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函数的图像及其变换(二)对称


苏州市学案函数图像的对称变换
一、课前准备: 【自主梳理】 1. (1)函数 y ? f ( ? x ) 与 y ? f ( x) 的图像关于 (2)函数 y ? ? f ( x ) 与 y ? f ( x) 的图像关于 (3)函数 y ? ? f ( ? x ) 与 y ? f ( x) 的图像关于 2.奇函数的图像关于 对称,偶函数图像关于 对称; 对称; 对称.

对称.

3. (1)若对于函数 y ? f ( x) 定义域内的任意 x 都有 f (a ? x) ? f (b ? x) ,则 y ? f ( x) 的图像 关于直线 对称.

(2) 若对于函数 y ? f ( x) 定义域内的任意 x 都有 f (a ? x ) ? 2b ? f (a ? x ) , 则 y ? f ( x) 的 图像关于点 对称. 对称. 为轴翻折到

x 4.对 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 y ? a 和函数 y ? loga x 的图象关于直线

5. 要得到 y ? f ( x) 的图像, 可将 y ? f ( x) 的图像在 x 轴下方的部分以

x 轴上方,其余部分不变.
6.要得到 y ? f ( x ) 的图像,可将 y ? f ( x) , x ??0, ??? 的部分作出,再利用偶函数的图像 关于 【自我检测】 1.函数 f ( x) ? 2 x 的图象关于
3

的对称性,作出 x ? ? ??,0? 时的图像.

对称. 对称.

2.在同一坐标系中,函数 y ? log3 x 与 y ? log 1 x 的图象关于
3

3.函数 y ? ?e 的图象与函数
x

的图象关于坐标原点对称.

4.将函数 f ( x) ? 2

x ?1

的图象向右平移一个单位得曲线 C ,曲线 C ? 与曲线 C 关于直线 y ? x 对 .

称,则 C ? 的解析式为

5.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,则函数 y ? f ( x ? 1) 与 y ? f (1 ? x ) 的图像的关系为关 于 对称. 6. 若函数 f ( x ) 对一切实数 x 都有 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) , 且方程 f ( x ) ? 0 恰好有四个不同实根, 求这些实根之和为 .

二、课堂活动: 【例 1】填空题: (1)对于函数 y ? f ( x) , x ? R , “ y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称”是“ y ? f ( x) 是奇函数” 的 .

(2)对于定义在 R 上的函数 f ( x ) ,有下列命题,其中正确的序号为



① 若 函 数 f ( x ) 是 奇 函 数 , 则 f ( x ? 1) 的 图 象 关 于 点 A(1,0) 对 称 ; ② 若 对 x ? R , 有

f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,则 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称;③若函数 f ( x ? 1) 的图象关于
直线 x ? 1 对称,则函数 f ( x ) 是偶函数;④函数 y ? f ( x ? 1) 与函数 y ? f (1 ? x ) 的图象关于 直线 x ? 1 对称. (3) 将曲线 y ? lg x 向左平移 1 个单位, 再向下平移 2 个单位得到曲线 C . 如果曲线 C ? 与 C 关 于原点对称,则曲线 C ? 所对应的函数式是 .

x ( 4 )当 a ? 1 时,已知 x1 , x2 分别是方程 x ? a ? ?1 和 x ? loga x ? ?1 解,则 x1 ? x2 的值




x

?1? 【例 2】作出下列函数的图象: (1) y ? log 1 ( ? x) ; (2) y ? ? ? ? ; ?2? 2
2 (3) y ? log2 x ; (4) y ? x ? 1 .

【例 3】 (1)将函数 y ? log 1 x 的图象沿 x 轴向右平移 1 个单位,得图象 C ,图象 C ? 与 C 关于
2

原点对称,图象 C ?? 与 C ? 关于直线 y ? x 对称,求 C ?? 对应的函数解析式; (2)已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,并且满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) . ①证明函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 2 对称; ②若 f ( x ) 又是偶函数,且 x ? ?0,2? 时, f ( x ) ? 2 x ? 1 ,求 x ? ? ?4,0? 时 f ( x ) 的表达式.

课堂小结

三、课后作业 1.函数 y ? ( x ? 1)3 ? 1 的对称中心是 . .

2.如果函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? 3 ? 2 x 的图象关于坐标原点对称,则 f ( x ) ? 3.设 f ( x) ? 3
x ?a

,若要使 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称,则 a ?



4.已知函数 f ( x) ? a sin 2 x ? cos2 x (a ? R) 图象的一条对称轴方程为 x ?

?
12

,则 a ?



5.已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c , f (0) ? 3 ,且 f (1 ? x ) ? f (1 ? x) ,则 f (b x ) 与 f (c x ) 的大 小关系为 . . .

3x ? 2 6.函数 y ? ? 在 ? ??, a ? 上单调递减,则实数 a 的范围为 x ?1
7.若函数 y ? f ( x) 的图象过点 ?1,1? ,则 f (4 ? x ) 的图象一定过点 8 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 的 图 象 关 于 点 ? ?

