一个新的定 义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情境知识,然后在这个新情境下,综合所学知识 并利用新知识作为解题工具使问题得到解决,求解此类问题通常分三个步骤: (1)对新知识 进行信息提取,确定化归方向; (2)对新知识中所提取的信息进行加工,探究解题方法; (3) 对提取的知识加以转换,进行有效组合,进而求解. 例 3、根据定义在集合 A 上的函数 y = f (x) ,构造一个数列发生器,其工作原理如下: 、 ①输入数据 x0 ∈ A , 计算出 x1 = f ( x0 ) ; ②若 x1 ? A , 则数列发生器结束工作, x1 ∈ A , 若 则输出 x1,并将 x1 反馈回输入端,再计算出 x 2 = f ( x1 ) ,并依此规律继续下去,现在有 A = {x | 0 < x < 1} , f ( x) =
mx (m ∈ N * ) , m +1? x

(Ⅰ)求证:对任意 x0 ∈ A ,此数列发生器都可以产生一个无穷数列 {x n } ; (Ⅱ)若 x0 =
1 1 ,记 a n = (n ∈ N * ) ,求数列 {x n } 的通项公式. 2 xn

【解析 (Ⅰ)证明:当 x ∈ A ,即 0<x<1 时,由 m ∈ N * 可知 m+1>x>0, 解析】 解析 ∴
mx mx (m + 1)( x ? 1) mx > 0 ,又 ?1 = < 0 ,∴ < 1 ,∴ 0 < f ( x) < 1 , m +1? x m +1? x m +1? x m +1? x

即 f ( x) ∈ A .故对任意 x0 ∈ A 有 x1 = f ( x0 ) ∈ A ;由 x1 ∈ A 有 x 2 = f ( x1 ) ∈ A ,由 x 2 ∈ A 有
x3 = f ( x 2 ) ∈ A ;以此类推,可以一直继续下去,从而可以产生一个无穷数列 {x n } .

(Ⅱ)由 x n +1 = f ( x n ) = ∴ a n+1 =

mx n 1 m +1 1 1 ,可得 = ? ? , m + 1 ? xn x n +1 m xn m

m +1 1 m +1 ? a n ? ,即 a n+1 ? 1 = (a n ? 1) , m m m

令 bn = a n ? 1 ,则 bn +1 = ∴数列 {bn } 是以

(m + 1) x0 m +1 1 m +1 ? bn ,又 b1 = a1 ? 1 = ? 1 = ?1 = ≠ 0, m x1 mx0 m

m +1 m +1 为首项,以 为公比的等差数列, m m

∴ bn =

m + 1 m + 1 n ?1 m +1 n m +1 n ?( ) ?1. ) =( ) ,于是 a n = ( m m m m

【题后反思 题后反思】 题后反思 本题以算法语言为命题情境,构造一个数列发生器,通过定义工作原理,得到一个无 穷数列 {x n } ,这是命题组成的第一部分,解答时只需依照命题程序完成即可,第(Ⅱ)问 其实是一个常规的数学问题,由上可知,创新题型的解答还是需要考生有坚实的数学解题 功底. 4、类比归纳型 、 类比是将式子结构、运算法则、解题方法、问题结论等式引申或推广,或迁移,由已知 探索未知,由旧知识探索新知识的一种研究问题的方法;归纳是从个别特殊事例,若干特 殊现象递推出同一类事物的一般性结论,总结出同一种现象的一般规律的一种思考问题的 方法,这两种推理方法可有效地锻炼考生的创造性思维能力,培养考生的创新精神和创造 力.因为这类创新题的思维含量高、知识覆盖面广、综合性强,所以它们在高考中频繁亮 相,已成为高考中的又一个热点. 例 4、如下图所示,定义在 D 上的函数 f (x) ,如果满足:对任意 x ∈ D ,存在常数 A, 、 都有 f ( x) ≥ A 成立,则称函数 f ( x) 在 D 上有下界,其中 A 称为函数的下界(提示:下图 ①②中的常数 A、B 可以是正数,也可以是负数或零. ) (Ⅰ)试判断函数 f ( x) = x 3 +
48 在 x
y y=f(x) x D=[x1,x2] x2 O x1 D=[x1,x2] x2 x y y=B

(0,+∞) 上是否有下界?并说明理由;

(Ⅱ)具有图②所示特征的函数称为 在 D 上有上界,请你类比函数有下界

x1

O





的定义,给出函数 f ( x) 在 D 上有上界的定义,并判断(Ⅰ)中的函数在 (?∞,0) 上是否有 上界,并说明理由. 【解析 解析】 解析 ∵ f / ( x) = 3x 2 ?
48 ,由 f / ( x) = 0 ,得 x 4 = 16 ,∵ x ∈ (0,+∞) ,∴x=2, 2 x

∵当 0<x<2 时, f / ( x) < 0 ,∴函数 f ( x) 在(0,2)上是减函数; 当 x>2 时, f / ( x) > 0 ,∴函数 f ( x) 在(2, + ∞ )上是增函数; ∴x=2 是函数 f ( x) 在区间(0, + ∞ )上的最小值点, f min ( x) = f (2) = 32 , 于是,对任意 x ∈ (0,+∞) ,都有 f ( x) ≥ 32 ,即在区间(0, + ∞ )是存在常数 A=32,使得

