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2013理科高考试题分章汇集:立体几何


2013 年高考理科数学试题分类汇编:7 立体几何
一、选择题 1 . (2013 年高考新课标 1(理) )如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如 果不计容器的厚度,则球的体积为

( A.



500?

cm3 3

B.

866? cm3 3

C.

1372? cm3 3

D.

2048? cm3 3

【答案】A 2 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) )设 m, n 是两条 不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? D.若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ? 【答案】D 3 . (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))若两个球的表面积之比为 1: 4 ,则这两个 球的体积之比为 ( A. 1: 2 B. 1: 4 C. 1: 8 D. 1:16 【答案】C 4 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) )已知 正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 AA1 ? 2 AB ,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于 ( ) ( )



A.

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

1 3

【答案】A 5 . (2013 年高考新课标 1(理) )某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

( A. 16 ? 8? B. 8 ? 8? C. 16 ? 16? D. 8 ? 16? 【答案】A 6 . (2013 年高考湖北卷(理) )一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简 单几何体组成,其体积分别记为 V1 , V2 , V3 , V4 ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面 两个简单几何体均为多面体,则有 A. V1 ? V2 ? V4 ? V3 D. V2 ? V3 ? V1 ? V4 B . V1 ? V3 ? V2 ? V4 C . V2 ? V1 ? V3 ? V4 (





【答案】C 7 . (2013 年高考湖南卷(理) )已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形, 则该正方体的正视图的面积不可能等于 ( ... A. 1 B. 2 C.



2-1 2

D.

2+1 2

【答案】C 8 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) )某四棱台的三 视图如图所示,则该四棱台的体积是

1 2

2
正视图 侧视图

1 1
俯视图 第 5 题图





A. 4

14 B. 3

16 C. 3

D. 6

【答案】B 9 .2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学 ( (理)纯 WORD 版含答案)已知 m, n ( ) 为异面直线, m ? 平面 ? , n ? 平面 ? .直线 l 满足 l ? m, l ? n, l ? ? , l ? ? ,则 A. ? // ? ,且 l // ? C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l B. ? ? ? ,且 l ? ? D. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l ( )

【答案】D 10. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) )已知三棱柱

9 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 4 ,底面是边长为 3 的正三角形.若 P 为底


A1 B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为





5? A. 12

?
B. 3

?
C. 4

?
D. 6

【答案】B 11. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) )某几何体的三视 图如题 ? 5 ? 图所示,则该几何体的体积为 A. ( C. 200 D. 240 )

560 3

B.

580 3

【答案】C 12. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) )已知三棱柱

ABC ? A1 B1C1



6













O









,

若 ( )

AB ? 3,AC ? 4 , AB ? AC , AA1 ? 12 ,则球 O 的半径为
A.

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10

【答案】C 13. (2013 年高考江西卷(理) )如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 ? 上,且

AB ? CD ,正方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 m, n ,那
么m?n ?

( A.8 【答案】A B.9 C.10 D.11



14. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) )一个 四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0) ,画该四 面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为

( A. B. C. D. 【答案】A 15. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) )在下列命题中, 不是公理的是 ( .. A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 16. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) )在空间中,过 点 A 作平面 ? 的垂线,垂足为 B ,记 B ? f? ( A) .设 ? , ? 是两个不同的平面,对空间任 意一点 P , Q1 ? f ? [ f? ( P )], Q2 ? f? [ f ? ( P )] ,恒有 PQ1 ? PQ2 ,则 A.平面 ? 与平面 ? 垂直 C.平面 ? 与平面 ? 平行 B.平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角为 450 D.平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角为 60 0 (







【答案】A 17. (2013 年高考四川卷(理) )一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是

【答案】D 二、填空题 18. (2013 年高考上海卷(理) )在 xOy 平面上,将两个半圆弧 ( x ? 1) ? y ? 1( x ? 1) 和
2 2

两条直线 y ? 1 和 y ? ?1 围成的封闭图形记为 D,如图中阴影 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1( x ? 3) 、 部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ? ,过 (0, y )(| y |? 1) 作 ? 的水平截面,所得 截面面积为 4? 1 ? y 2 ? 8? ,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出 ? 的体积值为__________

【答案】 2? 2 ? 16? . 19. (2013 年高考陕西卷(理) )某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___

?
3

_____.

2

1

1

1

【答案】

?
3 3 ,且圆 O 与圆 2

20. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) )已知 圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径, OK ?

K 所在的平面所成的一个二面角为 60? ,则球 O 的表面积等于______.
【答案】 16? 21. (2013 年高考北京卷(理) )如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点, 点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为__________.

D1

C1

A1

P
D A
【答案】

?

