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3.3.2.1《双曲线的简单性质》课件(北师大版选修2-1) (1)


一、选择题(每题5分,共15分)

1.双曲线b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0)的渐近线夹角为α ,离心率为e,
则cos ? 等于(
2

) (C)
1 e

(A)e

(B)e2


(D) 12
e

【解析】选C.可用特殊方程来考察.取双曲线方程为
x 2 y2 5 ,cos ? = 2 ,故选C. ? =1 ,易得离心率e= 4 1 2 2 5

x 2 y2 2.(2010?台州高二检测)双曲线 ? =1 的一个焦点到一条 9 16

渐近线的距离为(
(A) 3 【解析】 (B)3

)

(C)4

(D)2

x 2 y2 3.已知点F1、F2分别是双曲线 2 ? 2 =1 (a>0,b>0)的左、右焦 a b

点,以线段F1、F2为一边的等边三角形PF1F2与双曲线的两交点M、

N恰为等边三角形两边的中点,则该双曲线的离心率e等于
( (A) 3 +1 【解析】 (B) 3 +2 (C) 3 (D) 2 +1 )

二、填空题(每题5分,共10分)
x 2 y2 4.与椭圆 + =1共焦点,离心率之和为 14 的双曲线标准方 9 25 5

程为_________.
4 ∴c=4,e= , 5

【解析】椭圆的焦点是(0,4),(0,-4),
14 4 ? =2 , 5 5

∴双曲线的离心率等于 ∴
4 =2,∴a=2. a

∴b2=42-22=12.
y2 x 2 ∴双曲线的方程为 ? =1 . 4 12 2 2 答案: y ? x =1 4 12

【解题提示】写出F、A的坐标,由FB⊥AB,求解a、c 之间的关系,进而求出e.

【解析】

答案:

三、解答题(6题12分,7题13分,共25分)
6.(2010?揭阳高二检测)求经过点P(-3,2 7 )和Q(-6 2 ,-7) 且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.

【解题提示】可设方程为Ax2-By2=1(AB>0),然后将P、Q坐
标代入求解. 【解析】依题意,设双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0). ∵双曲线过点P(-3,2 7 )和Q(-6 2 ,-7), ∴ 9A-28B=1

72A-49B=1
1 1 y2 x 2 解得:A=,B=.故双曲线方程为 ? =1 . 75 25 25 75

7.已知双曲线x2-y2=a2及其上一点P, 求证:(1)离心率e= 2 ,渐近线方程为y=±x; (2)P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心O距离的平 方; (3)过P作两渐近线的垂线,构成的矩形面积为定值. 【证明】

1.(5分)已知双曲线kx2-y2=1的一条渐近线与直线l:2x+y+1=0

垂直,则此双曲线的离心率是(
(A) 5
2

)
(D) 5

(B) 3
2

(C) 4 3

【解题提示】由双曲线方程直接写出渐近线方程.由一条
渐近线与直线l垂直求出k的值,从而可求出e的值.

【解析】选A.由题知,双曲线的渐近线方程为kx2-y2=0,即

y=〒 k x.由题知直线l的斜率为-2,则可知k= 1 ,代入双曲线
方程kx2-y2=1,得 x -y2=1,于是,a2=4,b2=1,从而c= a 2 +b 2
4
2

4

= 5 ,所以e=

5 ,故选A. 2

x 2 y2 2.(5分)P是双曲线 2 ? 2 =1 上的点,F1、F2是其焦点,双曲 a b 线的离心率是 5 ,且∠F1PF2=90°,若△F1PF2的面积是9,则a+b 4

的值(a>0,b>0)等于(

)

(A)4

(B)7

(C)6
c 5 = , a 4

(D)5

【解析】选B.∵e=

∴a=4k,b=3k,c=5k(k>0). 由|PF1|2+|PF2|2=100k2, 1 |PF1|?|PF2|=9,
2

(|PF1|-|PF2|)2=100k2-36=64k2,解得k=1,

∴a+b=4k+3k=7.

3.(5分)(2009?湖南高考)已知以双曲线C的两个焦点及虚 轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为60°,则双曲线 C的离心率为_________. 【解析】∵c>b,∴tan30°= b ,∴b= 3 c,
c
2 ∴a2=c2-b2=c2-( 3 c)2= c2,
c = 3, a2 2 c ∴e= = 3 = a 2 答案: 6 2
2

3

3

3



6 . 2

x 2 y2 4.(15分)双曲线 2 ? 2 =1 (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过 a b

点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线
4 l的距离之和s≥ c,求双曲线的离心率e的取值范围. 5

【解析】


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