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1.2 简易逻辑


§ 1.2
一 基础知识

命题及其关系、充分条件与必要条件

1.命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以____________的陈述句叫做命题.其中 ______________的语句叫真命题,____________的语句叫假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题

(2)四种命题间的逆否关系 表述形式 若 p,则 q

(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有________的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性____________. 3.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的______________,q 是 p 的______________; (2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的______________. 二 难点正本 疑点清源 1.用集合的观点,看充要条件 设集合 A={x|x 满足条件 p},B={x|x 满足条件 q},则有: (1)若 A?B,则 p 是 q 的充分条件,若 A?B,则 p 是 q 的充分不必要条件; (2)若 B?A,则 p 是 q 的必要条件,若 B?A,则 p 是 q 的必要不充分条件; (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; (4)若 A? B,且 B? A,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 2.从逆否命题,谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而,当判断原命题的真假比较困难 时,可转化为判断它的逆否命题的真假.这就是常说的“正难则反”.

三 基础训练 1.(课本改编题)给出命题:“若 x2+y2=0,则 x=y=0”,在它的逆命题、否命题、逆否 命题中,真命题的个数是______. 2.(课本改编题)下列命题中所有真命题的序号是________. ①“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件; ③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件. 1 1 3.(课本改编题)“x>2”是“ < ”的________条件. x 2 4 . (2011· 天津 ) 设集合 A = {x∈R|x - 2>0} , B = {x∈R|x<0} , C = {x∈R|x(x - 2)>0} ,则 “x∈A∪B”是“x∈C”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 A.充分不必要条件 C.充要条件 四 题型分类解析 题型一 四种命题的关系及真假判断 例1 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①“若 log2a>0,则函数 f(x)=logax (a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0”; ③命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M,则 a?M”等价. 探究提高 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键; (2)根据“原 命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断 不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假;(3)认真仔细读题,必要时举特例. 变式训练 1 有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤1,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 题型二 充分、必要、充要条件的概念与判断 例2 指出下列命题中,p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、 “充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC 中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B; (2)对于实数 x、y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6; (3)非空集合 A、B 中,p:x∈A∪B,q:x∈B; (4)已知 x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0, B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

5.已知 α,β 的终边在第一象限,则“α>β”是“sin α>sin β”的

q:(x-1)(y-2)=0. 探究提高 判断 p 是 q 的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件 p 能否推得条件 q; 二是由条件 q 能否推得条件 p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合 思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命 题的等价性,转化为判断它的等价命题. 变式训练 2 给出下列命题: ①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件; ②“a=2”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件; ③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0 与直线 mx-6y+5=0 互相垂直”的充要条件; ④设 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3,则 A=30° 是 B=60° 的必要不充分条件. 其中真命题的序号是________. 题型三 充要条件的证明 例3 求证:关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是 a≤1. 探究提高 (1)条件已知证明结论成立是充分性,结论已知推出条件成立是必要性. (2)证明分为两个环节, 一是充分性; 二是必要性. 证明时, 不要认为它是推理过程的“双 向书写”,而应该进行由条件到结论,由结论到条件的两次证明. (3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形,这就要分清哪是条件,哪是结论. 变式训练 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=pn+q(p≠0,且 p≠1),求证:数列{an}为等比 数列的充要条件为 q=-1. 五 数学思想提炼 等价转化思想在充要条件关系中的应用 x-1? 试题:(12 分)已知 p:?1- ≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且綈 p 是綈 q 的必要而 3 ? ? 不充分条件,求实数 m 的取值范围. 审题视角 (1)先求出两命题的解集,即将命题化为最简. (2)再利用命题间的关系列出关于 m 的不等式或不等式组,得出结论. 规范解答 解 方法一 由 q:x2-2x+1-m2≤0, 得 1-m≤x≤1+m, ∴綈 q:A={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0}, x-1? 由?1- ≤2,解得-2≤x≤10, 3 ? ? ∴綈 p:B={x|x>10 或 x<-2}. ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件. m>0, ? ? ∴A?B,即?1-m<-2, ? ?1+m≥10, 即 m≥9 或 m>9.∴m≥9. 方法二 ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件, m>0 ? ? 或?1-m≤-2 , ? ?1+m>10 [12 分] [2 分] [3 分] [5 分] [6 分]

∴p 是 q 的充分而不必要条件, 由 q:x -2x+1-m ≤0,得 1-m≤x≤1+m, ∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m}, x-1? 由?1- ≤2,解得-2≤x≤10, 3 ? ? ∴p:P={x|-2≤x≤10}. ∵p 是 q 的充分而不必要条件, m>0, ? ? ∴P ? Q,即?1-m<-2, ? ?1+m≥10, 即 m≥9 或 m>9.∴m≥9. m>0 ? ? 或?1-m≤-2 , ? ?1+m>10
2 2