B1
C
E B

2 5 5

22. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加 题) )如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设 三 棱 锥 F ? ADE 的 体 积 为 V1 , 三 棱 柱 A1 B1C1 ? ABC 的 体 积 为 V2 , 则

V1 :V2 ? ____________.
C1 A1
F
E A D

B1

C
B

【答案】 1: 24 23. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) )若某几何体的 三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________ cm 2 .
4 3 2 正视图 3 俯视图 (第 12 题图) 侧视图 3

【答案】24 24. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) )如图,正方体

ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平

面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命 题的编号).

①当 0 ? CQ ?

1 1 3 时,S 为四边形;②当 CQ ? 时,S 为等腰梯形;③当 CQ ? 时,S 与 2 2 4 1 3 C1 D1 的交点 R 满足 C1 R1 ? ;④当 ? CQ ? 1 时,S 为六边形;⑤当 CQ ? 1 时,S 的面积 3 4



6 . 2

【答案】①②③⑤ 25. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) )某几何体的三视 图如图所示,则该几何体的体积是____________.

【答案】 16? ? 16 26. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) )已知某一多面 体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中 的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是_______________

【答案】 12? 27. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)) 在如图所示的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为_______ D1 A1 D A 【答案】 B B1 C C1

?
3

三、解答题 28. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) )如图,AB 是圆的 直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证: 平面PAC ? 平面PBC; (II) 若AB ? 2,AC ? 1,PA ? 1,求证:二面角C ? PB ? A的余弦值.

【答案】

29. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) )如图,四棱锥

P ? ABCD 中, PA ? 底面ABCD , BC ? CD ? 2, AC ? 4, ?ACB ? ?ACD ?
为 PC 的中点, AF ? PB . (1)求 PA 的长; (2)求二面角 B ? AF ? D 的正弦值.

?
3

,F

【答案】

1. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) )如图,圆锥顶点

为 p .底面圆心为 o ,其母线与底面所成的角为 22.5°. AB 和 CD 是底面圆 O 上的两 条平行的弦,轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60°.

(Ⅰ)证明:平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求 cos ?COD . 【 答 案 】 解 :

(Ⅰ)

设面PAB ? 面PCD ? 直线m,? AB / / CD且CD ? 面PCD ? AB / / 面PCD
? AB / / 直线m ? AB ? 面ABCD ? 直线m // 面ABCD .

所以, 面PAB与面PCD的公共交线平行底面ABCD . (Ⅱ)

设底面半径为r , 线段CD的中点为F,则?OPF ? 60?.由题知 tan 22.5? ?

PO . r OF OF ?COD 2 tan 22.5? , tan 60? ? ? tan 60? ? tan 22.5? ? ? cos , tan 45? ? PO r 2 1 ? tan 2 22.5? cos ?COD ? 2 cos 2 ?COD cos ?COD ? 1 ? 1 ? tan 22.5? ? 2 - 1, ? [ 3( 2 - 1, )]2 ? 3(3 ? 2 2 ) 2 2

.

cos ?COD ? 17 - 12 2 .所以 cos ?COD ? 17 - 12 2 .
法二:

1. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) )如图,在四面体

A ? BCD 中 , AD ? 平 面 BCD , BC ? CD, AD ? 2, BD ? 2 2 . M 是 AD 的 中
点, P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ ? 3QC . (1)证明: PQ // 平面 BCD ;(2)若二面角 C ? BM ? D 的大小为 60 0 ,求 ?BDC 的大 小.
A

M P Q B C (第 20 题图) D

【 答案】 解: 证明 (Ⅰ)方法 一: 如图 6,取 MD 的 中点 F , 且 M 是 AD 中点 ,所 以

AF ? 3FD . 因 为 P 是 BM 中 点 , 所 以 PF / / BD ; 又 因 为 (Ⅰ) AQ ? 3QC 且 AF ? 3FD , 所 以 QF / / BD , 所 以 面 PQF / / 面 BDC , 且 PQ ? 面 BDC , 所 以

PQ / / 面 BDC ;

1 MD ;取 CD 的三等 2 1 1 分 点 H , 使 DH ? 3CH , 且 AQ ? 3QC , 所 以 QH / / AD / / MD , 所 以 4 2
方法二:如图 7 所示,取 BD 中点 O ,且 P 是 BM 中点,所以 PO / /

PO / /QH ? PQ / / OH ,且 OH ? BCD ,所以 PQ / / 面 BDC ;
(Ⅱ) 如 图 8 所 示 , 由 已 知 得 到 面 ADB ? 面 BDC , 过 C 作 CG ? BD 于 G , 所 以 CG ? BMD ,过 G 作 GH ? BM 于 H ,连接 CH ,所以 ?CHG 就是 C ? BM ? D 的 二面角;由已知得到 BM ?

8 ? 1 ? 3 ,设 ?BDC ? ? ,所以

CD CG CB ? cos ? ,sin ? ? ? ? CD ? 2 2 cos ? , CG ? 2 2 cos ? sin ? , BC ? 2 2 sin ? , BD CD BD
, 在 RT ?BCG 中, ?BCG ? ? ? sin ? ?