对任意 x ∈ (0,+∞) ,都有 f ( x) ≥ A 成立,所以,函数 f ( x) = x 3 +

48 在 (0,+∞) 上有下界. x

(Ⅱ)类比函数有下界的定义,函数有上界可以给出这样的定义:定义在 D 上的函数
f ( x) ,如果满足:对任意 x ∈ D ,存在常 B,都有 f ( x) ≤ B 成立,则称函数 f ( x) 在 D 上有

上界,其中 B 称为函数的上界. 设 x<0,则-x>0,则(Ⅰ)知,对任意 x ∈ (0,+∞) ,都有 f ( x) ≥ 32 ,∴ f (?x) ≥ 32 , 48 为奇函数,∴ f (? x) = ? f ( x) ,∴ ? f ( x) ≥ 32 ,即 f ( x) ≤ ?32 , x 48 即存在常数 B=-32, 对任意 x ∈ (?∞,0) , 都有 f ( x) ≤ B , 所以, 函数 f ( x) = x 3 + 在 (?∞,0) x ∵函数 f ( x) = x 3 + 上有上界. 【题后反思 题后反思】 题后反思 本题以高等数学中的函数有界性为命题素材,先给出一个定义,研究问题的结论,然后 提出类比的方向,这是一种直接类比的情境题.数学中有许多能够产生类比的知识点,如 等差数列与等比数列的内容有着非常和谐的“同构”现象,立体几何中的很多结论和方法 都可以从平面几何中产生“灵感”进行迁移,我们复习时要注意研究知识间的纵横联系, 把握知识间的内在规律,通过知识间的对比和类比,可以更好地掌握知识,提高解题能力.

五、限时课后练习
(1)已知元素为实数的集合 S 满足下列条件:① 1,0 ? S ;②若 a ∈ S ,则 1 ∈ S .若非空 1? a 集合 S 为有限集,则你对集合 S 的元素个数有何猜测?并请证明你的猜测. x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的右准线 l1 : x = 2 与 x 轴相交于点 P,右焦点 F 到上顶点 a 2 b2

(2)已知椭圆

的距离为 2 ,点 C(m,0)是线段 OF 上的一个动点, (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l ,其与椭圆交于 A、B 两点,且使得

(CA + CB) ⊥ BA ?亲说明理由.
(3) 设函数 g ( x) = x + 1 , 函数 h( x) = 为函数 g ( x) 和 h( x) 的积函数. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式,并求其定义域; (Ⅱ)当 a =
1 时,求函数 f ( x) 的值域; 4

1 ,x ∈ (?3, a ] , 其中 a 为常数且 a > 0 , 令函数 f ( x) x+3

1 1 (Ⅲ)是否存在自然数 a,使得函数 f (x) 的值域恰为 [ , ] ?若存在,试写出所有满足条 3 2 件的自然数 a 所构成的集合,若不存在,试说明理由. ( 4 ) 已 知 函 数 f ( x) = log 1 ( x + 1) , 当 点 P( x0 , y 0 ) 在 y = f ( x) 的 图 像 上 移 动 时 , 点
2

Q(

x0 ? t + 1 , y 0 ) (t ∈ R ) 在孙函数 y = g ( x) 的图像上移动. 2

(Ⅰ)若点 P 坐标为(1,-1) ,点 Q 也在 y = g ( x) 的图像上,求 t 的值; (Ⅱ)求函数 y = g ( x) 的解析式; (Ⅲ)当 t > 0 时,试探索一个函数 h(x) ,使得 f ( x) + g ( x) + h( x) 在限定域内为 [0,1) 时有 最小值而没有最大值.
9 a ) ,现要将它剪焊成正四棱柱或正四棱锥,并使 10 其底面边长为矩形边长的一半,表面积为 ab,试比较得到所制作的正四棱柱与正四棱 锥中哪一个体积最大,哪一个体积最小,并说明你的结论. 答案: 答案: (1)S 的元素的个数为 3 的倍数;

(5)矩形钢板的边长分别为 a, b(a > b >

x2 (2 ) (Ⅰ) + y2 = 1; 2

(Ⅱ)当 0 ≤ m < 当

m 1 时, k = ± ,即存在这样的直线 l ; 2 1 ? 2m

1 ≤ m ≤ 1 时,k 不存在,即不存在这样的直线 l . 2

(3 ) (Ⅰ) f ( x) =

x +1 , x ∈ [0, a ](a > 0) ; x+3

1 6 (Ⅱ) [ , ] ; 3 13 (Ⅲ) 1 ≤ a ≤ 9 ,且 a ∈ N . (4 ) (Ⅰ) t = 0 ; (Ⅱ) y = g ( x) = log 1 (2 x + t ) ;
2

(Ⅲ)当 h( x) = log 1 (1 ? x 2 ) 时, f ( x) + g ( x) + h( x) 有最小值 0,但没有最大值.
2

(5)如下图:
b?
图1

a 2 V1 = a 2 (2b ? a ) 16

a 2 a 2 b?
图2

a 4

a 4 a 2
图3

V2 =

a 2 4b 2 ? 2ab 24

b 2 b 2 a? b 2

V3 =

b 2 ( 2a ? b ) 16

图4

b 4 b 4 a? b 4

V4 =

b 2 4a 2 ? 2ab 24

易证: V1 > V2,V3 > V4,V1 < V3,V2 < V4 ,即最大 V3 ,最小 V2 .


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