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高二年级假期数学作业

时间:2012-05-10


高中数学选修( 高中数学选修(2-2)综合测试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1.函数 y = x cos x ? sin x 的导数为 (A) x cos x (B) ? x sin x 2.下列说法正确的是 (C) x sin x (D) ? x cos x ( ) ( )

(A)当 f ′( x0 ) = 0 时, f ( x0 ) 为 f ( x) 的极大值 (B)当 f ′( x0 ) = 0 时, f ( x0 ) 为 f ( x) 的极小值 (C)当 f ′( x0 ) = 0 时, f ( x0 ) 为 f ( x) 的极值 (D)当 f ( x0 ) 为 f ( x) 的极值时, f ′( x0 ) = 0 3.如果 z 是 3 + 4i 的共轭复数,则 z 对应的向量 OA 的模是 (A)1 (B) 7 (C) 13 (D)5

uuu r

( )

4.若函数 y = a ( x 3 ? x ) 的递减区间为 (? (A) (0, +∞ ) (B) (?1, 0)

3 3 , ) ,则 a 的取值范围是 3 3
(C) (1, +∞) (D) (0,1)

( )

5.下列四条曲线(直线)所围成的区域的面积是 (1) y = sin x ;(2) y = co s x ; (3) x = ?

( )

π
4

;(4) x =

π
4
(D)

(A) 2

(B) 2 2

(C)0

2 2

6.由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,叫 ( ) (A)合情推理 (B)演绎推理 (C)类比推理 (D)归纳推理 7.复数 a ? bi 与 c + di 的积是实数的充要条件是 ( ) (A) ad + bc = 0 (B) ac + bd = 0 (C) ad ? bc = 0 (D) ac ? bd = 0 8.已知函数 y =

1 sin 2 x + sin x ,那么 y′ 是 2

( )

(A)仅有最小值的奇函数 (B)既有最大值又有最小值的偶函数 (C)仅有最大值的偶函数 (D)非奇非偶函数 9.用边长为 48 厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的 小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒。当所做的铁盒的容积最大时,在四角截去的正

方形的边长为 (A)12

( (B)10
2



(C)8
n +1

(D)6

10.用数学归纳法证明:1 + a + a + L + a 得的式子是 (A)1 (B)1+a

=

1 ? a n+ 2 (a ≠ 1) ,在验证 n=1 时,左端计算所 1? a
( )

(C) 1 + a + a

2

(D) 1 + a + a + a
2

3

11.给出下列四个命题: (1)任一两个复数都不能比较大小; (2) z z 为实数 ? z 为实数(3) 虚轴上的点都表示纯虚数; (4)复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的。 其中正确命题的个数是 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 12.用数学归纳法证明: 不等式左端变化的是

1 1 1 1 + + +L + < 1(n ∈ N * , n ≥ 2) ,由 n = k 到 n = k + 1 , n n +1 n + 2 2n
( )

(A)增加

1 一项 2(k + 1)

(B)增加

1 1 和 两项 2k + 1 2(k + 1)

(C)增加

1 1 1 和 两项,同时减少 一项 2k + 1 2(k + 1) k 1 1 一项,同时减少 一项 2k + 1 k

(D)增加

二、填空题: (每小题 4 分,四小题共 16 分) 13.已知 f ( x ) = a x x a ( a 为常数) ,则 f ′( x ) = 14.在数列 {an } 中, a1 = 1 , an +1 = ;

4 an (n ∈ N * ) ,则 an = 4 + an



15.已知:△ABC 中,AD⊥BC 于 D,三边分别是 a,b,c,则有 a = c cos B + b cos C ;类比上 述结论,写出下列条件下的结论:四面体 P-ABC 中,△ABC,△PAB,△PBC,△PCA 的面积 分别是 S , S1 , S 2 , S3 ,二面角 P ? AB ? C , P ? BC ? A, P ? AC ? B 的度数分别是 α , β , γ ,

则S =

; 。

2 16.如图是函数 f ( x) = x3 + bx 2 + cx + d 的大致图象,则 x12 + x2 等于

三、解答题(17-19,21 题,每题 12 分;20,22 题,每题 14 分;共 76 分) 17.求过点(1,2)且与曲线 y =

x 相切的直线方程。

18.已知函数 f ( x) = ax3 + 3x 2 ? x + 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围.