BG ? BG ? 2 2 sin 2 ? ,所以在 RT ?BHG BC

中,

1 2 2 sin 2 ? ,所以在 RT ?CHG 中 ? ? HG ? 3 2 2 sin 2 ? 3 HG

tan ?CHG ? tan 60? ? 3 ?

CG 2 2 cos ? sin ? ? HG 2 2 sin 2 ? 3

? tan ? ? 3 ? ? ? (0,90? ) ? ? ? 60? ? ?BDC ? 60? ;
2.2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)) ( 如图,在正三棱锥 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 6 , 异面直线 BC1 与 AA1 所成角的大小为 A1 B1 C1

?
6

,求该三棱柱的体积.

A B

C

【答案】[解]因为 CC1 AA1 . 所以 ?BC1C 为异面直线 BC1 与 AA1 .所成的角,即 ?BC1C = 在 Rt ?BC1C 中, BC ? CC1 ? tan ?BC1C ? 6 ?

?
6

.

3 ?2 3, 3

从而 S ?ABC ?

3 BC 2 ? 3 3 , 4

因此该三棱柱的体积为 V ? S ?ABC ? AA1 ? 3 3 ? 6 ? 18 3 . 3. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加 题) )本小题满分 14 分. 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB ,过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点. 求证:(1)平面 EFG // 平面 ABC ; (2) BC ? SA .

S
E
F

G C

A B

【答案】证明:(1)∵ AS ? AB , AF ? SB ∴F 分别是 SB 的中点 ∵E.F 分别是 SA.SB 的中点 ∴EF∥AB 又∵EF ? 平面 ABC, AB ? 平面 ABC ∴EF∥平面 ABC 同理:FG∥平面 ABC 又∵EF ? FG=F, EF.FG ? 平面 ABC∴平面 EFG // 平面 ABC (2)∵平面 SAB ? 平面 SBC

平面 SAB ? 平面 SBC =BC AF ? 平面 SAB AF⊥SB ∴AF⊥平面 SBC 又∵BC ? 平面 SBC ∴AF⊥BC 又 ∵ AB ? BC , AB ? AF=A, AB.AF ? 平 面 SAB SAB∴BC⊥SA 4. (2013 年高考上海卷(理) )如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线 BC1 平行于平面 DA1C,并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离.

∴BC⊥ 平 面 SAB 又 ∵SA ? 平 面

D A D1 B

C

C1 B1

A1

【答案】因为 ABCD-A1B1C1D1 为长方体,故 AB // C1 D1 , AB ? C1 D1 , 故 ABC1D1 为平行四边形,故 BC1 // AD1 ,显然 B 不在平面 D1AC 上,于是直线 BC1 平行于平 面 DA1C; 直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h

1 1 1 ? ( ?1? 2) ?1 ? 3 2 3 3 而 ?AD1C 中, AC ? D1C ? 5, AD1 ? 2 ,故 S ?AD1C ? 2 1 3 1 2 2 所以, V ? ? ? h ? ? h ? ,即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 . 3 2 3 3 3 5. (2013 年高考湖北卷(理) )如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点,直线 PC ? 平面 ABC , E , F 分别是 PA , PC 的中点. (I)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加
考虑三棱锥 ABCD1 的体积,以 ABC 为底面,可得 V ? 以证明; (II)设(I)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D ,且点 Q 满足 DQ ?

????

? 1 ??? CP .记直线 PQ 2

与平面 ABC 所成的角为 ? ,异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 ? ,二面角 E ? l ? C 的大 小为 ? ,求证: sin ? ? sin ? sin ? .

第 19 题图

【答案】解:(I)? EF ? AC , AC ? 平面ABC , EF ? 平面ABC

? EF ?平面ABC
又 EF ? 平面BEF

? EF ? l

? l ?平面PAC
(II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很 麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的 处理方向有很大的偏差.)

6. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) )如图 1,在等腰 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?A ? 90? , BC ? 6 , D, E 分 别 是 AC , AB 上 的 点, CD ? BE ? 2 , O 为 BC 的中点.将 ?ADE 沿 DE 折起,得到如图 2 所示的四棱锥

A? ? BCDE ,其中 A?O ? 3 .

(Ⅰ) 证明: A?O ? 平面 BCDE ; 值. C D O . E B

(Ⅱ) 求二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦

A?

C A 图1 【答案】(Ⅰ) 在图 1 中,易得 OC ? 3, AC ? 3 2, AD ? 2 2 D

O E 图2

B

A?