[2 分] [4 分]

[6 分]

[12 分]

批阅笔记 本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问 题化归为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问 题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关键. 六 方法提炼 1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必须保留大前提,也就是大前提不动; 对于由多个并列条件组成的命题,在写其它三种命题时,应把其中一个(或 n 个)作为大 前提. 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与定理是有区别的;命题有真假之 分,而定理都是真的. 3.命题的充要关系的判断方法 (1)定义法:直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假. (2)等价法:利用 A?B 与綈 B?綈 A,B?A 与綈 A?綈 B,A?B 与綈 B?綈 A 的等价关 系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:若 A?B,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件; 若 A=B,则 A 是 B 的充要条件.

课时规范训练 (时间:60 分钟) A 组 专项基础训练题组 一、选择题 1.(2011· 陕西)设 a,b 是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是 ( ) A.若 a≠-b,则|a|≠|b| B.若 a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b D.若|a|=|b|,则 a=-b 2.已知集合 M={x|0<x<1},集合 N={x|-2<x<1},那么“a∈N”是“a∈M”的 ( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列命题中为真命题的是 A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 B.命题“x>1,则 x2>1”的否命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题 二、填空题 1 4.“m< ”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的____________条件. 4 5.下列命题: ①若 ac2>bc2,则 a>b; ②若 sin α=sin β,则 α=β; ③“实数 a=0”是“直线 x-2ay=1 和直线 2x-2ay=1 平行”的充要条件; ④若 f(x)=log2x,则 f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是________. 6.已知 p(x):x2+2x-m>0,如果 p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数 m 的取值范围为 ________. 三、解答题 7.已知 p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件,求 实数 m 的取值范围. 8.设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0;q:实数 x 满足 x2-x-6≤0,或 x2+2x- 8>0,且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1.(2011· 福建)若 a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的 ( ) ( ) )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2. 已知 p: ≥1, q: |x-a|<1, 若 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 a 的取值范围为 ( x-2 A.(-∞,3] C.(2,3] A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 4.设有两个命题 p、q.其中 p:对于任意的 x∈R,不等式 ax2+2x+1>0 恒成立;命题 q:f(x) =(4a-3)x 在 R 上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题,那么实数 a 的取 值范围是____________. 5.若“x∈[2,5]或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则 x 的取值范围是________. 6.在“a,b 是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是非空 数集,则 a2-4b≥0”,给出下列命题: ①若 a2-4b≥0,则不等式 x2+ax+b≤0 的解集是非空数集; ②若 a2-4b<0,则不等式 x2+ax+b≤0 的解集是空集; ③若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是空集,则 a2-4b<0; ④若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是非空数集,则 a2-4b<0; ⑤若 a2-4b<0,则不等式 x2+ax+b≤0 的解集是非空数集; ⑥若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是空集,则 a2-4b≥0. 其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是 ________(按要求的顺序填写). 7.(2011· 陕西)设 n∈N+,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数 根的充要条件是 n=________. .. 三、解答题 8.已知全集 U=R,非空集合 A=?x| 1 (1)当 a= 时,求(?UB)∩A; 2 (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.
? ? x-a2-2 ? x-2 <0?,B=?x| <0?. x-a ? x-?3a+1? ? ? ? ?

)

B.[2,3] D.(2,3) ( )

3.集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的

答案
要点梳理 1.判断真假 判断为真 判断为假. 2.(1)若 q,则 p 若綈 p,则綈 q 若綈 q,则綈 p (3)①相同 ②没有关系 3.(1)充分条件 必要条件 (2)充要条件 基础自测 1.3 2.②③ 3.充分不必要 题型分类· 深度剖析 例1 例2 ②④ 解 (1)在△ABC 中,∠A=∠B?sin A=sin B,反之,若 sin A=sin B,因为 A 与 B 变式训练 1 ①③ 不可能互补(因为三角形三个内角和为 180° ),所以只有 A=B.故 p 是 q 的充要条件. (2)易知,綈 p:x+y=8,綈 q:x=2 且 y=6,显然綈 q?綈 p,但綈 pD?/綈 q,即綈 q 是綈 p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是 q 的充分不必要条 件. (3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B,但 x∈B 一定有 x∈A∪B,所以 p 是 q 的必要不充分条 件. (4)条件 p:x=1 且 y=2,条件 q:x=1 或 y=2,所以 p?q 但 qD?/p,故 p 是 q 的充分 不必要条件. 变式训练 2 ①④ 例3 证明 充分性:当 a=0 时, 1 方程为 2x+1=0,其根为 x=- , 2 方程有一个负根,符合题意. 1 当 a<0 时,Δ=4-4a>0,方程 ax2+2x+1=0 有两个不相等的实根,且 <0,方程有一 a 正一负根,符合题意. 4.C 5.D (2)逆命题 否命题 逆否命题