19. 已知 z =

a?i 3 , a > 0 ,复数 ω = z ( z + i ) 的虚部减去它的实部所得的差为 ,求实数 a . 1? i 2

20.在数列 {an } 中, a1 =

1 * ,且前 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2n-1 倍( n ∈ N ) 。 3

(1)写出此数列的前 5 项; (2)归纳猜想 {an } 的通项公式,并加以证明。

21.求由抛物线 y = ? x 2 + 4 x ? 3 与它在点 A(0,-3)和点 B(3,0)的切线所围成的区域的面 积。 y

22.已知函数 f ( x ) = ln x , g ( x ) =

1 2 ax + bx, a ≠ 0 。 2

(1) 若 b = 2 ,且函数 h( x ) = f ( x ) ? g ( x ) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围;

(2)当 a = 3, b = 2 时,求函数 h( x ) = f ( x ) ? g ( x ) 的取值范围。

数学选修( ) 数学选修(2-2)综合测试题参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. )

1.解析: y′ = ( x cos x ? sin x )′ = ( x cos x )′ ? (sin x )′ = cos x ? x sin x ? cos x = ? x sin x 故选 B 2.反例: f ( x) = x3 , f ′(0) = 0 ,但 f (0) =0 既不是极大值也不是极小值, 故选 D 3.解析: z = 3 ? 4i ,所以 OA = (3, ?4) , OA =
2
2

uuu r

uuu r

32 + (?4)2 = 5
2

故选 D

4. 解析:y ′ = 3ax ? a , y ′ < 0 , 3ax ? a < 0 , a < 0 时, x ? 1 > 0 不合题意; a > 0 令 则 当 3 当 时, 3 x ? 1 < 0 , ?
2

3 3 <x< , 3 3
π π
4 ? 4

故选 A
π
4 ?

5.解析:

∫ π cos x ? ∫ π sin x = sin x
4 ? 4 ? 4

π

π
4

+ cos x

π
4

=

2 2 2 2 + + ? = 2 故选 A 2 2 2 2
选D 选C

6.解析:概念题 7.解析: ( a ? bi ) (c + di ) = ac + adi ? bci ? bdi 2 = ( ac + bd ) + ( ad ? bc )i

1 y′ = ( sin 2 x + sin x)′ = cos 2 x + cos x = 2 cos 2 x + cos x ? 1(偶函数) 2 8.解析: 故选 B 1 2 9 9 = 2(cos x + ) ? cosx ∈ [-1,1] y′ ∈ [- ,2] 4 8 8
9.解析:设小正方形的边长为 x 厘米,则 V = (48 ? 2 x ) 2 x = 4 x 3 ? 192 x 2 + 2304 x 令 V ′ = 12 x ? 384 x + 2304 = 0
2

即 x2 ? 32 x + 192 = 0
2

x=8或24(舍去) 故选 C
2

10.解析:n=1 时,左端最后一项为 a ,所以左端的式子是 1 + a + a

故选 C

11.解析: (1)两个实数可以比较大小, (2) z z 为实数, z 可以为纯虚数; (3)原点, (4) 正确, 12.解析:当 n = k 时,左端= 当 n = k + 1 时,左端= 故选 A

1 1 1 1 + + +L + ; k k +1 k + 2 2k 1 1 1 1 1 + +L + + + k +1 k + 2 2k 2k + 1 2(k + 2)
显然选 C

二、填空题: (每小题 4 分,四小题共 16 分) 13.解析: f ′( x ) = ( a x x a )′ = a x x a ln a + a x +1 x a ?1 ,故填 a x ln a + a
x a x +1 a ?1

x



14.解析:

