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四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试数学(理)试题 (2013资阳二模) Word版含答案


资阳市 2012—2013 学年度高中三年级第二次高考模拟考试

数 学(理工农医类)
本试卷分为第Ⅰ (选择题) 卷 和第Ⅱ (非选择题) 卷 两部分. 卷 1 至 2 页, 卷 3 至 4 页. 第Ⅰ 第Ⅱ 全 卷共 150 分,考试时间为 120 分钟.

第Ⅰ (选择题 共 50 分) 卷
注意事项: 1.答第Ⅰ

卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.第Ⅰ 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束时,监考人将第Ⅰ 卷的机读答题卡和第Ⅱ 卷的答题卡一并收回. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球是表面积公式 S ? 4? R 2 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 其中 R 表示球的半径 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 球的体积公式 4 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 V ? ? R3 3 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 k Pn (k ) ? Cn Pk (1 ? P)n?k 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目的要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,5},则 (? U A) ? B ? (A){3} (B){4,5} (C){3,4,5} (D){1,4,5} 2.函数 f ( x) ? x 2 ? 1 的图象大致是
1

3.下列命题是真命题的是 (A) a ? b 是 ac 2 ? bc 2 的充要条件 (C) ?x ? R , 2 x ? x 2

(B) a ? 1 , b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件 (D) ?x0 ? R , e x0 ? 0 4.已知直线 l,m 和平面 α, 则下列命题正确的是 (A)若 l∥ m,m ? α,则 l∥ α (B)若 l∥ α,m ? α,则 l∥ m (C)若 l⊥ α,m ? α,则 l⊥ m (D)若 l⊥ m,l⊥ α,则 m∥ α x2 5.若双曲线 ? y 2 ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? r 2 ( r ? 0 )相切,则 r ? 4 (A)5 (B) 5 (C)2 (D) 2 6.下列不等式成立的是 9? ? (A) tan( ) ? tan( ) 8 6

(B) sin(? (C) sin

?

3? ? ) ? sin(? ) 10 5 ? sin

?

10 7? 23? (D) cos(? ) ? cos(? ) 4 5 7. 执行右图所示的程序框图 (其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数) , 则输出的 S 值为 (A)7 (B)6 (C)5 (D)4 8.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 l 千克、B 原料 2
千克;生产乙产品 l 桶需耗 A 原料 2 千克,B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶 乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利 润是 (A)2200 元 (C)2600 元 (B)2400 元 (D)2800 元

18

9.由数字 0,1,2,3,4,5 组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是 (A)36 (B)48 (C)60 (D)72 ?4 ? | 8x ? 12 |, 1 ? x ? 2, ? 10.已知定义在 [1, ??) 上的函数 f ( x) ? ? 1 x 则 ? 2 f ( 2 ), x ? 2, ? (A)函数 f ( x) 的值域为 [1, 4] 1 (B)关于 x 的方程 f ( x) ? n ? 0 ( n ? N* )有 2n+4 个不相等的实数根 2 n ?1 n (C)当 x ?[2 ,2 ] ( n ? N* )时,函数 f ( x) 的图象与 x 轴围成的面积为 2 (D)存在实数 x0 ,使得不等式 x0 f ( x0 ) ? 6 成立

第Ⅱ 卷(非选择题 共 100 分)
注意事项: 1.第Ⅱ 卷共 2 页,请用 0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答,不能直接答在此试题 卷上. 2.答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案直接填在题目中的横线 上. 11.已知 i 是虚数单位,x,y∈R,若 x ? 3i ? (8 x ? y)i ,则 x ? y ? ___________. 12.若二项式 ( x ? a)7 的展开式中含 x 5 项的系数为 7 ,则实 数a? .

13.已知右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的 体积为 14.椭圆 C: .

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F,直线 a 2 b2

y ? ? 3x 与椭圆 C 交于 A、B 两点,且 AF ? BF ,则椭圆 C 的
离心率为 .

15.如图,在平面斜坐标系 xOy 中, ?xOy ? ? ,平面上任 ??? ? ?? ?? ? 意一点 P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义: OP ? xe1 ? ye2(其 若 ?? ?? ? 中 e1 , e2 分别是 x 轴,y 轴同方向的单位向量) ,则 P 点的斜坐 ??? ? 标为(x,y),向量 OP 的斜坐标为(x,y).给出以下结论: ??? ? ① ? ? 60? ,P(2,-1),则 | OP |? 3 ; 若 ??? ???? ? ② P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ; 若 ??? ? ???? ??? ???? ? ③ OP ? ( x1 , y1 ) , OQ ? ( x2 , y2 ) ,则 OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ; 若 ④ ? ? 60? ,以 O 为圆心,1 为半径的圆的斜坐标方程为 x2 ? y 2 ? xy ? 1 ? 0 . 若 其中所有正确的结论的序号是______________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且
3a ? 2c sin A ? 0 . (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 c ? 2 ,求 a+b 的最大值.

