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第55届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一


第 55 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第一天 2014 年 3 月 12 日上午 8:00-12:30
1. 如图,已知 ABCD 是圆内接四边形,其对角线 AC 与 BD 互相垂直.点 F 在边 BC 上, 直线 EF 平行于 AC 交 AB 于点 E .直线 FG 平行于 BD 交 CD 于点 G .设点 E 在 CD 上 的射影为 P ,点 F 在 D

A 上的射影为 Q ,点 G 在 AB 上的射影为 R .证明: QF 平分

∠PQR .

B F C P G

R

E A

Q D

2. 设 A 是一个有限正整数集合,令 B = ?

?a +b ? | a, b, c, d ∈ A? .证明: ?c + d ?
2

B ≥ 2 A ?1,
其中 X 表示有限集合 X 的元素个数. 3. 已知函数 f : N → N 同时满足:
* *

(1) 对任意正整数 m, n ,有 ( f (m), f (n) ) ≤ ( m, n ) (2) 对任意正整数 n ,有 n ≤ f (n) ≤ n + 2014 .

2014



证明:存在正整数 N ,使得对每个整数 n ≥ N ,均成立 f (n) = n .

第 55 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第二天 2014 年 3 月 13 日上午 8:00-12:30
4.对任意一个实数列 { xn } ,定义数列 { yn } 如下:

? n 2 ?2 x ? y1 = x1 , y= n +1 n +1 ? ∑ xi ? (n ≥ 1) . ? i =1 ?
求最小的正数 λ ,使得对任意实数列 { xn } 及一切正整数 m ,均有

1

1 m 2 m m ?i 2 λ yi . ∑ xi ≤ ∑ m i 1= = i 1

5. 设 a1 < a2 < ? < an 为 t 个 给 定 的 正 整 数 , 其 中 任 意 三 项 均 不 成 等 差 数 列 . 对

= k t , t + 1,? ,定义 ak +1 为大于 ak ,并且使得 a1 , a2 ,? , ak +1 中任意三项均不成等差数列的
最小正整数.对于任意正实数 x ,用 A( x) 表示数列 {ai }i ≥1 中不超过 x 的个数.证明:存在实数

c > 1 及 K > 0 ,使得 A( x) ≥ c x 对任意 x > K 成立.

6.设整数 n ≥ 2 .将 1, 2,? , n 填入一个 n × n 的方格表中,每个小方格中填入一个数,
2

每个数恰使用一次.两个小方格称为相邻的,当且仅当他们有公共边.已知任意两个相邻的小 方格中所填数之差的绝对值不超过 n .证明:存在一个 2 × 2 的小正方形,它的对角方格所填 的数之和相等.