4 + an 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n+3 = = + , ? = , = 1 ,所以 = 1 + (n ? 1) = an +1 4an an 4 an +1 an 4 a1 an 4 4
4 n+3

an =

4 也可以用归纳法。 n+3

故填

15 . 解 析 : 作 PD ⊥ 面 ABC 于 D, 连 结 DA,DB , 可 得 S ADB = S1 cos α , 同 理 可 得 :

S BDC = S 2 cos β , SCDA = S3 cos γ ,所以 S = S1 cos α + S 2 cos β + S3 cos γ ,
故填 S1 cos α + S 2 cos β + S3 cos γ 16.
8 3

三、解答题(17-19,21 题,每题 12 分;20,22 题,每题 14 分;共 76 分) 17.解析:因为点(1,2)不在曲线 y =

x 上,所以设所求切线与 y = x 的切点为 x0 ,则

k = y′

x = x0

=

1 1 ,所以切线方程为 y ? 2 = ( x ? 1) , x = 2 x0 y ? 4 x0 + 1 2 x0 2 x0

代入 y =

x ,即 x = y 2 ( y ≥ 0) ,得, y 2 ? 2 x0 y + 4 x0 ? 1 = 0 , x0 = 2 + 3 或 2 ? 3

所以 ? = 4 x0 ? 16 x0 + 4 = 0 ,即 x0 ? 4 x0 + 1 = 0 ,

所求的切线方程为 x ? (4 + 2 3) y ? (7 + 4 3) = 0 或 x ? (4 ? 2 3) y ? (7 ? 4 3) = 0 18 解:求函数 f ( x) 的导数: f ′( x) = 3ax 2 + 6 x ? 1 . (1)当 f ′( x) < 0( x ∈ R ) 时, f ( x) 是减函数.
3ax 2 + 6 x ? 1 < 0( x ∈ R ) ? a < 0 且 ? = 36 + 12a < 0 ? a < ?3 .

所以,当 a < ?3 时,由 f ′( x) < 0 ,知 f ( x)( x ∈ R ) 是减函数;
1? 8 ? (2)当 a = ?3 时, f ( x) = ?3x + 3x ? x + 1 = ?3 ? x ? ? + , 3? 9 ?
3 2 3

由函数 y = x3 在 R 上的单调性,可知当 a = ?3 时, f ( x)( x ∈ R ) 是减函数; (3)当 a > ?3 时,在 R 上存在使 f ′( x) > 0 的区间, 所以,当 a > ?3 时,函数 f ( x)( x ∈ R ) 不是减函数. 综上,所求 a 的取值范围是 (?∞, 3) . ?

19.解: z =

a ? i (a ? i )(1 + i ) a + 1 + (a ? 1)i a + 1 a ? 1 = = = + i. 1? i 2 2 2 2

2 ? a + 1 a ? 1 ?? a + 1 a + 1 ? a + 1 a + a i ?? i? = i; ∵ω = z ( z + i ) = ? + + + 2 ?? 2 2 ? 2 2 ? 2

a2 + a a + 1 3 ? = ,解得 a = ±2 . 2 2 2 又因为 a > 0 ,故 a = 2 . ∴

1 a1 + a2 + a3 + L + an , = (2n ? 1)an ,分别取 n = 2,3, 4,5 ,得: 3 n 1 1 1 1 1 1 a2 = a1 = = , a3 = (a1 + a2 ) = = , 5 3 × 5 15 14 5 × 7 35 1 1 1 1 1 1 a4 = (a1 + a2 + a3 ) = = , a5 = (a1 + a2 + a3 + a4 ) = = 27 7 × 9 63 44 9 × 11 99 1 1 1 1 1 所以数列的前 5 项是: a1 = , a2 = , a3 = , a4 = , a5 = 3 15 35 63 99
20.解析: 1)由已知 a1 = (
(2)由(1)中的分析可以猜想 an =

