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5.4《两角和与差的余弦公式》(1)


5.4 (1)两角和与差的余弦公式

一、两角差的余弦公式推导
设 ? , ? 的终边与单位圆 分别交于点 C , B C (cos ? ,sin ? ) B(cos ? ,sin ? )
?
C

? ??
D

y

B

?

>
将 ? , ? 同时旋转角 ? ? 后交单位圆于 D, A D(cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) A(cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) 即 A(1, 0) 显然 | CB |?| DA |

O

A

x

一、两角差的余弦公式推导 C (cos ? ,sin ? ) B(cos ? ,sin ? )
D(cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) A(1, 0)

| CB | ? (cos ? ? cos ? ) ? (sin ? ? sin ? )
2 2

2

? 2 ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? )

| DA | ? [cos(? ? ? ) ?1] ? [sin(? ? ? ) ? 0]
2 2

2

? 2 ? 2cos(? ? ? )

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
思考 如何得到 cos(? ? ? ) ? ?

二、两角和与差的余弦公式 对于任意角 ? , ? 都成立:

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
此公式叫做两角差的余弦公式

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
此公式叫做两角和的余弦公式

例 1 、利用两角和与差的余弦公式,求 cos 15 ? 、 cos 75? 的值.
解:cos15?

? cos(45? ? 30?) ?
?

6? 2 4
6? 2 4

cos75? ? cos(45? ? 30?)

例 2 、化简: cos? cos(60? ? ? ) ? sin ? sin(60? ? ? )

cos? cos(60? ? ? ) ? sin ? sin(60? ? ? ) ? cos(? ? 60? ? ? ) ? cos60? ? 解:
例 3 、求 cos 80? cos 50? ? cos 10? cos 40? 的值.
3 解:? cos80? cos50? ? sin 80? sin 50? ? cos30? ? 2

1 2

例 5. 已知 cos ? ? cos ? ?

1 1 sin ? ? sin ? ? , ,则 cos(? ? ? ) ? ____________. 3 2

1 1 ? ? 2 cos ? ? cos ? ? ( cos ? ? cos ? ) ? (1) ? ? ? ? 3 9 解: ?? ? ?sin ? ? sin ? ? 1 ?(sin ? ? sin ? ) 2 ? 1 (2) ? ? 2 ? 4 ?

59 13 ? cos( ? ? ? ) ? ? (1) ? (2)得:1 ? 1 - 2cos ? cos ? ? 2 sin ? sin ? ? 72 36

变形:已知sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0, cos? ? cos ? ? cos? ? 0, 求 cos(? ? ? ) ? 解: sin ? ? sin ? ? ? sin ? , cos ? ? cos ? ? ? cos ?

? (sin ? ? sin ? )2 ? (cos ? ? cos ? )2 ? 1
? 1 ? 1 ? 2cos ? cos ? ? 2sin ? sin ? ? 1
1 ? 2 cos(? ? ? ) ? ?1 ? cos(? ? ? ) ? ? 2

? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? ?1

例 6. ? , ? ? [0, ? ) ,且 cos ? ? , cos( ? ? ? ) ? ? ,求 cos ? ? 7 14 1 ? cos? ? ? ? ? (0, ) 7 2 11? 解: cos(? ? ? ) ? ? ? 3? ? 14 ? ? ? ? ? ? ( , ? ) 或 ( ? , ) ? 3? 2 2 ? ? ? ? (0, ) ? ? 2 ?

1

11

cos ? ? cos[( ? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos? ? sin(? ? ? ) sin ?
?4 3? 1 ? ? 11 ?? 1 ? ? 5 3 ? ?? ?? ? ? ? ? ( , ? ) ? cos ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?

2

? 14 ?? 7 ? ? 14 ?? 7 ?

2

3? 5 3 ?? 4 3 ? 71 ? 11 ?? 1 ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? (? , ) ? cos ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 98 2 ? 14 ?? 7 ? ? 14 ? ?? 7 ?

