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2008年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)


2008 年深圳市高三年级第一次调研考试·数学

2008 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)
一、 符合要求的. 1. 设全集 U ? {0 ,1, 2 , 3 , 4} ,集合 A ? {0 ,1, 2} ,集合 B ? {2 , 3} ,则 (? A) ? B ? ( U A. ? C. {0 ,1, 2 , 3 , 4} 2. 复数

z1 ? 3 ? i , z2 ? 1 ? i ,则复数 A.第一象限 B. {1, 2 , 3 , 4} D. {2 , 3 , 4} ) 2008.3

选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个备选项中,有且只有一项是

z1 在复平面内对应的点位于 z2
C.第三象限

( D.第四象限



B.第二象限

3. 如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么 这个几何体的全面积为 A. π B. 2π C. 3π D. 4π
主视图 左视图





3 2

俯视图

4. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 3 ,则 f (?2) ? A. 1 B.





1 4

C. ?1

D. ?

11 4

5. 已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,它的第 1、5、17 项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是 ( A. 4 6. 函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A. (0 , 1) B. 3 C. 2 ) D.

1 2
( )

2 的零点所在的大致区间是 x B. (1 , 2) C. (2 , e)

D. (3 , 4)

7. 为调查深圳市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间 X (单位:分钟) ,按锻炼时间分下列四种情况统计: ①0~10 分钟;②11~20 分钟;③21~30 分钟;④30 分钟以上.有 10000 名中学生参加了此项活动,下 图是此次调查中某一项的流程图,其输出的结果是 6200,则平均每天参加体育锻炼时间在 0~20 分钟内的 学生的频率是 A.3800 ( ) C. 0.38
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B.6200

D. 0.62

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开始

S ?0

T ?1
输入 X

X ? 20 S ? S ?1

T ? T ?1

T ? 10000

输出 S

结束

8. 如图,已知 A(4 , 0) 、 B (0 , 4) ,从点 P (2 , 0) 射出的光线经直线 AB 反向后再射到直线 OB 上,最后经直线
OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是



) D. 2 5

A. 2 10

B. 6

C. 3 3

二、

填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 13~15 小题是选做题,考生只能选做两题,

若三题全答,则只计算前两题得分. 9. 在 ?ABC 中, a 、 b 分别为角 A 、 B 的对边,若 B ? 60? , C ? 75? , a ? 8 ,则边 b 的长等于 .

10. 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试,由于其中两所学校的考试时间相同, 因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数是 . (用数字作答)
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11. 在 Rt?ABC 中,两直角边分别为 a 、 b ,设 h 为斜边上的高,则

1 1 1 ? 2 ? 2 ,由此类比:三棱锥 S ? ABC 2 h a b 中的三条侧棱 SA 、 SB 、 SC 两两垂直,且长度分别为 a 、 b 、 c ,设棱锥底面 ABC 上的高为 h ,
则 .

12. 已知定义在区间 [0 , 1] 上的函数 y ? f ( x) 的图像如图所示,对于满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 的任意 x1 、 x 2 ,给出下 列结论: ①

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ;

② x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ; ③

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2

?x ?x ? f ? 1 2 ?. ? 2 ?
. (把所有正确结论的序号都填上) ,它与方程 ? ?

其中正确结论的序号是

13. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ? ? 2cos? 的圆心的极坐标是 ( ? ? 0 )所表示的图形的交点的极坐标是 .

π 4

14. (不等式选讲选做题)已知点 P 是边长为 2 3 的等边三角形内一点,它到三边的距离分别为 x 、 y 、 z , 则 x 、 y 、 z 所满足的关系式为 , x2 ? y 2 ? z 2 的最小值是 .

15. (几何证明选讲选做题)如图, PT 是 ? O 的切线,切点为 T ,直线 PA 与 ? O 交于 A 、 B 两点, ?TPA 的

PB 平分线分别交直线 TA 、 于 D 、 两点, 已知 PT ? 2 , ? 3 , PA ? 则 TB E
T D E P A B



TE ? AD



三、

解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (1 ? sin 2x , sin x ? cos x) , b ? (1, sin x ? cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值; (Ⅱ)若 f (? ) ?

?

?

? ?

8 ?π ? ,求 cos 2 ? ? 2? ? 的值. 5 ?4 ?

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17. (本小题满分 12 分) 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在 下落的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右 两边下落的概率都是

1 . 2 (Ⅰ)求小球落入 A 袋中的概率 P ( A) ;
(Ⅱ)在容器入口处依次放入 4 个小球,记 ? 为落入 A 袋中的小球个数,试求 ? ? 3 的概率和 ? 的数学期

望 E? .

D

C

M A B

E

18. (本小题满分 14 分) 如图所示的几何体 ABCDE 中, DA ? 平面 EAB , CB ∥ DA , EA ? DA ? AB ? 2CB ,

EA ? AB , M 是 EC 的中点.
(Ⅰ)求证: DM ? EB ; (Ⅱ)求二面角 M ? BD ? A 的余弦值.

19. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,已知点 A(2 , 0) 、 B(?2 , 0) , P 是平面内一动点,直线 PA 、

3 PB 的斜率之积为 ? . 4 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程;
?1 ? (Ⅱ)过点 ? , 0 ? 作直线 l 与轨迹 C 交于 E 、 F 两点,线段 EF 的中点为 M ,求直线 MA 的斜率 k 的 ?2 ?
取值范围.
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20. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

1 2 7 ,直线 l 与函数 f ( x) 、 g ( x) 的图像都 x ? mx ? ( m ? 0 ) 2 2

相切,且与函数 f ( x) 的图像的切点的横坐标为 1. (Ⅰ)求直线 l 的方程及 m 的值; (Ⅱ)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) (其中 g ?( x) 是 g ( x) 的导函数) ,求函数 h( x) 的最大值; (Ⅲ)当 0 ? b ? a 时,求证: f (a ? b) ? f (2a) ?

b?a . 2a

21. (本小题满分 14 分) 如图, P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 、?、 Pn ( xn , yn ) ( 0 ? y1 ? y2 ? ? ? yn )是曲线 C : y 2 ? 3x 1 ( y ? 0 )上的 n 个点,点 Ai (ai , 0) ( i ? 1, 2 , 3 , ? , n )在 x 轴的正半轴上,且 ?Ai ?1 Ai Pi 是正三角形( A0 是坐 标原点) . (Ⅰ)写出 a1 、 a2 、 a 3 ; (Ⅱ)求出点 An (an , 0) ( n ?N? )的横坐标 an 关于 n 的表达式; (Ⅲ)设 bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ] ,若对任意的正整数 n ,当 m?[?1,1 时,不等式 t 2 ? 2mt ? ? bn an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n 6

恒成立,求实数 t 的取值范围.

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2008 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)参考答案
一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个备选项中,有且只有一项是符 合要求的. 题号 答案 二、 1 D 2 A 3 A 4 C 5 B 6 B 7 C 8 A

填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 13~15 小题是选做题,考生只能选做两题,

若三题全答,则只计算前两题得分. 9. 4 6 10. 16 11.

1 1 1 1 ? 2? 2? 2 2 h a b c

12.②③

π? ? 13. (1 , 0) , ? 2 , ? 4? ?
15.

14. x ? y ? z ? 3 , 3

4 3 3, 2 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 解: (Ⅰ)因为 a ? (1 ? sin 2x , sin x ? cos x) , b ? (1, sin x ? cos x) ,所以

?

?

f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos2 x
π? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 . 4? ?
因此,当 2 x ?

π π 3 ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? π ( k ? Z )时, f ( x) 取得最大值 2 ? 1 ; 4 2 8 3 8 (Ⅱ)由 f (? ) ? 1 ? sin 2? ? cos 2? 及 f (? ) ? 得 sin 2? ? cos2? ? ,两边平方得 5 5 9 16 1 ? sin 4? ? ,即 sin 4? ? . 25 25

16 ?π ? ?π ? 因此, cos 2 ? ? 2? ? ? cos ? ? 4? ? ? sin 4? ? . 25 ?4 ? ?2 ?
17. 解: (Ⅰ)记“小球落入 A 袋中”为事件 A , “小球落入 B 袋中”为事件 B ,则事件 A 的对立事件为 B ,而 小球落入 B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故

?1? ?1? 1 P( B) ? ? ? ? ? ? ? , ?2? ?2? 4
从而 P( A) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

3

3

1 3 ? ; 4 4
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? 3? (Ⅱ)显然,随机变量 ? ? B ? 4 , ? ,故 ? 4?
? 3 ? 1 27 3 , P(? ? 3) ? C4 ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 64
3

3 E? ? 4 ? ? 3 . 4
18. 解: 建立如图所示的空间直角坐标系, 并设 EA ? DA ? AB ? 2CB ? 2 ,则

???? ? ? ? 3 ? ??? (Ⅰ) DM ? ?1,1, ? ? , EB ? (?2 , 2 , 0) , 2? ?
???? ??? ? ? 所以 DM ? EB ? 0 ,从而得

DM ? EB ; ?? ? (Ⅱ)设 n1 ? ( x , y , z ) 是平面 BDM 的
法向量,则由 n1 ? DM , n1 ? DB 及

?? ?

???? ?

?? ?

??? ?

???? ? ? ? 3 ? ??? DM ? ?1,1, ? ? , DB ? (0 , 2 , ? 2) 2? ?


? ? 3 ? ?? ???? ?? ? ?n1 ? DM ? x ? y ? z ? 0 2 ? 可以取 n1 ? (1, 2 , 2) . ? ?? ??? ? ? ?n ? DB ? 2 y ? 2 z ? 0 ? 1
显然, n2 ? (1, 0 , 0) 为平面 ABD 的法向量. 设二面角 M ? BD ? A 的平面角为 ? ,则此二面角的余弦值

?? ?