?-a<0 当 0<a≤1 时,Δ=4-4a≥0,方程 ax +2x+1=0 有实根,且? 1 ?a>0
2

2



故方程有两个负根,符合题意. 综上知:当 a≤1 时,方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根. 必要性:若方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根. 当 a=0 时,方程为 2x+1=0 符合题意. 当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 应有一正一负根或两个负根.

? ?-2<0 1 则 <0 或? a a 1 ? ?a>0

Δ=4-4a≥0 .

解得 a<0 或 0<a≤1. 综上知:若方程 ax2+2x+1=0 至少有一负根,则 a≤1. 故关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是 a≤1. 变式训练 3 证明 充分性:当 q=-1 时, a1=S1=p+q=p-1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn 1(p-1).


当 n=1 时也成立. an+1 pn?p-1? 于是 = =p(n∈N*), an pn-1?p-1? 即数列{an}为等比数列. 必要性:当 n=1 时,a1=S1=p+q. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn 1(p-1). an+1 pn?p-1? ∵p≠0,p≠1,∴ = =p. an pn-1?p-1?


∵{an}为等比数列, a2 an+1 ∴ = =p,又 S2=a1+a2=p2+q, a1 an p?p-1? ∴a2=p2-p=p(p-1),∴ =p, p+q 即 p-1=p+q.∴q=-1. 综上所述,q=-1 是数列{an}为等比数列的充要条件. 课时规范训练 A组 1.D 2.B 3.A 4.充分不必要 5.①③④ 6.[3,8) 7.解 由题意 p:-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5. ∴綈 p:x<1 或 x>5.q:m-1≤x≤m+1, ∴綈 q:x<m-1 或 x>m+1. 又∵綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件,
?m-1≥1, ? ∴? ? ?m+1≤5.

∴2≤m≤4.

8.解 设 A={x|p}={x|x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0}, B={x|q}={x|x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0}={x|x2-x-6≤0}∪{x|x2+2x-8>0}={x|- 2≤x≤3}∪{x|x<-4 或 x>2}

={x|x<-4 或 x≥-2}. ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, ∴綈 q?綈 p,且綈 pD?/綈 q. 则{x|綈 q}?{x|綈 p}, 而{x|綈 q}=?RB={x|-4≤x<-2}, {x|綈 p}=?RA={x|x≤3a 或 x≥a,a<0},
?3a≥-2, ?a≤-4, ? ? ∴{x|-4≤x<-2}?{x|x≤3a 或 x≥a,a<0},则? 或? ?a<0 ? ? ?a<0. 2 综上,可得- ≤a<0 或 a≤-4. 3

B组 1.A 2.C 3.B 3 ? 4.? ?4,1?∪(1,+∞) 5.[1,2) 6.①③②④ 7.3 或 4 1 8.解 (1)当 a= 时, 2 x - 2 ?x| ? ? ? 5? <0? 5 ?=?x|2<x< ?, A=? 2? ? x - ? 2 ? ? ? 9 x- 4 9? ? 1 B= x| 1<0 =?x|2<x<4?, ? ? x- 2 1 9? ? ∴?UB=?x|x≤2或x≥4?. ? ? 5? ? 9 ∴(?UB)∩A=?x|4≤x<2?. ? ?

? ? ?

? ? ?

(2)∵a2+2>a,∴B={x|a<x<a2+2}. 1 ①当 3a+1>2,即 a> 时,A={x|2<x<3a+1}. 3 ∵p 是 q 的充分条件,∴A?B. ? ?a≤2 3- 5 1 ∴? ,即 <a≤ . 2 3 2 ?3a+1≤a +2 ? 1 ②当 3a+1=2,即 a= 时,A=?,不符合题意; 3 1 ③当 3a+1<2,即 a< 时,A={x|3a+1<x<2}, 3 ? ?a≤3a+1 1 1 由 A?B 得? 2 ,∴- ≤a< . 2 3 ?a +2≥2 ? 综上所述: ? 1 1? ?1 3- 5?. a∈?- , ?∪? , ? ? 2 3? ?3 2 ?


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