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高中数学 第七章 第4讲 不等式的综合应用


第4讲

不等式的综合应用

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.现要挖一个面积为 432 m2 的矩形鱼池,周围两侧分别留出宽分别为 3 m,4 m 的堤堰,要想使占地总面积最小,此时鱼池的长为_____

___,宽为________. 432 ?432 ? ? 解析 设鱼池的长、宽分别为 x, x ,所以 S=(x+6)· x +8?=432+48+ ? ? 2 592 2 592 432 +8x≥480+288=768, 仅当 8x= x , x=18, x =24 时等号成立. 即 x 答案 24 m 18 m

1? ? 1? ? 2.若 x,y 是正数,则?x+2y?2+?y+2x?2 的最小值是________. ? ? ? ? 解析 1? ? 1? 1 1 ? 由?x+2y?2+?y+2x?2≥x2+4x2+y2+4y2+2≥2 ? ? ? ? 1 x2· 2+2 4x 1 y2· 2 4y

2 +2=4.当且仅当 x=y= 2 时取等号. 答案 4 3.已知 f(x)=32x-(k+1)3x+2,当 x∈R 时,若 f(x)恒为正值,则 k 的取值范围 是________. 解析 ∵f(x)>0,即 32x-(k+1)·x+2>0, 3 32x+2 32x+2 2 2 ∴k+1< 3x =3x+3x.∵x∈R,∴3x>0,∴ 3x =3x+3x≥2 2,当且仅 2 当 3x=3x时取等号.从而 k<-1+2 2. 答案 (-∞,-1+2 2) 4. 已知正项等比数列{an}满足: 7=a6+2a5, a 若存在两项 am, n 使得 aman=4a1, a 1 4 则m+n的最小值为________.

解析 由 a7=a6+2a5,得 a5q2=a5q+2a5,又 a5≠0,q>0,所以 q2=q+2, 1 4 1 ? 1 4? 1 解为 q=2.于是由 aman=4a1,得 m+n=6,所以m+n=6(m+n)?m+n?=6 ? ? n 4m? 1 3 ? ?5+m+ n ?≥ (5+4)= ,当且仅当 n=2m,即 m=2,n=4 时等号成立,故 2 ? ? 6 3 ? 1 4? ?m+n?min= . 2 ? ? 3 答案 2 a2 b2 ?a+b? a 5.若 a,b 是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则 + ≥ ,当且仅当 = x y x x+y
2

1?? b 2 9 ? ? ? ?0,2??的 y时上式取等号.利用以上结论,可以得到函数 f(x)= x+1-2x?x∈? ?? 最小值为________,取最小值时 x 的值为________. ?2+3?2 4 9 2 3 解析 由题意得 f(x)=2x+ ≥ =25,当且仅当2x= ,得 x 1-2x 2x+1-2x 1-2x 1? 1 ? 1 =5∈?0,2?,故 f(x)的最小值为 25,此时 x=5. ? ? 答案 25 1 5

x2+ax+11 6.(2011· 南京调研二)已知函数 f(x)= (a∈R),若对于任意的 x∈N*, x+1 f(x)≥3 恒成立,则 a 的取值范围是________. x2+ax+11 8 解析 令 f(x)= ≥3(x∈N*),则(3-a)x≤x2+8,即 3-a≤x+ x.∵x x+1 8 +x ≥2 8=4 2,当且仅当 x=2 2时取等号,但由于 x∈N*,∴当 x=3 时, 8 8 8 8 x+x取最小值 3+3,于是 3-a≤3+3,即 a≥-3. ? 8 ? 答案 ?-3,+∞? ? ? 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 7.已知 f(x)是定义在(-∞,4]上的减函数,是否存在实 7 ? ? 数 m,使得 f(m-sin x)≤f? 1+2m-4+cos2x?对定义 ? ? 域内的一切实数 x 均成立?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请

说明理由. 思维启迪 不等式和函数的结合,往往要利用函数的单调性和函数的值域.

解 假设实数 m 存在,依题意, ?m-sin x≤4, ? 可得? 7 2 ?m-sin x≥ 1+2m-4+cos x, ? ?m-4≤sin x, ? 即? 1?2 1 ? ?m- 1+2m+2≥-?sin x-2? . ? ? ? 1 因为 sin x 的最小值为-1,且-(sin x-2)2 的最大值为 0,要满足题意,必须 ?m-4≤-1, ? 有? 1 ?m- 1+2m+2≥0, ? 1 3 解得 m=-2或2≤m≤3. ?3 ? ? 1? 所以实数 m 的取值范围是?2,3?∪?-2?. ? ? ? ? 探究提高 m≤f(x)min. 8.(2012· 徐州一模)某地区共有 100 户农民从事蔬菜种植,据调查,每户年均收 入为 3 万元.为了调整产业结构,当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加 工.据估计,如果能动员 x(x>0)户农民从事蔬菜加工,那么剩下从事蔬菜种 植的农民每户年均收入有望提高 2x%,从事蔬菜加工的农民每户年均收入为 3x? ? 3?a-50?(a>0)万元. ? ? (1)在动员 x 户农民从事蔬菜加工后,要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不 低于动员前从事蔬菜种植的年总收入,试求 x 的取值范围; (2)在(1)的条件下,要使 100 户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高 于从事蔬菜种植农民的年总收入,试求实数 a 的最大值. 解 (1)由题意得 3(100-x)(1+2x%)≥3×100, 即 x2-50x≤0,解得 0≤x≤50, 又因为 x>0,所以 0<x≤50. 不等式恒成立问题一般要利用函数的值域,m≤f(x)恒成立,只需