C D H

O E

B

连结 OD, OE ,在 ?OCD 中,由余弦定理可得

OD ? OC 2 ? CD 2 ? 2OC ? CD cos 45? ? 5
由翻折不变性可知 A?D ? 2 2 , 所以 A?O 2 ? OD 2 ? A?D 2 ,所以 A?O ? OD , 理可证 A?O ? OE , 又 OD ? OE ? O ,所以 A?O ? 平面 BCDE . (Ⅱ) 传统法:过 O 作 OH ? CD 交 CD 的延长线于 H ,连结 A?H , 因为 A?O ? 平面 BCDE ,所以 A?H ? CD , 所以 ?A?HO 为二面角 A? ? CD ? B 的平面角. 结合图 1 可知, H 为 AC 中点,故 OH ?

3 2 30 ,从而 A?H ? OH 2 ? OA?2 ? 2 2

所以 cos ?A?HO ?

OH 15 15 ,所以二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值为 . ? A?H 5 5 z A?

向量法:以 O 点为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示, 则 A? 0, 0, 3 , C ? 0, ?3, 0 ? , D ?1, ?2, 0 ?

?

?

C D x

B O E
向量法图

???? ???? ? 所以 CA? ? 0,3, 3 , DA? ? ?1, 2, 3

y

?

?

?

?

设 n ? ? x, y , z ? 为平面 A?CD 的法向量,则

?

? ???? ? ?3 y ? 3 z ? 0 ?n ? CA? ? 0 ? y ? ?x ? ? ? ,即 ? ,解得 ? ,令 x ? 1 ,得 n ? 1, ?1, 3 ? ? ? ???? ? z ? 3x ?n ? DA? ? 0 ?? x ? 2 y ? 3z ? 0 ? ? ? ???? 由(Ⅰ) 知, OA? ? 0, 0, 3 为平面 CDB 的一个法向量,

?

?

?

?

? ???? ? ???? n ? OA? 3 15 所以 cos n, OA? ? ? ???? ? ,即二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦 ? 5 3? 5 n OA?
值为

15 . 5

7. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) )如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点. (Ⅰ) 证明 B1C1⊥CE; (Ⅱ) 求二面角 B1-CE-C1 的正弦值. (Ⅲ) 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 的长.
2 , 求线段 AM 6

【答案】

8. (2013 年高考新课标 1(理) )如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°. (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)取 AB 中点 E,连结 CE, A1 B , A1 E ,

∵AB= AA1 , ?BAA1 = 60 ,∴ ?BAA1 是正三角形,
0

∴ A1 E ⊥AB,

∵CA=CB,

∴CE⊥AB,

∵ CE ? A1 E =E,∴AB⊥面 CEA1 ,

∴AB⊥ A1C ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, EA1 ⊥AB, 又∵面 ABC⊥面 ABB1 A1 ,面 ABC∩面 ABB1 A1 =AB,∴EC⊥面 ABB1 A1 ,∴EC⊥ EA1 , ∴EA,EC, EA1 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, EA 的方向为 x 轴正方向,| EA |为单位 长度,建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz , 有 题 设 知 A(1,0,0),

??? ?

??? ?

A1 (0,

3

,0),C(0,0,

3

),B(-1,0,0), 则

???? ???? ???? ??? ? BC =(1,0, 3 ), BB1 = AA1 =(-1,0, 3 ), A1C =(0,- 3 , 3 ),
设 n = ( x, y, z ) 是平面 CBB1C1 的法向量,

??? ? ? x ? 3z ? 0 ?n ? BC ? 0 ? ? 则? ,即 ? ,可取 n =( 3 ,1,-1), ???? n ? BB1 ? 0 x ? 3y ? 0 ? ? ? ? ???? ???? n ? A1C 10 ???? ∴ cos n, A1C = , | n || A1C | 5

∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

10 5

9. (2013 年高考陕西卷(理) )如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面 中心, A1O⊥平面 ABCD, AB ? AA1 ? 2 . (Ⅰ) 证明: A1C⊥平面 BB1D1D; (Ⅱ) 求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 ? 的大小.
D1 A1 B1 C1

D A O B C

【答案】解:(Ⅰ) ? A1O ? 面ABCD, 且BD ? 面ABCD,? A1O ? BD ;又因为,在正 方 中 形 AB CD ,

AC ? BD;且A1O ? AC ? A, 所以BD ? 面A1 AC且A1C ? 面A1 AC,故A1C ? BD
. 在正方形 AB CD 中,AO = 1 .

在RT?A1OA中,A1O ? 1.