17. (本小题满分 12 分)某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问 卷调査,并在已被问卷调查的居民中随机抽选部分居民参加“幸福职业”或“幸福愿景”的座谈 会,被邀请的居民只能选择其中一场座谈会参加.已知 A 小区有 1 人,B 小区有 3 人收到邀请 3 并将参加一场座谈会, A 小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是 , B 若 4 1 小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是 . 2 (Ⅰ )求 A、B 两个小区已收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等的概率; (Ⅱ )在参加“幸福愿景”座谈会的人中,记 A、B 两个小区参会人数的和为 ? ,试求 ? 的分 布列和数学期望.

18.(本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=CA =AA1=2,侧棱 AA1⊥面 ABC,D、E 分别是棱 A1B1、AA1 的中点,点 F 1 在棱 AB 上,且 AF ? AB . 4 (Ⅰ )求证:EF∥ 平面 BDC1; (Ⅱ )求二面角 E-BC1-D 的余弦值.
a ( 3 ? n 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 1 ? t t ? 1 ) 2an?1 ? Sn 3 4 ? ,

(其中 n ? N* ) . (Ⅰ )当 t 为何值时,数列 {an ? 1} 是等比数列? (Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,设 bn ? ? an ? ? ? n2 ,若在数列 {bn } 中,有 b1 ? b2 , b3 ? b4 ,…,
b2 n ?1 ? b2 n ,…成立,求实数 λ 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分)若抛物线 C 的顶点在坐标原点 O,其图象关于 x 轴对称,且经 过点 M (1, 2) . (Ⅰ )若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在该抛物线上,求该等 边三角形的边长; (Ⅱ )过点 M 作抛物线 C 的两条弦 MA, MB ,设 MA, MB 所在直线的斜率分别为 k1 ,k2 , 当 k1 ,k2 变化且满足 k1 ? k2 ? ?1 时,证明直线 AB 恒过定点,并求出该定点坐标.

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f1 ( x) ? (Ⅰ )求函数 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的极值;

1 2 . x , f 2 ( x) ? a ln x (其中 a ? 0 ) 2

1 (Ⅱ )若函数 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? (a ? 1) x 在区间 ( ,e) 内有两个零点,求正实数 a 的取值 e 范围; 3 1 (Ⅲ )求证:当 x ? 0 时, ln x ? 2 ? x ? 0 . (说明:e 是自然对数的底数,e=2.71828…) 4x e

资阳市 2012—2013 学年度高中三年级第二次高考模拟考试

数学(理工农医类)参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.

1-5. CABCB;6-10.DADCC. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.3; 12. ?
3 16? ; 13. 12 ? ;14. 3 ? 1 ;15.①②④. 3 3

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.解析 (Ⅰ )由 3a ? 2c sin A ? 0 及正弦定理, 得 3 sin A ? 2sin C sin A ? 0 ( sin A ? 0 ) ,
sin ∴ C? 3 ,∵ABC 是锐角三角形, △ 2

∴ ? C

?
3

. ······························································6 分 ·····························································

(Ⅱ c ? 2 , C ? )∵

,由余弦定理, a2 ? b2 ? 2ab cos ? 4 ,即 a 2 ? b2 ? ab ? 4 . 3 3 ······································································ 8 分 ······································································

?

?

a?b 2 ) ,即 (a ? b)2 ? 16 , 2 a ∴ ? b ? 4 ,当且仅当 a ? b ? 2 取“=”,故 a ? b 的最大值是 4.··················12 分 ················· 17.解析 (Ⅰ )记“A、B 两小区已经收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等”为 3 3 5 0 1 1 1 事件 A,则 P( A) ? (1 ? ) ? C3 ( )3 ? ? C3 ( )3 ? . ·····························4 分 ···························· 4 2 4 2 16 (Ⅱ )随机变量 ? 的可能值为 0,1,2,3,4. 3 1 1 ; P(? ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? )3 ? 4 2 32 3 1 3 6 1 1 P(? ? 1) ? ? (1 ? )3 ? (1 ? ) ? C3 ( )3 ? ; 4 2 4 2 32 3 3 12 1 1 3 2 1 3 P(? ? 2) ? ? C3 ( ) ? (1 ? ) ? C3 ( ) ? ; 4 2 4 2 32 3 3 1 3 10 2 1 3 ; P(? ? 3) ? ? C3 ( ) ? (1 ? ) ? ( ) ? 4 2 4 2 32 3 1 3 . (每对一个给 1 分) ······························· 9 分 ······························· P(? ? 4) ? ? ( )3 ? 4 2 32 ? 的分布列如下: ? 0 1 2 3 4
∴a ? b)2 ? 4 ? 3ab ? 4 ? 3 ? ( (

