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导数的几何意义

时间:2014-12-25


3.1.3 导数的几何意义

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )

或 y ? |x ? x0 , 即

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ?

lim ? lim ?x ?0 x ? x0 ?x x ? x0

问题: 如图,当点 Pn ( xn , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4)沿着曲线 f ( x)
趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时, 割线PPn的变化趋势是什么?
y=f(x)

当点 Pn 趋近于点 P 时, 割线PPn 趋近于确定的位置, 这个确定的直 线 PT 称为过点 P 的切线.

y P1 P2 P3

f ( xn ) ? f ( x0 ) kn ? xn ? x0
o

T

P4 P
x0 xn α

x

问题: 如图,当点 Pn ( xn , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4)沿着曲线 f ( x)
趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时, 割线PPn的变化趋势是什么?

f ( xn ) ? f ( x0 ) kn ? xn ? x0

y=f(x) y P1 P2 P3

f ( xn ) ? f ( x0 ) k ? lim xn ? x0 xn ? x0

P4 f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) P ? lim α ?x ?0 ?x xn x0 o ? f ?( x0 ) 即当△x无限趋近于0时, kn无限趋近于点 P(x 0 , f(x 0 ))

T

x

处的斜率.

例1 已知 f ( x) ? x 2, 求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切 线的斜率. 分析:为求得过点(2,4)的切线的斜率, 可从经过点(2,4) 的任意一条直线(割线)入手. 解: 设 P(2, 4), Q(2 ? ?x,(2 ? ?x)2 ) , 则割线PQ的斜率

(2 ? ?x)2 ? 4 kPQ ? ? 4 ? ?x ?x 当 ?x 无限趋近于0时, k PQ 无限趋近于常数4, 即

f ?(2) ? lim (4 ? ?x) ? 4,
从而曲线 y ? f ( x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.
?x ?0

例2 如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图象. 根据图象, 请描述、比较 曲线h(t ) 在 t0 , t1 , t2 附近的变化情况.

解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近 的变化情况.

h

l0

(1)当t= t0 时, 曲线 h(t) 在t0 处的切线 l0 平行于x 轴.故在t=t0 附近曲线比较 o 平坦, 几乎没有升降.

l1

t3 t4 t0

t1

t2
l2

t

例2 如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图象. 根据图象, 请描述、比较 曲线h(t ) 在 t0 , t1 , t2 附近的变化情况.
h

(2)当t=t1 时, 曲线 h(t) 在t1 处的切线l1 的斜率 h’(t1) <0 .故在t=t1附 近曲线下降,即函数h(t) 在t=t1附近单调递减.
o t3 t4 t0

l0

l1

t1

t2
l2

t

例2 如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图象. 根据图象, 请描述、比较 曲线h(t ) 在 t0 , t1 , t2 附近的变化情况.
h l0

(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) <0 .故 在 t = t2 附近曲线下降, 即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减.
o t3 t4 t0 t1 t2
l2

l1

t

例2 如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图象. 根据图象, 请描述、比较 曲线h(t ) 在 t0 , t1 , t2 附近的变化情况.
h

从图可以看出,直线 l1

l0

的倾斜程度小于直线 l2 的
倾斜程度,这说明 h(t) 曲

线在 l1 附近比在 l2 附近
下降得缓慢
o t3 t4 t0 t1 t2
l2

l1

t

1、已知曲线y ? 2 x 2上一点P(2,8),则点P处切线 的斜率为多少?点P处切线方程为多少?

y? | x ? 2 ? 8 y ? 8x ? 8
2、已知曲线y ? 2 x 2 ? 4 x在点P处切线的斜率为16, 则点P坐标是多少?
(3,30)

几何意义:f ( x)在x ? x0处导数f ?( x0 )即为f ( x) 所表示曲线在x ? x0处切线的斜率,即 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) k ? f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x

切线方程: y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 )
作 用: 确定x ? x0处切线的斜率,从而确定切线 的方程


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