4 4 7? 补: (1)cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ? , ? ? ? ? ( ,2? ), 5 5 4 3? ? ? ? ? ( , ? ), 求 cos 2?值? 4
解: cos2? ? cos[(? ? ? ) ? (? ? ? )]

? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? ?

7 25

7? 3 2 ?? ? ? ? ( ,2? ) ? sin(? ? ? ) ? ? 1 ? cos (? ? ? ) ? ? 4 5 3? 3 2 ?? ? ? ? ( , ? ) ? sin(? ? ? ) ? 1 ? cos (? ? ? ) ? 4 5

3 5 补: (2)已知 ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , cos (? ? ? ) ? ? , 则cos ?? 2 5 13

?

解:cos? ? cos[( ? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos? ? sin(? ? ? ) sin ?
4 ?? ? ( , ? ) ? sin ? ? 1 ? cos ? ? 2 5 ? ? ? ? (? ,2? ) ? 3? ? ? 5 ? ? ? ? ? ? (? , ) 2 cos(? ? ? ) ? ? ? 13? 12 ? sin(? ? ? ) ? ? 1 ? cos2 (? ? ? ) ? ? 13
2

?

63 ?? 65

? 2 ? ? ? 2 ? ? ), 求 cos?的值. 例 7 . 已知 sin( ? ? ) ? ? , 且 ? ? ( , 例7.已知sin( 4 ? ? ) ? ? 3 , 且? ? ( 4 , 2 ), 求 cos?的值. 4 3 4 2 ? ? ? ? ,0) 解: ? ? ( ? 解: - ? ? (? 4 ,0) 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ) cos ? ? cos[ ? ( ? ? )] ? cos cos( ? ? ) ? sin sin( cos? ? cos[ 4 ? ( 4 ? ? )] ? cos 4 cos( 4 ? ? ) ? sin 4 sin( 4 ? ? )
4 2 2? ? cos ? ? ? cos? ? 2 ? 2 4 4 4 5 2 10 ? 2 2 ? 5? 2 2 ?? 2 10 ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? ?? 3 ? ?? 3 6 3 2 ? 3? 6 4 4

3 5 3 , cos B ?5 , 求 cosC. 例4.在?ABC中,已知sin A ? 例4.在?ABC中,已知sin A ? 5 , cos B ? 13 , 求 cosC. 5 13 A ? B ? sin A ? sin B ? A ? ? ? B ? sin A ? sin B 解:?ABC中 解:?ABC中? ? A ? B ? cos A ? cos B ? A ? B ? cos A ? cos B cosC ? cos[? ? ( A ? B)] ? ? cos(A ? B) ? sin A sin B ? cos A cos B cosC ? cos[? ? ( A ? B)] ? ? cos(A ? B) ? sin A sin B ? cos A cos B 5 12 3 4 5 12 3 4 cos B ? ? sin B ? ( B为锐角) ? sin A ? ? B ? A ? cos A ? cos B ? 13 ? sin B ? 13 ( B为锐角) ? sin A ? 5 ? B ? A ? cos A ? 5 13 13 5 5 16 16 ? cosC ? ? cosC ? 65 65

例 7. 8. ?ABC中,若tan A ? tan B ? 1, 那么?ABC的形状( A ) A.锐角三角形 B. 直角角三角形 C. 钝角三角形 D.无法确定

1 ? ?? 1 1 1 1 1 例9 9已知 已知 cos( ? ? ? )? ??? , sin( , sin( ? ?? ) ?, 且 ,,且 , ?为锐角,求 ? ?的值 例 .. 已知 cos( ? ? ? , sin( ?) ? ) ,? 且 ? ,? ? 为锐角,求 ?? ? 的值? cos( ? ? ? ) )? ? ?2 ? ? ? ? 的值? 为锐角,求 ?? ? 10 2 2 10 10 5 55 1 1 1 1 1 1 解::cos cos ?? ? , cos , ? ( 0 , ?) 解 ? ,, cos ??? ??? , ? ?? ?? ? ( 0? , ? ) cos ? ? cos , ? ? ? ? ( 0, ?) 10 10 5 55 10