1 6 12 10 3 32 32 32 32 32 ······································································ 10 分 ······································································ 1 6 12 10 3 9 ? ∴ 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . ··············· 12 分 ··············· 32 32 32 32 32 4 1 18.(Ⅰ )证明:取 AB 的中点 M,? AF ? AB , 4 EF ? F 为 AM 的中点,又? E 为 AA1 的中点,∴ // A1 M ,
P 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, M 分别为 A1 B1 , AB 的中点,
? A1 D // BM ,且 A1 D ? BM ,

则四边形 A1DBM 为平行四边形,? A1M // BD ,
? EF // BD ,又? BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D ,

? EF // 平面 BC1 D . ·····················································6 分 ···················································· ???? ???? ? ? ???? (Ⅱ )连接 DM,分别以 MB 、 MC 、 MD 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图空间直

角坐标系,则 B(1,0,0) , E (?1, 0,1) , D(0,0, 2) , C1 (0, 3, 2) , ??? ? ??? ? ???? ? ∴ ? (?1,0,2) , BE ? (?2,0,1) , BC1 ? (?1, 3,2) . BD 设面 BC1D 的一个法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,面 BC1E 的一个法向 量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) , ??? ? ?m ? BD ? 0, ?? x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? 则由 ? ???? 得? 取 m ? (2,0,1) , ? ?m ? BC1 ? 0, ?? x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ??? ? ?n ? BE ? 0, ??2 x2 ? z2 ? 0, ? ? 又由 ? ???? 得? 取 n ? (1, ? 3, 2) , ? ?n ? BC1 ? 0, ?? x2 ? 3 y2 ? 2 z2 ? 0, ? ? 则 cos ? m, n ??
m?n 4 10 ? ? , | m || n | 5 5? 8
A1 D

C1 B1

E C

A

F

M

B

10 . ···································· 12 分 ···································· 5 19.解析 (Ⅰ )由 2an?1 ? 3Sn ? 3n ? 4 ,得 2an ? 3Sn ?1 ? 3n ? 1 ( n ? 2 ) ,

故二面角 E-BC1-D 的余弦值为

两式相减得 2an?1 ? 2an ? 3(Sn ? Sn?1 ) ? 3 ,即 2an ?1 ? an ? 3 , ····················2 分 ··················· 1 3 ∴ n?1 ? ? an ? , a 2 2 1 则 an?1 ? 1 ? ? (an ? 1) ( n ? 2 ) ·········································· 4 分 , ·········································· 2 3 7 由 a1 ? t ,又 2a2 ? 3S1 ? 7 ,则 a2 ? ? t ? , 2 2 3 7 ? t ? ?1 a2 ? 1 1 2 2 t ? ? ? ,∴ ? 2 . 又∵ 数列 {an ? 1} 是等比数列,∴ 只需要 a1 ? 1 t ?1 2 1 此时,数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 1 为首项, ? 为公比的等比数列. ············· 6 分 ············· 2 1 1 1 (Ⅱ )由(Ⅰ )得, an ? 1 ? (a1 ? 1) ? (? )n?1 ? (? )n?1 ,∴ n ? (? )n?1 ? 1 , ·········8 分 ········ a 2 2 2 1 1 bn ? ?[(? )n?1 ? 1] ? ? ? n2 ? ? (? )n?1 ? n2 , 2 2 1 2n?2 1 由题意得 b2 n ?1 ? b2 n ,则有 ? (? ) ? (2n ? 1)2 ? ? (? )2n?1 ? (2n)2 , 2 2 1 2n?2 1 即 ? (? ) [1 ? (? )] ? (2n ? 1)2 ? (2n)2 , 2 2 (4n ? 1) ? 4n ∴ ?? ,····················································· 10 分 ····················································· ? 6 (4n ? 1) ? 4n (4n ? 1) ? 4 n (4 ? 1) ? 4 而? 对于 n ? N* 时单调递减,则 ? 的最大值为 ? ? ?2 , 6 6 6 故 ? ? ?2 . ···························································· 12 分 ···························································· 20.解析 (Ⅰ )根据题意,设抛物线 C 的方程为 y 2 ? ax(a ? 0) ,点 M (1, 2) 的坐标代入该 方程,得 a ? 4 ,故抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x . 2分

设这个等边三角形 OEF 的顶点 E,F 在抛物线上,且坐标为 ( xE , yE ) , ( xF , yF ) .
2 2 则 yE ? 4 xE , yF ? 4 xF ,又 | OE |?| OF | , 2 2 2 2 2 ∴ E ? yE ? xF ? yF ,即 xE ? xF ? 4 xE ? 4 xF ? 0 , x2