1 。下面用数学归纳法证明: (2n ? 1)(2n + 1) 1 ,那么由已知, (2k ? 1)(2k + 1)

①当 n=1 时,公式显然成立。②假设当 n = k 时成立,即 ak =



a1 + a2 + a3 + L + ak + ak +1 = (2k + 1)ak +1 , k +1
2

即 a1 + a2 + a3 + L + ak = (2k + 3k ) ak +1

所以 (2k ? k ) ak = (2k + 3k ) ak +1
2 2

即 (2k ? 1) ak = (2k + 3) ak +1 ,又由归纳假设,得: (2k ? 1)

1 = (2k + 3)ak +1 (2k ? 1)(2k+1)

所以 ak +1 =

1 ,即当 n = k + 1 时,公式也成立 (2k + 1)(2k + 3)
*

y

由①,②,对一切 n ∈ N ,都有 an =

1 成立。 (2n ? 1)(2n + 1)


x

′ 21.解析: y ′ = ?2 x + 4 , k1 = y(0) = 4, y ′ = y ′(3) = ?2 ,所以
过 点 A ( 0 , - 3 ) 和 点 B(3 , 0) 的 切 线 方 程 分 别 是

3 y = 4 x ? 3和y = ?2 x + 6 ,两条切线的交点是( ,3 ) ,围成的 2 3 区域如图所示:区域被直线 x = 分成了两部分,分别计算再相加,得: 2

S = [ ∫ 2 (4 x ? 3)dx ? ∫ 2 (? x 2 + 4 x ? 3)dx] + [ ∫3 (?2 x + 6)dx ? ∫3 (? x 2 + 4 x ? 3)dx]
0 0 2
3 2 0

3

3

3

3

2

3 1 2 = (2 x 2 ? 3x) 0 ?(? x 3 + 2 x 2 ? 3x) 3

+ (? x 2 + 6 x)

3 3 2

1 ? (? x3 + 2 x 2 ? 3x) 3

3 3 2

=

9 4

即所求区域的面积是

9 。 4
1 2 1 ?ax 2 ? 2 x + 1 ax ? 2 x ,则 h′( x) = ? ax ? 2 = 2 x x

22.解析: (1) b = 2 时, h( x ) = ln x ?

因为函数 h( x ) 存在单调递减区间,所以 h′( x ) < 0 有解,即
2

? ax 2 ? 2 x + 1 < 0 ,又因为 x > 0 , x

则 ax + 2 x ? 1 > 0有x > 0 的 解 。 ① 当 a > 0 时 , y = ax 2 + 2 x ? 1 为 开 口 向 上 的 抛 物 线 ,

ax 2 + 2 x ? 1 > 0总有x > 0 的 解 ; ② 当 a < 0 时 , y = ax 2 + 2 x ? 1 为 开 口 向 下 的 抛 物 线 , ax 2 + 2 x ? 1 > 0要有x > 0 的解,所以 ? = 4 + 4a > 0 ,且方程 ax 2 + 2 x ? 1 = 0 至少有一个正
根,所以 ?1 < a < 0 。综上可知, a 得取值范围是 (?1, 0) U (0, +∞ ) 。 (2) a = 3, b = 2 时, h( x ) = ln x ?

3 2 ? ax 2 ? 2 x + 1 ?3 x 2 ? 2 x + 1 x ? 2 x , h′( x) = , = 2 x x

令 h′( x ) = 0 ,则 列表:

?3 x 2 ? 2 x + 1 1 = 0 ,所以 3 x 2 + 2 x ? 1 = 0, x = 或 ?(舍去) 1 x 3

1 1 5 所以当 x = 时, h( x ) 取的最大值 ln ? 3 3 6
又当 x → +∞ 时, h( x ) → ?∞

x
h′( x) h( x)

1 (0, ) 3


1 3
0 极 大值

1 ( , +∞) 3


1 5 所以 h( x ) 的取值范围是 (?∞, ln ? ] 。 3 6


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