设B1 D1的中点为E1,则四边形A1OCE1为正方形,所以A1C ? E1O . 又BD ? 面BB1 D1 D, E 1O ? 面BB1 D1 D, BD ? E 1O ? O,所以由以上三点得 .且 A1C ? 面BB1 D1 D .(证毕)
(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题. 以 O 为原点,以 OC 为 X 轴正方向,以 OB 为 Y 轴正方向.则

B(0,1,0)C (1, 0), A1 (0,1), B1 (1,1,1) ? A1C ? (1,0,?1) . , 0, 0, ( . 由(Ⅰ)知, 平面 BB1D1D 的一个法向量 n1 ? A1C ? (1,0,?1), OB1 ? (1,1,1), OC ? 1,0,0)
设 平 面

OCB1










A1

D1 B1

C1

n2 , 则n2 ? OB1 ? 0, n2 ? OC ? 0, 解得其中一个法向量为n2 ? (0,1,-1).
cos ? ?| cos ? n1 , n1 ?|? | n1 ? n2 | | n1 | ? | n2 | ? 1 2? 2 ? 1 . 2
A D

O B

C

所以,平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 ? 为 10 . ( 2013 中 ,

? 3

年 高 考 江 西 卷 ( 理 ) ) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD

PA

? 平面ABCD, E为BD的中点

,

G为PD的中点,

?DAB ? ?DCB, EA ? EB ? AB ? 1,PA ?
(1) 求证: AD ? 平面CFG ;

3 ,连接 CE 并延长交 AD 于 F . 2

(2) 求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值.

【答案】解:(1)在 ?ABD 中,因为 E 是 BD 的中点,所以 EA ? EB ? ED ? AB ? 1 , 故 ?BAD ?

?

2 3 因为 ?DAB ? ?DCB ,所以 ?EAB ? ?ECB , 从而有 ?FED ? ?FEA ,
故 EF ? AD, AF ? FD ,又因为 PG ? GD, 所以 FG ∥ PA . 又 PA ? 平面 ABCD , 所以 GF ? AD, 故 AD ? 平面 CFG . (3) 以 点

, ?ABE ? ?AEB ?

?

,

A 为 坐 标 原 点 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 , 则

3 3 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C ( , , 0), D(0, 3, 0) , 2 2

(4)

??? ? 1 3 ??? ? ? 3 3 3 ??? 3 3 3 0), ? , ), CD ? (? , , 0) P(0, 0, ) ,故 BC ? ( , , CP ? (? , 2 2 2 2 2 2 2 2

?1 3 y ?0 ? ? ?? ?2 2 1 设平面 BCP 的法向量 n1 ? (1, y1 , z1 ) ,则 ? , ?? 3 ? 3 y ? 3 z ? 0 ? 2 2 1 2 1 ?
? 3 ? y1 ? ? ?? ? 3 ,即 n ? (1, ? 3 , 2 ) . 解得 ? 1 3 3 ?z ? 2 1 ? 3 ?

? 3 ?? ? ?? ? ? 2 设平面 DCP 的法向量 n2 ? (1, y2 , z2 ) ,则 ? ?? 3 ? ? 2 ? ?? ? 即 n2 ? (1, 3, 2) . 从 而 平 面 BCP 与 平
?? ?? ? 4 n1 ? n2 2 3 . cos ? ? ?? ?? ? ? ? 4 16 n1 n2 ? 8 9

3 y2 ? 0 ?y ? 3 ? 2 ,解得 ? 2 , 3 3 ? z2 ? 2 ? y2 ? z 2 ? 0 2 2
面 DCP 的 夹 角 的 余 弦 值 为

11 . 2013 年 高 考 四 川 卷 ( 理 ) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C 中 , 侧 棱 AA1 ? 底 面 ( )

ABC , AB ? AC ? 2 AA1 , ?BAC ? 120? , D, D1 分别是线段 BC , B1C1 的中点, P 是线
段 AD 的中点. (Ⅰ)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1 BC 平行的直线 l ,说明理由,并证明直线

l ? 平面 ADD1 A1 ;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 l 交 AB 于点 M ,交 AC 于点 N ,求二面角 A ? A1M ? N 的余弦 值.

C A C1 A1 P

D B D1 B1

【答案】解: ? ? ? 如图,在平面 ABC 内,过点 P 做直线 l // BC ,因为 l 在平面 A1BC 外,

BC 在平面 A1BC 内,由直线与平面平行的判定定理可知, l //平面 A1BC .
由已知, AB ? AC , D 是 BC 的中点,所以, BC ? AD ,则直线 l ? AD . 因为 AA1 ? 平面 ABC ,所以 AA1 ? 直线 l .又因为 AD, AA1 在平面 ADD1 A1 内,且 AD 与 AA1 相交,所以直线平面 ADD1 A1

? ?? ? 解法一:
连接 A1P ,过 A 作 AE ? A1P 于 E ,过 E 作 EF ? A1M 于 F ,连接 AF . 由 ? ? ? 知, MN ? 平面 AEA1 ,所以平面 AEA1 ? 平面 A1MN . 所以 AE ? 平面 A1MN ,则 A1M ? AE . 所以 A1M ? 平面 AEF ,则 A1M ? AF . 故 ?AFE 为二面角 A ? A1M ? N 的平面角(设为 ? ). 设

AA1 ? 1

,





AB ? AC ? 2 AA 1

,

?BAC ? 120?

