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第1课时 双曲线的简单性质


3.2 双曲线的简单性质
第1课时 双曲线的简单性质

标准方程 范围 对称性 顶点 离心率

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b (a ? b ? 0)

?a ? x ? a

y
B2 (0,b) (a,0) A2 F1 (-c,0)

?b ? y

? b
对称轴:坐标轴

(-a,0) 对称中心:原点 A1

o

(c,0) F2

x

A1,A2,B1,B2
c 0 ? e ? ?1 a

B1 (0,-b)

有一首歌,名字叫做《悲伤双曲线》,歌词如下:如果
我是双曲线,你就是那渐近线.如果我是反比例函数,你 就是那坐标轴.虽然我们有缘,能够生在同一个平面.然 而我们又无缘,漫漫长路无交点.为何看不见,等式成立 要条件.难道正如书上说的,无限接近不能达到?为何

看不见,明月也有阴晴圆缺,此事古难全,但愿千里共婵
娟. 这是一首情歌,有意思的是其歌词形象地利用了双 曲线中的简单几何性质.双曲线到底有哪些迷人的几何 性质,让我们一起来探讨吧!

1.会根据双曲线的标准方程研究双曲线的范围、对 称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质. (重点,难点) 2.能根据双曲线的标准方程求双曲线的几何性质. (重点)

类比椭圆几何性质的研究方法,我们根据双曲线
2 2 x y 的标准方程 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 得出双曲线的范围、 a b

对称性、顶点等几何性质?

一、范围
y
B2

y

A1

F1 O

F2 A2

x

F1

A1 A2 O F2

x

B1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? b ? 0)

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

(a ? 0, b ? 0)

? a ? x ? a , ?b ? y ? b

x2 y2 2 2 ?xR? a ? 1 ? 2 ?x 1,? xa ? a ,y 即 x 2 ? ? a或 a b

二、对称性
y
B2
A1 A2 O F2

y

A1

F1 O B1

F2 A2

x

F1

x

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? b ? 0)

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

(a ? 0, b ? 0)

对称轴: x轴、y轴. 对称中心: 原点 (椭圆 的中心)

用-y代替y, 方程不变 对称轴: x轴、y轴. 用-x 代替x, 方程不变 对称中心 : 原点(双 用-x 、-y代替x、y, 方程不变 曲线的中心)

三、顶点 y
B2
B2

y

A1

F1 O B1

F2

A2

x

F1 A1

O B1

A2 F2

x

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

(a ? b ? 0)

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

(a ? 0, b ? 0)

顶点 : A1(-a,0), A2(a,0) B1 ( 0,-b), B2( 0 ,b) 长轴 A1A2,短轴 B1B2 长轴长 =2a , 短轴长=2b 长半轴长 = a , 短半轴长= b

2 2 令 x ? 0 得 y ? ? b 实轴 : A1A2 虚轴 : B1B2

顶点 : A1(-a,0), A2(a,0) 2 2 令y 设 ?0 得 x ? a 即 x ?b ? B (0, ? b ), B )a 1 2 (0,

实轴长 =2a 虚轴长=2b 实半轴长 = a 虚半轴长= b

四、离心率
y
B2
F1 A1

y

B2

A1

F1 O B1

F2 A2

x

O B1

A2 F2

x

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

(a ? b ? 0)

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

(a ? 0, b ? 0)

c c 离心率:e ? (0 ? e ? 1) 离心率:e ? (e ? 1) a a

(1)等轴双曲线的离心率e= ?2

离心率e ? 2的双曲线是等轴双曲线,

c , c 2 ? a 2 ? b2 , (2) e ? a 在a,b,c,e四个参数中,知二可求二
根据以上几何性质能够较准确地画出椭圆的图形 y B2
A1 F1 O B1 F2

A2

x

思考:根据以上几何性质能否较准

确地画出双曲线的图形呢? y
C3

C2

C 1 O x

五、渐近线
思考: 双曲线向远处伸展时有什么规律?