∴ xE ? xF )( xE ? xF ? 4) ? 0 ,因 xE ? 0 , xF ? 0 , ( ∴ E ? xF ,即线段 EF 关于 x 轴对称. x 则 ?EOx ? 30? ,所以
yE 3 ? tan 30? ? , xE 3

2 即 xE ? 3 yE ,代入 yE ? 4 xE 得 yE ? 4 3 ,

故等边三角形的边长为 8 3 .·············································6 分 ············································ (Ⅱ )设 A x1 , y1 ) 、 B x2 , y2 ) ,则直线 MA 方程 y ? k1 ( x ? 1) ? 2 ,MB 方程 y ? k2 ( x ? 1) ? 2 , ( (

? y ? k1 ( x ? 1) ? 2, ? 联立直线 MA 方程与抛物线方程,得 ? 2 消去 x, ? y ? 4 x, ?
得 k1 y 2 ? 4 y ? 8 ? 4k1 ? 0 , 4 y ∴1 ? ? 2 , ① k1 4 同理 y2 ? ? 2 , ② k2
y2 ? y1 y ? y1 y2 ( x ? x1 ) ,消去 x1,x2,得 y ? y1 ? 22 (x ? 1 ) , x2 ? x1 y2 y12 4 ? 4 4 y1 y2 4 x? 化简得即 y ? ③ y1 ? y2 y1 ? y2 k ?k 2(k1 ? k2 ) ?4 4 6 ? 4 , y1 y2 ? 4[ ? ? 1] ? 4( ? 1) , 由① ,得 y1+y2= 4 ? 1 2 ? 4 ? 、② k1k2 k1k2 k1k2 k1k2 k1k2

而 AB 直线方程为 y ? y1 ?

代入③ ,整理得 k1k2 ( x ? y ? 1) ? 6 ? y ? 0 .
? x ? y ? 1 ? 0, ? x ? 5, 由? 得? 故直线 AB 经过定点(5,-6). ····················· 13 分 ····················· ? y ? 6 ? 0, ? y ? ?6. 1 21.解析 (Ⅰ f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ax2 ? ln x , ) 2 1 1 ∴f ?( x) ? ax ln x ? ax ? ax(2ln x ? 1) ( x ? 0 , a ? 0 ) , 2 2

由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e
1 ? 2

?

1 2

,由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? e
1 ? 2

?

1 2



故函数 f ( x) 在 (0, e ) 上单调递减,在 (e , ??) 上单调递增, 所以函数 f ( x) 的极小值为 f (e 2 ) ? ? (Ⅱ )函数 g ( x) ?
? 1

a ,无极大值. ························ 4 分 ························ 4e

1 2 x ? a ln x ? (a ? 1) x , 2 a x2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? a)( x ? 1) 则 g ?( x) ? x ? ? (a ? 1) ? , ? x x x a 令 g ?( x) ? 0 ,∵ ? 0 ,解得 x ? 1 ,或 x ? ?a (舍去) , 当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0,1) 上单调递减; 当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增. 1 函数 g ( x) 在区间 ( ,e) 内有两个零点, e

a ?1 2e ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 2e2 ? e ? a ? 0, ?a ? 2e2 ? 2e , ? g ( e ) ? 0, ? ? ? 1 ?1 ? 只需 ? g (1) ? 0, 即 ? ? a ? 1 ? 0, ∴a? , ? 2 ? g (e) ? 0, ?2 ? 2 ? ?e ? 2e ? e2 , ? ? ? (a ? 1)e ? a ? 0, ?a ? 2e ? 2 ?2 ? 2e ? 1 1 故实数 a 的取值范围是 ( 2 ····································· , ) . ····································· 9 分 2e ? 2e 2 x2 3 1 (Ⅲ )问题等价于 x2 ln x ? x ? .由(Ⅰ )知 f ( x) ? x2 ln x 的最小值为 ? . 2e e 4 x2 3 x( x ? 2) 设 h( x) ? x ? , h?( x) ? ? 得 h( x) 在 (0, 2) 上单调递增,在 (2, ??) 上单调递减. ex e 4 4 3 ∴ ( x)max ? h(2) ? 2 ? , h e 4 3e2 ? 2e ? 16 (3e ? 8)(e ? 2) 1 4 3 3 1 4 ∵ ? ?( 2 ? ) ? ? ? 2 =? ? ?0, 2e e 4 4 2e e 4e2 4e2 x2 3 3 1 ∴f ( x)min ? h( x)max ,∴ 2 ln x ? x ? ,故当 x ? 0 时, ln x ? 2 ? x ? 0 . ·······14 分 ······ x 4x e e 4

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