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? | n1 ? n2 | 1 ? ? cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ?? ?? ? . | n1 | ? | n2 | 3
19. 解: (Ⅰ)依题意,有 kPA ? kPB ?

y y 3 ,化简得 ? ? ? ( x ? ?2 ) x?2 x?2 4 x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?2 ) , 4 3

这就是动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)依题意,可设 M ( x , y ) 、 E ( x ? m , y ? n) 、 F ( x ? m , y ? n) ,则有

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? ( x ? m)2 ( y ? n)2 ? ?1 ? ? 4 3 , ? 2 2 ? ( x ? m) ? ( y ? n) ? 1 ? 4 3 ?
两式相减,得

4mx 4n n 3x y ? 0 ,由此得点 M 的轨迹方程为 ? ? 0 ? kEF ? ? ? ? 4 3 m 4y x ? 1 2
. 6 x 2 ? 8 y 2 ? 3x ? 0 ( x ? 0 )

设直线 MA : x ? my ? 2 (其中 m ?

1 ) ,则 k

? x ? my ? 2 ? (6m2 ? 8) y 2 ? 21my ? 18 ? 0 , ? 2 6 x ? 8 y 2 ? 3x ? 0 ?
故由 ? ? (21m)2 ? 72(6m2 ? 8) ? 0 ?| m |? 8 ,即

1 ? 1 1? ? 8 ,解之得 k 的取值范围是 ? ? , ? . k ? 8 8?

20. 解: (Ⅰ)依题意知:直线 l 是函数 f ( x) ? ln x 在点 (1 , 0) 处的切线,故其斜率

1 k ? f ?(1) ? ? 1, 1
所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 . 又因为直线 l 与 g ( x) 的图像相切,所以由

? y ? x ?1 1 2 9 ? ? 1 2 7 ? x ? (m ? 1) x ? ? 0 , 2 2 ? y ? 2 x ? mx ? 2 ?
得 ? ? (m ? 1)2 ? 9 ? 0 ? m ? ?2 ( m ? 4 不合题意,舍去) ; (Ⅱ)因为 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) ? ln( x ? 1) ? x ? 2 ( x ? ?1 ) ,所以

h?( x) ?

1 ?x . ?1 ? x ?1 x ?1

当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, h?( x) ? 0 . 因此, h( x) 在 (?1, 0) 上单调递增,在 (0 , ? ?) 上单调递减. 因此,当 x ? 0 时, h( x) 取得最大值 h(0) ? 2 ; (Ⅲ)当 0 ? b ? a 时, ?1 ?

b?a ? 0 .由(Ⅱ)知:当 ?1 ? x ? 0 时, h( x) ? 2 ,即 ln(1 ? x) ? x .因此,有 2a
a?b ? b?a? b?a ? ln ?1 ? . ?? 2a 2a ? 2a ?

f (a ? b) ? f (2a) ? ln

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21. 解: (Ⅰ) a1 ? 2 , a2 ? 6 , a3 ? 12 ; (Ⅱ)依题意,得 xn ?

an?1 ? an a ? an?1 2 , yn ? 3 ? n ,由此及 yn ? 3xn 得 2 2
an ? an?1 ? 3 ? ? 3? ? ? 2 (an?1 ? an ) , 2 ? ?
2

即 (an ? an?1 )2 ? 2(an?1 ? an ) . 由(Ⅰ)可猜想: an ? n(n ? 1) ( n ? N? ) . 下面用数学归纳法予以证明: (1)当 n ? 1 时,命题显然成立; (2)假定当 n ? k 时命题成立,即有 an ? k (k ? 1) ,则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设及

(ak ?1 ? ak )2 ? 2(ak ? ak ?1 )
得 [ak ?1 ? k (k ? 1)]2 ? 2[k (k ? 1) ? ak ?1 ] ,即

(ak ?1 )2 ? 2(k 2 ? k ? 1)ak ?1 ? [k (k ? 1)] ? [(k ? 1)(k ? 2)] ? 0 ,
解之得 , ak ?1 ? (k ? 1)(k ? 2) ( ak ?1 ? k (k ? 1) ? ak 不合题意,舍去) 即当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1)(2)知:命题成立. 、 (Ⅲ) bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ??? an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n (n ? 1)(n ? 2) (n ? 2)(n ? 3) 2n(2n ? 1)

1 1 n 1 . ? ? 2 ? 1? n ? 1 2n ? 1 2n ? 3n ? 1 ? ? 2n ? ? ? 3 n? ? 1 1 令 f ( x) ? 2 x ? ( x ? 1 ) 则 f ?( x) ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 0 , , 所以 f ( x) 在 [1 , ? ? ) 上是增函数, 故当 x ? 1 时,f ( x) x x 1 取得最小值 3 ,即当 n ? 1 时, (bn )max ? . 6 1 t 2 ? 2mt ? ? bn ( ?n ?N? , ?m ?[?1,1] ) 6 1 1 ? t 2 ? 2mt ? ? (bn )max ? ,即 t 2 ? 2mt ? 0 ( ?m ?[?1,1] ) 6 6 ?
?t 2 ? 2t ? 0 ? .解之得,实数 t 的取值范围为 (?? , ? 2) ? (2 , ? ?) . ?? 2 ?t ? 2t ? 0 ?
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