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对数函数及其性质3课时


图 象

指数函数y=ax (a>0,a≠1) y y=ax y=ax (0<a<1) (a>1) 1 x o

对数函数y=log a x (a>0, a≠1) y=logax y (a>1) x 1 o y=logax (0<a<1)

(1)定义域: R (2)值域

: (0,+∞) 性

(1)定义域: (0,+∞) (2)值域: R

(3)过定点
(4)单调性

(0,1)

(3)过定点 (1,0)
(4)单调性
a>1时,在(0,+∞)是增函数; 0<a<1时,在(0,+∞)是减函数



a>1时, 在R上是增函数; 0<a<1时,在R上是减函数

(5)奇偶性: 非奇非偶

(5)奇偶性: 非奇非偶

反函数的概念

y?2

x

x ? log2 y( y ? (0,??))是由函数 y ? 2 ?x ? R ?转化而得
x

指数函数y ? 2 x ?x ? R ?的反函数

对数函数y ? log2 x( x ? ?0,???)是

x ? log2 y

对数函数y ? loga x(a ? 0, a ? 1)与
x

y ? log 2 x

指数函数y ? a (a ? 0, a ? 1)是互为反函数

反函数的概念

设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域,如 果由函数y=f(x)所解得 x ? ? ( y ) 也是一个函 数(即对任意一个 y ? B,都有唯一的 x ? A 与之对应),那么就称函数 x ? ? ( y ) 是函 ?1 x 数y=f(x)的反函数,记作: ? f ( y ) 。习惯上, 用x表示自变量,y表示函数,因此y=f(x)的 ?1 ?1 y) 反函数 x ? f ( 通常改写成: y ? f ( x )
注.y=f(x)的定义域、值域分别是反函数y ? f ( x ) 的值域、定义域
?1

例1 求下列函数的反函数

(1)y=0.2-x+1 解(2)y=log2(4-x) (x<4) :由y ? 0.2 ? x ? 1得:
整理得 : x ?? 2 y 0.2 ( y ? 1) 4 ? x ? log

( ? x ?解:由函数 ? log2 4 ? x)得: log0.2 y ? 1 y ( )
?函数y ? 0.2 ? x ? 1的反函数为f ?1 ( x) ? ? log0.2 ( x ? 1)(x ? (1,??)) 整理得:x ? 4 ? 2 y

?函数y ? log2 4 ? x)(x ? 4 ( )的反函数是 f
?1

( x) ? 4 ? 2 x ( x ? R)

对数函数与指数函数的图象
由于对数函数 互为反函数, 所以 的图象关于直线
5 4

y ? loga x 与指数函数 y ? a
y ? loga x

x

y?x

y ? ax 的图象与

对称。
4 4

y=ax

(a>1)

3

y=ax
0<a<1
-4 -4 -2 -2

3 3

2 2

2

1 1

1

2 2

-4

-2

2

4

6

-1

y=logax (a>1)

-1 -1

y=logax
0<a<1

4 4

6

-2 -2

-2

y ? lg( x 2 ? ax ? 1) 已知函数
(1)当定义域为R时,求a的取值范围;
(2)当值域为R时,求a的取值范围.
解:))? 函数f(x)lg( x 2 ?2ax ? 1)? 1 (1 :要使f ( x) ? ? lg x ? ax 的值域为R ( )的定义域为R (2 ? x 2 ? ax ?u ? 02 ?x ?? 1的值能取遍一切正实数 即函数1 ? x 对 ax R恒成立 ? ?? ? 2 ? 4 ? 4 ? 0 ? a ? a2 ? 0 ? ??? a ? 或a ? ?2 2 a?22 ?当定义域为R时, a的取值范围是 a | ?2 ? a ? 2} { ?函数f ( x) ? lg( x 2 ? ax ? 1)的值域为R时,
a的取值范围是 2,??) ? (??,?2] [

1.指数函数与对数函数的关系. 2.反函数的定义和图象的特点.

1 x 1.若f(x)的图象与g(x)= ( ) 关于y轴对称,则 x 4 4 f(x)=__________
2.已知 是R上的奇函 数,(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数;
a ? 2x ?1 解:) ? f(x) (1 ? ( a ? R )是R上的奇函数 x 1? 2 ? f (0) ? 0 a ? 20 ? 1 ? ? 0整理得 : a ? 1 1 ? 20 2x ?1 ( 2)由(1)知f ( x ) ? 1? 2x ? (1 ? y ) 2 x ? 1 ? y整理得 : x ? log2 2x ?1 ? f ( x) ? 的反函数是 f x 1? 2
?1

a ? 2x ?1 f ( x) ? (a ? R) x 1? 2

1? y 1? y 1? x ( ?1 ? x ? 1) 1? x

( x ) ? log2

P75.习题2.2

B组 1,4


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