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【创新设计】2015高考数学二轮专题训练练习:专题5第2讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题


一、选择题 x2 y2 1.若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)与直线 y= 3x 无交点,则离心率 e 的取值范围 是( ). B.(1,2] D.(1, 5]

A.(1,2) C.(1, 5) 解析

b 因为双曲线的渐近线为 y=± ax,要使直线 y= 3x 与双曲线无交点,则

b 直线 y= 3x 应在

两渐近线之间,所以有a≤ 3,即 b≤ 3a,所以 b2≤3a2,c2 -a2≤3a2,即 c2≤4a2,e2≤4,所以 1<e≤2. 答案 B

x2 y2 2.已知椭圆 4 +b2=1(0<b<2),左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭 圆于 A,B 两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为 5,则 b 的值是( A.1 3 C.2 解析 B. 2 D. 3 由椭圆的方程,可知长半轴长为 a=2;由椭圆的定义,可知|AF2|+|BF2| ).

+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质,可知过椭圆焦 2b2 点的弦中,通径最短,即 a =3,可求得 b2=3,即 b= 3. 答案 D

x2 y2 3. 已知椭圆 4 +b2=1(0<b<2)与 y 轴交于 A, B 两点, 点 F 为该椭圆的一个焦点, 则△ABF 的面积的最大值为( A.1 C.4 解析 不妨设点 F 的坐标为( ). B.2 D.8 4-b2,0),而|AB|=2b,

-1-

1 ∴S△ABF=2×2b×

4-b =b
2

4-b =
2

b2+4-b2 b ?4-b ?≤ =2(当且仅当 b2 2
2 2

=4-b2,即 b2=2 时取等号),故△ABF 面积的最大值为 2. 答案 B

4.(2014· 四川卷)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x → → 轴的两侧,OA· OB=2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最 小值是( A.2 17 2 C. 8 解析 ). B.3 D. 10

设直线 AB 的方程为 x=ny+m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2),

→ → ∵OA· OB=2, ∴x1x2+y1y2=2.
2 又 y2 1=x1,y2=x2,∴y1y2=-2. 2 ? ?y =x, 联立? 得 y2-ny-m=0, ? ?x=ny+m,

∴y1y2=-m=-2,∴m=2,即点 M(2,0). 1 1 又 S△ABO=S△AMO+S△BMO=2|OM||y1|+2|OM||y2| 1 1 =y1-y2,S△AFO=2|OF|· |y1|=8y1, 1 ∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+8y1
-2-

9 2 =8y1+y ≥2
1

9 2 8y1· y1=3,

4 当且仅当 y1=3时,等号成立. 答案 B

二、填空题 y2 5.已知双曲线 x - 3 =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,
2

→ → 则PA1· PF2的最小值为________. 解析 → → 由已知得 A1(-1,0),F2(2,0).设 P(x,y)(x≥1),则PA1· PF2=(-1-x,

-y)· (2-x, -y)=4x2-x-5.令 f(x)=4x2-x-5, 则 f(x)在[1, +∞)上单调递增, → → 所以当 x=1 时,函数 f(x)取最小值,即PA1· PF2取最小值,最小值为-2. 答案 -2

→ → x2 y2 6.已知 A(1,2),B(-1,2),动点 P 满足AP⊥BP.若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的 渐近线与动点 P 的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是________. 解析 设 P(x,y),由题设条件,得动点 P 的轨迹为(x-1)(x+1)+(y-2)(y-2)
2 2

x2 y2 =0,即 x +(y-2) =1,它是以(0,2)为圆心,1 为半径的圆.又双曲线a2-b2= b 1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± ay=0,由题意,可得 ax,即 bx± 2a c 1,即 c >1,所以 e=a<2,又 e>1,故 1<e<2. 答案 (1,2) 2a a +b
2

2



x2 y2 x2 y2 7.若椭圆a2+b2=1(a>b>0)与双曲线a2-b2=1 的离心率分别为 e1,e2,则 e1e2 的取值范围为________. 解析 可知 e2 1=
2 2 a2-b2 b2 2 a +b b2 a2 =1-a2,e2= a2 =1+a2,

-3-

2 所以 e2 1+e2=2>2e1e2?0<e1e2<1.