1 y? x
y

b y ? ? x. a

1 y?? x

y

y?

b x. a

O

x

O
x

思考: 双曲线向远处伸展时有什么规律?

x2 y 2 因为 2 ? 2 ? 1, a b
2 b 2 b a 所以y ? ? x ? a2 ? ? x 1 ? 2 . a a x

a2 b a2 当x ? ?时, 2 ? 0, y ? ? x 1 ? 2 x a x b 与直线y ? ? x无限接近. a

b 猜想y ? ? x为双曲线的渐近线. a

设M ( x0 , y0 )为第一象限内双曲线 x2 y 2 b y ? ? x. ? 2 ? 1上的任一点,则 2 a a b b b 2 2 y0 ? x0 ? a .M 到直线y ? x a a 的距离为
MQ ? bx0 ? ay0 a ?b
2 2

y
B2

b y ? x. a
M
A2 F 2

?

bx0 ? b x0 2 ? a 2 c

F 1 A1

O B1

x

2 b b a ? ( x0 ? x0 2 ? a 2 ) ? c c x0 ? x0 2 ? a 2

则点M向远处运动,x0随着增大, MQ 就逐渐减小, b M 点就无限接近于直线y ? x. a

b y ? ? x. a

y
B2

b y ? x. a
M
A2 F 2

1.由等式c 2 ? a 2 ? b 2 , 可得 b c2 ? a2 c2 ? ? 2 ? 1 ? e 2 ? 1. a a a
b 因此e越大, 也越大, a
F1 A1

O B1

x

这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔. 由此可知, 双曲线的离心率越大, 它的开口就越大.
2.等轴双曲线x2 ? y 2 ? m(m ? 0)的渐近线为y ? ? x.

双 曲 线

性 质 图像

范围

对称 性

顶点

渐近 线

离心 率

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) y 2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

x?a

x ? ?a
y?a




y ? ?a

b 关于 (? a, 0) y ? ? x e ? c 坐标 a a 轴和 原点 其中 2 2 2 都对 c ? a ? b a 称 (0, ? a) y ? ? x b

x y ? ? 1的实轴长、虚轴长、 例1:求双曲线 4 3
焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程.
解:由题意可得 虚轴长: 2b ? 2 3, 实轴长:2a=4, 焦点坐标: (? 7,0),( 7,0). 顶点坐标: (-2,0),(2,0).

2

2

离心率: e ? c ? 7 ,
3 渐近线方程: y ? ? x. 2
a 2

【变式练习】

求双曲线16x2-9y2=-144的实轴长、虚轴长、焦点
坐标、离心率、顶点坐标. 解析:把方程16x2-9y2=-144化为标准方程得 由此可知,实轴长2a=8,
y2 x 2 - 2 =, 1 2 4 3

虚轴长2b=6,c= a 2+b 2=5. 焦点坐标为(0,-5),(0,5);
离心率e=c = 5 ; 顶点坐标为(0,-4),(0,4).
a 4

1.双曲线 A.
2 y?? x 3

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为( 4 9

C )

B.

4 y?? x 9

C.

3 y?? x 2

D.

9 y?? x 4

x2 y 2 2.如果双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线互相垂 a b

2 直,则双曲线的离心率为_______

3.双曲线x2+ky2=1的离心率为2,则实数k的值为( B ) A.-3 B.- 1 C.3 D. 1 3 3 2 【解析】双曲线方程可化为 x 2 ? y ? 1, 则a2=1,
?
2 1 c b b 2 ? ? , 又离心率e ? ? 1 ? 2 , k a a

1 k

1 1 ? 1 ? ? 2,? k ? ? . k 3

4.中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线 的标准方程为( B )

A.
C.

x2 y 2 ? ?1 25 9
x2 y2 ? ?1 100 64

B. D.

x2 y 2 y 2 x2 ? ?1或 ? ?1 25 9 25 9
y 2 x2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 或 100 64 100 64

5.双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的2倍,则m
1 4 的值为________. ?

x2 y2 6.(2011·山东高考)已知双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b> a b 2 2 x y 0)和椭圆 ? =1有相同的焦点,且双曲线的离心率 16 9 x 2 y2 ? ?1 是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________. 4 3

【解析】由题意知双曲线的焦点为((
7

7

,0)、

,0),即c=
7 4

7

,又因为双曲线的离心率

为2

,所以a=2,故b2=3, 双曲线的方程为

x 2 y2 ? ? 1. 4 3

双曲线的几何性质

标准方 程

x y ? ?1 2 2 a b (a>0,b ? 0)

2

2

y2 x 2 ? 2 ?1 2 a b (a>0,b>0)

性 图形 质 焦点
F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)

焦距 范围 对称性 顶点 轴 离心率

|F1F2|=2c x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)

性 质

实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:

2b;实半轴长:a,虚半轴长:b
c e ? ? (1, ??) a b y?? x a a y?? x b

渐近线

一个人能走多远,要看他有谁同行;

一个人有多优秀,要看他有谁指点;
一个人有多成功,要看他有谁相伴。


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