,



?BAD ? 60? , AB ? 2, AD ? 1 .
又 P 为 AD 的中点,所以 M 为 AB 的中点,且 AP ? 在 Rt ? AA1P 中, A1P ?

1 , AM ? 1 , 2

5 ;在 Rt ? A1 AM 中, A1M ? 2 . 2

从而, AE ?

AA1 ? AP 1 AA1 ? AM 1 , AF ? , ? ? A1P A1M 5 2

所以 sin ? ?

AE 2 . ? AF 5
2 2

? 2? 15 所以 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? . ? 5? ? 5 ? ? ?
故二面角 A ? A1M ? N 的余弦值为 解法二: 设 AA1 ? 1 .如图,过 A1 作 A1E 平行于 B1C1 ,以 A1 为坐标原点,分别以 A1E , A1D1 , AA1 的 方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 Oxyz (点 O 与点 A1 重合).

15 5

???? ????? ????

则 A1 ? 0,0,0 ? , A ? 0,0,1? . 因为 P 为 AD 的中点,所以 M , N 分别为 AB, AC 的中点, 故M ?

? 3 1 ? ? 3 1 ? , , ,1? , N ? ? ? 2 2 ? ? 2 , 2 ,1? ? ? ? ? ?

所以 A1M ? ?

?????

???? ? ? 3 1 ? ???? , ,1? , A1 A ? ? 0,0,1? , NM ? ? 2 2 ? ? ?

?

3,0,0 .

?

设平面 AA1M 的一个法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,则

????? ? ????? ?n1 ? A1M , ?n1 ? A1M ? 0, ? ? 故有 ???? 即 ? ? ???? ? n1 ? A1 A, ? n1 ? A1 A ? 0, ? ? ?

? ? 3 1 ? ?? x1 , y1 , z1 ? ? ? ? 2 , 2 ,1? ? 0, ? ? ? ? ? ? ? x1 , y1 , z1 ? ? ? 0,0,1? ? 0,

? 3 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0, ? 从而 ? 2 2 ? z1 ? 0. ?
取 x1 ? 1 ,则 y1 ? ? 3 ,所以 n1 ? 1, ? 3,0 . 设平面 A1MN 的一个法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则

?

?

? ? 3 1 ? ????? ? ????? ?? x2 , y2 , z2 ? ? ? ?n2 ? A1M , ?n2 ? A1M ? 0, ? 2 , 2 ,1? ? 0, ? ? ? ? 故有 ? ? ? ????? 即 ? ? ???? ? ? ? n2 ? NM , ? n2 ? NM ? 0, ? ? ? ? ? x2 , y2 , z2 ? ? 3,0,0 ? 0, ?

?

?

? 3 1 x2 ? y2 ? z2 ? 0, ? 从而 ? 2 2 ? 3 x2 ? 0. ?
取 y2 ? 2 ,则 z2 ? ?1 ,所以 n2 ? ? 0, 2, ?1? . 设二面角 A ? A1M ? N 的平面角为 ? ,又 ? 为锐角,

则 cos ? ?

1, ? 3,0 ? ? 0, 2, ?1? n1 ? n2 15 . ? ? n1 ? n2 5 2? 5
15 5

?

?

故二面角 A ? A1M ? N 的余弦值为

12. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加 题) )本小题满分 10 分. 如图,在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, AB ? AC , AB ? AC ? 2 , AA1 ? 4 ,点 D 是

BC 的中点
(1)求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值 (2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.

【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用 空间向量解决问题的能力. 解:(1)以 AB, AC , AA1 为为单位正交基底建立空间直角坐标系 A ? xyz ,

?

?

则 A(0,0,0) B (2,0,0) , C (0,2,0) , A1 (0,0,4) , D (1,1,0) , C1 (0,2,4) ∴ A1 B ? (2,0,?4) , A1 B ? (1,?1,?4) ∴ cos ? A1 B, C1 D ??

A1 B ? C1 D A1 B C1 D

?

18 20 18

?

3 10 10

∴异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值为

3 10 10

(2) AC ? (0,2,0) 是平面 ABA1 的的一个法向量 设平面 ADC1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,∵ AD ? (1,1,0) , AC1 ? (0,2,4) 由 m ? AD, m ? AC1 ∴?

?x ? y ? 0 ?2 y ? 4 z ? 0

取 z ? 1 ,得 y ? ?2, x ? 2 ,∴平面 ADC1 的法向量为 m ? (2,?2,1)

设平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角为 ?

∴ cos ? ? cos ? AC , m ? ?

AC ? m AC m

?

5 ?4 2 ? , 得 sin ? ? 3 2?3 3

∴平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值为

5 3

13. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) )如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?BAD ? 90 ,BC ? 2 AD, ?PAB 与 ?PAD 都是等
?

边三角形. (I)证明: PB ? CD; (II)求二面角 A ? PD ? C 的大小.