1 1 11 1 13 3 2 3? 2 3 ? 2 5 ?? ? 52 ? 2 2 ? 5? 3? cos ( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? cos(? ?? ?? ?))? ?cos cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ?2? 4? 10 5 5 5 2 10 10 5 5 1010 5 5 5 2 5 2 2 24 10

2222 ?? 3 17 ? 7 ? 2 sin ? cos ? ? 2 sin ? 3 17 ? 7 ? 2 sin ? cos ? ? 2 sin ?2 ? ? 3 ? 2 sin ? cos ? ? 2 sin ? 3 17 ? 7 ? 2 sin ? cos ? ? 2 sin ? ? 3 17 ? 7 ? 2 sin ? cos ? ? 2 sin 例 10 .若 cos( ?? ? )? ?? 的值? 例 10 .若 cos( ? )? ,求 求 的值? 例 10 . cos( ? ? ) ? ?? ? ,, 的值? 例 10 ..若 若 cos( ? )? ??, ,,, , ?? ? ? ? ,求 求 的值? 10 若 cos( ? ) ? , 求 的值? 44 5 12 4 1 ? tan ? 4 5 4 1 ? tan ? 5 12 4 1 ? tan ? 4 55 12 44 1 ?1 tan ? ? 4 12 ? tan 7 4 7 4 2 2 7 42 2 2 的值? ? 7 4 2 2 7 4 3 17 ? 7 ? 2 sin ? cos ? ? 2 sin ? ( ? )) ) ( ? ) 2 ( ? 2 2 ( ? ? 3 ? 7 ? 2 sin ? cos ? ? 2 sin 2 ? 2 17 2 sin ? cos ? ? 2 sin ? 2 sin ? cos ? (cos ? ? sin ? ) ( ? ) 28 2 sin ? cos ? ? 2 sin ? 2 sin ? cos ? (cos ? ? sin ? ) 例10 . 若 cos( ? ) ? , ? ? ? , 求 的值? 2 ? ? 22 sin ? cos ? ? 2 sin cos ? (cos ? ? sin ? ) 2 ? 3 17 7 ? 2 sin cos ? ? 2 sin ? sin ? cos ? ? 2 sin ? 2 sin ? ? ? sin ? ) 28 25 5 25 5 25 5 例 10 . 若 cos( ? ? ) ? , ? ? , 求 的值? 25 5 2 sin ? cos ? ? 2 sin ? 2 sin ? cos ? (cos ? ? sin ? ) 解: ? ? ? 解: ? ? ? ? 解: ? ? 25 例 10.若 cos( ? ? )? ? ? ? 44 , 求 的值?5???? 4? 5 5,12 1 ? tan ? 解: ?? ? 4 12 1 ? tan ? 解: ? ? cos ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 75 ? ? sin ? cos ? ? sin ? 3 2 cos ? ? sin ? 3 2 4 2 cos cos ? ? sin ? 7 4 5 12 4 1 ? tan ? 3 2 ? 75 3 2 ? ? sin ? cos? ? sin ? 32 2 ) cos 7 4 2 7 4 cos ? cos ? 28 5 cos ? cos ? 5 ( ? ) 7 4 2 ) 5 2 2 55 ( ? cos ? ? ? 2 sin ? cos ? ? 2 sin ? 2 sin ? cos ? (cos ? ? sin ? ) 28 5 ( ? ) 2 ? 2 sin ? cos ? ? 2 sin 2 sin ? cos ? (cos ? ? sin ? ) 28 25 5 25 5 2 sin ? cos ? ? 2 sin ? 2 sin ? cos ? (cos ? ? sin ? ) 28 解: ?? ?? ? ?? ? 75 ? ? 2 2 3 25 5 解: ? ? 2 ? ? 2 2 3 ? ? 2 2 3 ? ? ? 2 3 解: ? ? ? ? cos ? ? sin ? cos( ? ? ) ? cos cos ? ? sin sin ? ? cos ? ? sin ? ? ? cos ? ? si cos ? sin ? 75 cos ? ?sin sin ? 3 2 os( ?? ? ) ? cos cos ?? ?? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 2 2? 