3x? ? (2)从事蔬菜加工的农民的年总收入为 3?a-50?x 万元,从事蔬菜种植农民的 ? ? 3x? ? 年总收入为 3(100-x)(1+2x%)万元,根据题意,得 3?a-50?x≤3(100-x)(1 ? ? +2x%)恒成立, x2 即 ax≤100+x+25恒成立. 100 x 100 x 又 x>0,所以 a≤ x +25+1 恒成立,而 x +25+1≥5(当且仅当 x=50 时取 得等号). 所以 a 的最大值为 5.

分层训练 B 级

创新能力提升

1 1 1. x, 设 y∈R, a>1, b>1, ax=by=3, 若 a+b=2 3, x+ y的最大值为________. 则 解析 由 ax=by=3 得:x=loga3,y=logb3,由 a>1,b>1 知 x>0,y>0, 1 1 ?a+b?2 ? =1, +y =log3a+log3b=log3ab≤log3? 当且仅当 a=b= 3时“=”号 x ? 2 ? 1 1 成立,则x +y 的最大值为 1. 答案 1 a+1 c+1 2.已知二次函数 f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则 c + a 的最 小值为________. 解析 由题可得 a>0,c>0,且 Δ=22-4ac=0 即 ac=1.所以 a+c≥2 ac= 2,当且仅当 a=c=1 时取等号. a+1 c+1 ?a+1 c+1? 所以 c + a =ac×? + a ?=a2+c2+a+c=(a+c)2+(a+c)-2,当 ? c ? ?a+1 c+1? 且仅当 a=c=1 时,? + a ?min=22+2-2=4. ? c ? 答案 4 1 a 3.“a=8”是“对任意的正数 x,2x+ x ≥1”的________条件.(填“充分不必

要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一) 1 a 1 1 解析 当 a=8时,2x+ x=2x+8x≥1,当且仅当 x=4时取“=”,故充分性 a 1 成立,当 2x+ x≥1 对 x∈R+恒成立时,a≥(x-2x2)max 得 a≥8,故必要性不 成立. 答案 充分不必要 4.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月 库存货物的运费 y2 与到车站的距离成正比, 如果在距离车站 10 km 处建仓库, 这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,要使这两项费用之和最小,仓库 应建立在距离车站________km 处. k1 k1 解析 依题意,设 y1= d ,y2=k2×d,则有 2=10,8=k2×10,即有 k1=20, 4 20 4 k2=5,从而这两项费用之和为 y=y1+y2= d +5d≥2 且仅当 ?20 4 ? = d, ?d 5 ?d>0, ? 答案 5 5.(2012· 扬州调研)扬州某地区要建造一条防洪堤,其横 断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60° (如图),考虑 到防洪堤坚固性及石块用料等因素, 设计其横断面要 求面积为 9 3平方米,且高不低于 3米.记防洪堤 横断面的腰长为 x(米),外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y(米). (1)求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; (2)要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? (3)当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面 的外周长最小)?求此时外周长的值. 1 解 (1)9 3=2(AD+BC)h, x 3 其中 AD=BC+2·=BC+x,h= 2 x, 2 20 4 d ×5d=8 万元,当

即 d=5 km 时,有这两项费用之和最小.

1 3 18 x 所以 9 3=2· (2BC+x)·2 x,得 BC= x -2.

?h= 23x≥ 3, ? 由? 18 x ?BC= x -2>0, ?

得 2≤x<6.

18 3x 所以 y=BC+2x= x + 2 (2≤x<6). 18 3x (2)由 y= x + 2 ≤10.5,得 3≤x≤4. 因为[3,4]?[2,6).所以腰长 x 的范围是[3,4]. 18 3x (3)y= x + 2 ≥2 18 3x x · =6 3, 2

18 3x 当且仅当 x = 2 ,即 x=2 3∈[2,6)时等号成立. 故外周长的最小值为 6 3米,此时腰长为 2 3米. 6.(2012· 扬州调研一)某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近 建一职工宿舍,并对宿舍进行防辐射处理,建房防辐射材料的选用与宿舍到 工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用 p(万元)和宿舍与工厂的距离 x(km)的 关系为:p= k (0≤x≤8),若距离为 1 km 时,测算宿舍建造费用为 100 3x+5

万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已知购置修路设备 需 5 万元,铺设路面每公里成本为 6 万元,设 f(x)为建造宿舍与修路费用之 和. (1)求 f(x)的表达式; (2)宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用 f(x)最小,并求最小值. 解 (1)根据题意,得 100= ∴f(x)= k ,∴k=800, 3×1+5

800 +5+6x,0≤x≤8. 3x+5 800 +2(3x+5)-5≥80-5, 3x+5

(2)∵f(x)=

800 当且仅当 =2(3x+5),即 x=5 时 f(x)min=75. 3x+5

故宿舍应建在离工厂 5 km 处可使总费用 f(x)最小,且最小值为 75 万元. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计· 高考总复习》光盘中内容.


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