【答案】

14. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) )如图所示,在三棱 锥 P ? ABQ 中 , PB ? 平 面 ABQ , BA ? BP ? BQ , D, C , E , F 分 别 是

AQ, BQ, AP, BP 的中点, AQ ? 2 BD , PD 与 EQ 交于点 G , PC 与 FQ 交于点 H ,
连接 GH . (Ⅰ)求证: AB ? GH ; (Ⅱ)求二面角 D ? GH ? E 的余弦值.

【答案】解:(Ⅰ)证明:因为 D, C , E , F 分别是 AQ, BQ, AP, BP 的中点, 所以 EF ∥ AB , DC ∥ AB ,所以 EF ∥ DC , 又 EF ? 平面 PCD , DC ? 平面 PCD , 所以 EF ∥平面 PCD , 又 EF ? 平面 EFQ ,平面 EFQ ? 平面 PCD ? GH , 所以 EF ∥ GH , 又 EF ∥ AB , 所以 AB ∥ GH . (Ⅱ)解法一:在△ ABQ 中, AQ ? 2 BD , AD ? DQ , 所以 ?ABQ =90 ,即 AB ? BQ ,因为 PB ? 平面 ABQ ,所以 AB ? PB ,
?

又 BP ? BQ ? B ,所以 AB ? 平面 PBQ ,由(Ⅰ)知 AB ∥ GH , 所以 GH ? 平面 PBQ ,又 FH ? 平面 PBQ ,所以 GH ? FH ,同理可得 GH ? HC , 所以 ?FHC 为二面角 D ? GH ? E 的平面角,设 BA ? BQ ? BP ? 2 ,连接 PC , 在 Rt △ FBC 中,由勾股定理得, FC ? 在 Rt △ PBC 中,由勾股定理得, PC ?

2,
5,

1 5 HC ? PC ? 3 3 又 H 为△ PBQ 的重心,所以
FH ?
同理

5 3 ,

5 5 ? ?2 4 cos ?FHC ? 9 9 ?? 5 5 2? 9 在△ FHC 中,由余弦定理得 ,
4 即二面角 D ? GH ? E 的余弦值为 5 . ?
解法二:在△ ABQ 中, AQ ? 2 BD , AD ? DQ , 所以 ?ABQ ? 90 ,又 PB ? 平面 ABQ ,所以 BA, BQ, BP 两两垂直, 以 B 为坐标原点,分别以 BA, BQ, BP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图所示的空 间 直 角 坐 标 系 , 设

BA ? BQ ? BP ? 2

,



E (1, 0,1) , F (0, 0,1) , Q(0, 2, 0) , D(1,1, 0) , C (0,1, 0) P(0, 0, 2) ,, 所 以 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? EQ ? (?1, 2, ? 1) , FQ ? (0, 2, ?1) , DP ? (?1, ?1, 2) , CP ? (0, ?1, 2) ,

?? EFQ 的一个法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) , 设平面
?? ??? ? ?? ??? ? m ? EQ ? 0 , m ? FQ ? 0 , 由

?? x1 ? 2 y1 ? z1 ? 0 ? 2 y1 ? z1 ? 0 得? ?? y1 ? 1 ,得 m ? (0,1, 2) . 取

? PDC 的一个法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) 设平面
由 n ? DP ? 0 , n ? CP ? 0 ,

? ??? ?

? ??? ?

?? x2 ? y2 ? 2 z2 ? 0 ? ? y2 ? 2 z 2 ? 0 得?

? z2 ? 1 ,得 n ? (0, 2,1) .所以 取

?? ? ?? ? m?n 4 cos m, n ? ?? ? ? m n 5
?

4 因为二面角 D ? GH ? E 为钝角,所以二面角 D ? GH ? E 的余弦值为 5 .
15. (2013 年高考湖南卷(理) )如图 5,在直棱柱

ABCD ? A1 B1C1 D1中,AD / / BC , ?BAD ? 90? , AC ? BD, BC ? 1 , AD ? AA1 ? 3 .

(I)证明: AC ? B1 D ; 【 答

(II)求直线 B1C1与平面ACD1 所成角的正弦值. 案 】 解 : (Ⅰ)

? ABCD ? A1B1C1D1是直棱柱 ? BB1 ? 面ABCD, 且BD ? 面ABCD ? BB1 ? AC 又 ? AC ? BD, 且BD ? BB1 ? B,? AC ? 面BDB1。 B1D ? 面BDB1, AC ? B1D . ? ?
(证毕) (Ⅱ)

? B1C1 // BC // AD,? 直线B1C1与平面ACD1的夹角即直线AD与平面ACD1的夹角?。

建立直角坐标系,用向量解题。设原点在A点,AB为Y轴正半轴,AD为X轴正半轴。

设A?0,0,?, D(3,0,0), D1 (3,0,3), B(0, y,0), C (1, y,0),则 AC ? (1, y,0), BD ? (3,? y,0),? AC ? BD 0

AC? BD ? 0 ? 3 ? y 2 ? 0 ? 0, y ? 0 ? y ? 3.? AC ? (1, 3 ,0), AD1 ? (3,0,3).
?n ? AC ? 0 ? 设平面ACD1的法向量为n, 则? ? .平面ACD1的一个法向量n ? - 3, 3)AD ? 3, 3) ( 1, , ( 0, ?n ? AD1 ? 0 ?

