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2010年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题

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2010 年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题 考试时间:2010 年 5 月 23 日 10:00-12:00 一、填空题(每题 10 分,80 分) 1、由曲线 | x | ? | y |?| 2 x ? 3 | 所围成的几何图形的面积为 。 2、设实数 x,y 满足 ? 3、 已知 a, b, c ? R ,且 2011 2009 ? ?( x ? 1) ? (

x ? 1) ? 2010 x ? 4020 ,则 x+y= 2011 2009 ( y ? 1) ? ( y ? 1) ? 2010 y ? 0 ? ? 。 1 1 1 1 ? ? ? , 则存在整数 k , 使下列等式成立的有 个。 a b c a?b?c 1 1 1 2 k ?1 1 1 1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ①( ? ? ) a b c a b c 1 1 1 1 ② 2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 2 k ?1 a b c a ?b ? c 2 k ?1 1 1 1 2k 1 1 1 ③ ( ? ? ) ? 2k ? 2k ? 2k a b c a b c 1 1 1 1 ④ 2k ? 2k ? 2k ? 2k a b c a ? b2k ? c2k 12 ( x ? 0) 上任意一点,过 4、已知平面上两定点 A(-3,0) ,B(0,-4) ,P 为曲线 y ? x 点 P 作 PC⊥x 轴,PD⊥y 轴,垂足分别为 C,D,则四边形 ABCD 面积 S 的最小值为 5、已知 a1 , a2 , a3 , 。 , an 均为正实数,且满足 1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3 ? 1 ? 4 ,则 a1a2a3 an a1 ? a2 ? a3 ? ? an ? 1, an = 。 6、已知 k1 , k2 , k3 , , kn 是互不相同的 n 个正整数,且满足 k13 ? k23 ? k33 ? 。 ? kn3 ? 2024 , 则正整数 n 的最大值为 7 、 已 知 函 数 f ( x) ? x2 , 若 1 ? x2 m = f (1) ? f (2) ? 。 ? f (101) , n = 1 1 f ( )? f ( )? 2 3 1 1 ? f( )? f ( ) ,则 m+n= 100 101 R = r 。 8、已知半径为 r 的球和半径为 R 的两个相切的球都相切,且它们都与大小为 60 的二面角 的两个半平面相切,则 ° 二、解答题(本大题共 4 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤) 9、 (本题 15 分)已知三棱锥 S-ABC 中,SC⊥平面 ABC,AB=BC=CA= 4 2 ,SC=2,D,E 分别为 AB,BC 的中点,若点 P 在 SE 上移动,求△PCD 面积的最小值。 S C E D A B 10、 (本题 20 分)已知定点 M(-3,0) ,P,Q 分别是 x 轴及 y 轴上的动点,且使 MP⊥PQ, 点 N 在直线 PQ 上, PN ? ? 3 NQ 2 g?y? = 0.25 ?y2 10 (1)求动点 N 的轨迹 C 的方程 (2)过点 T(-1,0)作直线 l 交轨迹 C 于 A,B 两点,问在 x 轴上是否存在一点 D 使△ABD 为等边三角形,若存在,求出点 D 的坐标,若不存在,请说明理由。 8 6 B 4 P 2 A -5 M T