3 cos ?? ? sin ? 75 cos( ? ? ? )? ? cos cos ? ? sin sin ? cos ? ? sin ? ? ? cos ? ? s cos( ? ) cos cos sin sin ? cos ? ? sin ? ? ? cos ? ? cos ? ? ? cos ? ? sin ? 75 3 2 4 4 4 2 2 5 cos( ? ? ) ? cos cos ? ? sin sin ? ? cos ? ? sin ? ? ? cos ? 5 444 cos 44 44 22 22 555 4 2 ? cos ? 5 5 4 4 2 2 cos?7 4 5 17 ? 3 ? 22 77 17 ?? 3 ? 7 ? 17 3? ) ? (sin ? ? cos? ) 2222 2 17 3 2 2 2 ? sin ? cos ? ? ? ? ( , ? (cos ? ? sin ? ) ? 2 ? sin ? cos ? ? ? ? ? ( , ) ? (sin ? ? cos ? ) ? (cos ? ? sin ? ) ? ? ? cos ? ? ? ? ? ( (sin ? ? cos ? ) ? (cos ? ? sin ? ) ? 2 7 17 ? 3 ? ?sin ? ? 2 2 3 ? sin ? cos ? ? ? ? ? ( , ) ? ? cos ? ) ? (cos ? ? sin ? ) ? ? ? ? 2 2 2 2 ? cos ? ? sin ? ? ? ? ? 2 2 3 50 12 2 50 12 2 os( ? ? ) ? cos cos ? ? sin sin ? ? cos ? ? sin ? ? ? cos ? ? si ? sin cos ? ? ? ? ? ( , ) ? (sin ? ? cos ? ) ? (cos ? ? sin ? ) cos( ? ? ) ? cos cos ? ? sin sin ? ? cos ? ? sin cos ? ? sin 50 12 2 50 cos 12 sin ? ? cos( ? ? ) ? cos ? ? sin cos? ? sin ? ? ? cos? ? sin ? 5 44 4 50 4 2 2 5 4 4 4 2 2 12 2 444 4 2 2 5 2 4 22 2 4 ? sin ? ? cos ? ? ? 2 7 17 ?3 3 ? 7 17 ? ? ? sin ? ? cos ? ?? ?? ? sin ? ?cos cos ? ? ? 4 2 2 2 2 7 17 ? 3 ? ? sin ? ? 2 ? sin ? ) ? 2 2 2) 5 ? sin ? cos ? ? ? ? ? ( , ) ? (sin ? ? cos ? ) ? (cos sin ? ?? sin ? cos ? ? ? ? ? ( , ) ? (sin ? ? cos ? ) ? (cos ? ? ) ? 2 sin ? ?? ? ? ? , )? ? cos? ) ? (cos? ? sin ? ) ? ? 22 55 5 ?( sin? ?cos ? cos ? 50 12 2 2 50 50 12 2 5 12 4 22 2 4 4 cos ? ? ? sin ? cos ?? sin ?? ? cos ?? ?? ?? 5 55


5.4 两角和与差的余弦公式 教案(1)

5.4 两角和与差的余弦公式 教案(1)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。5.4 (1)两角和与差的余弦公式南汇一中 周舟一、教学内容分析 两角和与差的余弦是三角...

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5.4《两角和与差的正弦公式》教案(2)

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5.4(4)两角和与差公式应用

资源信息表标 题: 关键词: 5.4(4)两角和与差公式应用 两角和与差的三角公式、辅助角公式 教学目标 (1)应用两角和与差的正、余弦公式推导辅助角 公式,了解公式...

§5.4.2 两角和与差的余弦、正弦和正切(2)——两角和与差的正弦

式——两角和与差的正 弦 §5.4.2 两角和与差的余弦、正弦和正切(2)—...《三角比—两角和与差的余弦、正弦和正切式——两角和与差的正 弦 1、...

3.1.1 两角和与差的余弦公式

(1) cos( ? 2 ? ? ) ? sin ? (2) sin( ? ? ) ? cos ? 2 ? . 例 2、利用两角和(差)的余弦公式,求值: cos 75 , cos15 , sin 15 , tan...