? 平面ACD1的一个法向量n ? - 3, 3)AD ? 3, 0) sin ? ?| cos ? n, AD ?|? ( 1, , ( 0, ?

3 3 21 ? 7 7 ?3

所以BD1与平面ACD1夹角的正弦值为

21 . 7

16. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) )如图,在四棱 柱

ABCD ? A1 B1C1 D1



,





, A A ? 底面 A B C D AB / / DC , AA1 ? 1 , AB ? 3k , AD ? 4k , BC ? 5k , DC ? 6k 1

(k ? 0) .
(1)求证: CD ? 平面ADD1 A1 ; (2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为

6 ,求 k 的值; 7

(3)现将与四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新 的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问: 共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为 f (k ) ,写出

f (k ) 的表达式(直接写出答案,不必要说明理由)

【答案】解:(Ⅰ)取 CD 中点 E ,连接 BE Q AB / / DE , AB ? DE ? 3k ? 四边形 ABED 为平行四边形 ? BE / / AD 且 BE ? AD ? 4k 在 VBCE 中, Q BE ? 4k , CE ? 3k , BC ? 5k

? BE 2 ? CE 2 ? BC 2

??BEC ? 90? ,即 BE ? CD ,又 Q BE / / AD ,所以 CD ? AD
Q AA1 ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ? AA1 ? CD ,又 AA1 I AD ? A ,

? CD ? 平面 ADD1 A1

(Ⅱ)以 D 为原点, DA, DC , DD1 的方向为 x, y, z 轴的正方向建立如图所示的空间直角 坐标系 A(4k , 0, 0) , C (0, 6k , 0) , B1 (4k ,3k ,1) , A1 (4k , 0,1) 所以 AC ? (?4k , 6k , 0) , AB1 ? (0,3k ,1) , AA1 ? (0, 0,1)

uuu uuu uuur r r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r ? AC ? n ? 0 ? 设平面 AB1C 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则由 ? uuu r ? AB1 ? n ? 0 ?
得?

??4kx ? 6ky ? 0 取 y ? 2 ,得 n ? (3, 2, ?6k ) ? 3ky ? z ? 0

uuu r uuu r AA1 , n 设 AA1 与平面 AB1C 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos? AA1 , n? |? uuu r | AA1 | ? | n |
? 6k 36k 2 ? 13 ? 6 ,解得 k ? 1 .故所求 k 的值为 1 7

(Ⅲ)共有 4 种不同的方案

5 ? 2 ?72k ? 26k , 0 ? k ? 18 ? f (k ) ? ? ? 36k 2 ? 36k , k ? 5 ? 18 ?
17. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) )如图, 直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, E 分别是 AB, BB1 的中点, AA1 ? AC ? CB ? (Ⅰ)证明: BC1 / / 平面 A1CD ; (Ⅱ)求二面角 D ? A1C ? E 的正弦值.

2 AB . 2

A1 B1

C1

A

E

C

D

B

【答案】

18. (2013 年高考北京卷(理) )如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形, 平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求

BD 的值. BC1

【答案】解: (I)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1 ⊥AC. 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC,所以 AA1⊥平面 ABC. (II)由(I)知 AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 AB⊥AC. 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A- xyz ,则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),

???? ? n ? A1 B ? 0 ?3 y ? 4 z ? 0 ? 设平面 A1BC1 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则 ? ????? ,即 ? , 4x ? 0 ? ?n ? A1C1 ? 0 ?

令 z ? 3 ,则 x ? 0 , y ? 4 ,所以 n = (0, 4,3) . 同理可得,平面 BB1C1 的法向量为 m = (3, 4, 0) ,所以 cos n,m ?

n?m 16 . 由题 ? | n || m | 25

知二面角 A1-BC1-B1 为锐角,所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为

(III)设 D ( x, y, z ) 是直线 BC1 上一点,且 BD ? ? BC1 . 所以 ( x, y ? 3, z ) ? ? (4, ?3, 4) . 解得 x ? 4? , y ? 3 ? 3? , z ? 4? . 所以 AD ? (4? ,3 ? 3? , 4? ) .

??? ?

???? ?

16 . 25

????

A 由 AD·1 B ? 0 ,即 9 ? 25? ? 0 .解得 ? ?
因为

???? ????

9 . 25

9 ? [0,1] ,所以在线段 BC1 上存在点 D, 25

使得 AD⊥A1B. 此时,

BD 9 . ?? ? BC1 25


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