? 3 ? ,0 ? 成 中 心 对 称 , 对 任 意 实 数 x 都 有 ? 4 ?

f ( x ) ? f ( x?

3 )? 0 且 f ( ?1) ? 1 , f (0) ? ?2 ,则 2


f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2009) ?

9.设函数 f ( x) ? sin(

?x ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . 4 6 8

(1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最 大值.

4 3

10.设曲线 C 的方程是 y ? x3 ? x ,将 C 沿 x 轴、 y 轴正方向分别平移 t 、 s (t ? 0) 个单位长 度后得到曲线 C1 . (1)写出曲线 C1 的方程; (2)证明曲线 C 与 C1 关于点 A( , ) 对称; (3)如果曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,证明: s ? .

t s 2 2

t3 ?t. 4

四、纠错分析 题 号 错 题 卡 错 题 原 因 分 析

参考答案 【自我检测】 1.原点 2. x 轴 3. y ? e ? x 4. y ? log2 x 5.直线 x ? 1 6.8

【例 1】 (1)必要不充分条件 (3) y ? ? lg( ? x ? 1) ? 2

(2)①③ (4) ? 1

【例 2】 (1)作 y ? log 1 x 的图象关于 y 轴的对称图形.
2

?1? (2)作 y ? ? ? 的图象关于 x 轴的对称图形. ?2?
(3)作 y ? log 2 x 的图象及它关于 y 轴的对称图形. (4)作 y ? x 2 ? 1 的图形,并将 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方. (图略) 【例 3】 (1) y ? ?2x ? 1 (2)①证明:设 P ? x0 , y0 ? 是函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点,则 y0 ? f ( x0 ) . 点 P 关于直线 x ? 2 的对称点 P? 的坐标应为 ? 4 ? x0 , y0 ? . ∵ f (4 ? x0 ) ? f ?2 ? (2 ? x0 )? ? f ?2 ? (2 ? x0 )? ? f ( x0 ) ? y0 . ∴点 P? 也在函数 y ? f ( x) 的图象上. ∴函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 2 对称. ② 解 析 : 由 f ( x ) ? 2 x ? 1 , x ? ?0,2? 及 f ( x ) 为 偶 函 数 , 得 f ( x) ? f (? x ) ? ? 2 x ? 1 ,

x

x ? ? ?2,0? ;当 x ? ?2,4? 时,由 f ( x ) 图象关于 x ? 2 对称,用 4 ? x 代入 f ( x) ? 2 x ? 1 ,
得 f (4 ? x) ? f ( x) ? 2 ? 4 ? x ? ? 1 ? ?2 x ? 7 , x ? ? 2,4? ,再由 f ( x ) 为偶函数, 得 f ( x ) ? 2 x ? 7 , x ? ? ?4, ?2? .故 f ( x ) ? ? 课后作业: 1. ? ?1,1? 2. ?2 x ? 3 3.0 4.

? ?2 x ? 7 , x ? ? ?4, ?2? . ? ? ?2 x ? 1 , x ? ? ?2,0?

3 3

5. f (b x ) ≤ f (c x ) 9.解: (1) f ( x ) = sin

6. ? ??, ?1?

7. ? 3,1?

8.0

?
4

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x

=

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

?

x? ) 4 3

?

故 f ( x ) 的最小正周期为 T =

2?

? 4

=8.

(2)在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ (2 ? x) ? ] 4 3
= 3 sin[

?

?

?

2

?

?

x? ) 4 3 3 ? ? ? 2? 4 当 0 ? x ? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 4 3 4 3 3 3
= 3 cos(

?

x? ] 4 3

?

?

? 3 . gm a ? 3 c o s? x 3 2
10.解: (1)曲线 C1 的方程为 y ? ( x ? t ) ? ( x ? t ) ? s ;
3

(2)证明:在曲线 C 上任意取一点 B1 ( x1 , y1 ) ,设 B2 ( x2 , y2 ) 是 B1 关于点 A 的对称点,

x1 ? x2 t y1 ? y2 s ? , ? ,∴ x1 ? t ? x2 , y1 ? s ? y2 代入曲线 C 的方程, 2 2 2 2 3 得 x2 , y2 的方程: s ? y2 ? (t ? x2 ) ? (t ? x2 )
则有 即 y2 ? ( x2 ? t ) ? ( x2 ? t ) ? s ,可知点 B2 ( x2 , y2 ) 在曲线 C1 上.
3

反过来,同样证明,在曲线 C1 上的点 A 的对称点在曲线 C 上. 因此,曲线 C 与 C1 关于点 A 对称. (3)证明:因为曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,

? y ? x3 ? x ? ∴方程组 ? 有且仅有一组解, 3 ? ? y ? (x ? t) ? (x ? t) ? s
消去 y , 整理得 3tx ? 3t x ? (t ? t ? s) ? 0 , 这个关于 x 的一元二次方程有且仅有一个根,
2 2 3

∴ ? ? 9t 4 ?12t (t 3 ? t ? s) ? 0 ,即得 t (t 3 ? 4t ? 4s) ? 0 , 因为 t ? 0 ,所以 s ?

t3 ?t . 4


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