答案

(0,1)

8. 直线 3x-4y+4=0 与抛物线 x2=4y 和圆 x2+(y-1)2=1 从左到右的交点依次为 AB A,B,C,D,则CD的值为________. 解析 ? ?3x-4y+4=0, 由? 得 x2-3x-4=0, 2 ? ?x =4y,

1 ∴xA=-1,xD=4,∴yA= ,yD=4. 4 直线 3x-4y+4=0 恰过抛物线的焦点 F(0,1). 5 ∴AF=yA+1=4,DF=yD+1=5, AB AF-1 1 ∴CD= = . DF-1 16 答案 1 16

三、解答题 9.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积. 解 (1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.

→ → 设 M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y). → → 由题设知CM· MP=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在圆 N 上,从而 ON ⊥PM.
-4-

1 因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为-3, 1 8 故 l 的方程为 y=-3x+3. 4 10 4 10 又|OM|=|OP|=2 2,O 到 l 的距离为 5 ,|PM|= 5 ,所以△POM 的面积 16 为5. 10. (2014· 湖北黄冈中学等八校联考)如图所示,已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦 点 F(1,0),C1 的中心和 C2 的顶点都在坐标原点,过点 M(4,0)的直线 l 与抛物线 C2 分别相交于 A,B 两点.

(1)写出抛物线 C2 的标准方程; (2)求证:以 AB 为直径的圆过原点; (3)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上,直线 l 与椭圆 C1 有公 共点,求椭圆 C1 的长轴长的最小值. (1)解 设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),

由 F(1,0),得 p=2,∴C2:y2=4x. (2)证明 可设 AB:x=4+ny,联立 y2=4x,

得 y2-4ny-16=0.
2 y2 1y2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y2=-16,x1x2= 16 =16,

→ → ∴OA· OB=x1x2+y1y2=0, 即以 AB 为直径的圆过原点. (3)解 设 P(4t2,4t),则 OP 的中点(2t2,2t)在直线 l 上,

2t2=4+2nt, ? ? ∴? 4t 得 n=± 1,又∵t<0, 2=-n, ? ?4t ∴n=1,直线 l:x=y+4.
-5-

x2 y2 设椭圆 C1:a2+ 2 =1,与直线 l:x=y+4 联立可得: a -1 (2a2-1)y2+8(a2-1)y-a4+17a2-16=0, 34 由 Δ≥0,得 a≥ 2 ,∴长轴长最小值为 34. 11.(2014· 苏、锡、常、镇四市教学情况调查)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, x2 y2 3 2 已知 A,B,C 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上不同的三点,A(3 2, 2 ),B(-3, -3),C 在第三象限,线段 BC 的中点在直线 OA 上. (1)求椭圆的标准方程;

(2)求点 C 的坐标; (3)设动点 P 在椭圆上(异于点 A,B,C)且直线 PB,PC 分别交直线 OA 于 M, → → N 两点,证明OM· ON为定值并求出该定值.



?18+ 2 =1, (1)由已知,得? a b ?a9 +b9 =1,
2 2 2 2

9

a2=27, ? ? 解得? 2 27 b =2. ? ?

x2 y2 所以椭圆的标准方程为27+27=1. 2 (2)设点 C(m,n)(m<0,n<0), ?m-3 n-3? 则 BC 中点为? , 2 ?. ? 2 ? 由已知,求得直线 OA 的方程为 x-2y=0, 从而 m=2n-3.① 又∵点 C 的椭圆上,∴m2+2n2=27.② 由①②,解得 n=3(舍),n=-1,从而 m=-5. 所以点 C 的坐标为(-5,-1).
-6-

(3)设 P(x0,y0),M(2y1,y1),N(2y2,y2). ∵P,B,M 三点共线,∴ ∵P,C,N 三点共线,∴ y1+3 y0+3 3?y0-x0? = ,整理,得 y1= . 2y1+3 x0+3 x0-2y0-3

y2+1 y0+1 5y0-x0 = ,整理,得 y2= . 2y2+5 x0+5 x0-2y0+3

2 2 2 ∵点 P 在椭圆上,∴x2 0+2y0=27,x0=27-2y0. 2 3?x2 3?3y2 0+5y0-6x0y0? 0-6x0y0+27? 从而 y1y2= 2 = 2 2 x0+4y0-4x0y0-9 2y0-4x0y0+18

→ → 3 9 45 =3× = .所以OM· ON=5y1y2= . 2 2 2 → → 45 ∴OM· ON为定值,定值为 2 .

-7-


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