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江苏省宿迁市2013-2014学年高一下学期期末模拟数学试题


宿迁市 2013-2014 学年度第二学期期末模拟试卷(一) 高一数学
一、填空题,每小题 5 分,共计 70 分.
1. sin 54? cos 9? ? cos 126 ? sin 171 ? ?

2 2

x ?1 ? 0 的解集是___ ?? ?,?3? ? ?1,??? __________. x?3 2 1

3. 已知数列{ an }的通项公式为 an ? 2 ,那么 是它的第_ n ?n 10
2. 不等式 4.已知等差数列 {an } 中, a4 ? 2, a6 ? 6 , S n 是其前 n 项和,则 S 9 ? 5.在 ?ABC 中, A ? 30o , B ? 120o , b ? 12,则 c ?

4

__项. 36

4 3
4

6.在 1 和 256 中间插入 3 个正数,使这 5 个数成等比数列,则公比为 7. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 sin B ?

a2 ? c2 ? b2 ,则角 B 的大小是 2ac

? 4



8.已知球的内接正方体的棱长为 1,则该球的表面积为
2

3?

9. 已知 tan? , tan ? 是方程 x ? x ? 6 ? 0 的两个根,则 tan?? ? ? ? ?

1 7
(填

10.若 l , m, n 是三条互不相同的空间直线,? , ? 是两个不重合的平面,则下列命题中为真命题的是 ④ 所有正确答案的序号). ①若 ? // ? , l ? ? , n ? ? , 则 l // n ; ③若 l ? n, m ? n, 则 l // m ; ②若 ? ? ? , l ? ? , 则 l ? ? ; ④若 l ? ? , l // ? , 则 ? ? ?

11.已知 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 3 cos 2 x ? m ? 1, 则实数 m 的取值范围为
2 2

??

5, 5

?

12. 已知集合 A ? {x | x ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {x | ax ? bx ? c ? 0, a, b, c ? R, ac ? 0} , 若 A ? B ? ?3,4?, A ? B ? R ,则

b2 a ? 的最小值是 a c2

3 2

13. 若 A,B, C ? (0, ) ,且 sinA-sinC=sinB,cosA+cosC=cosB,则 B-A= 2 14.已知数列 ?an ? 满足: a n ?1 ? ?

?

? 4



1 3 1 a n ? n ? N ? , a1 ? 4, S n 是其前 n 项和.则满足不等式 S n ? n ? 2 ? 2 2 2014
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?

?

的最小正整数 n 的值为

12

二、解答题,本大题共 6 小题,共计 90 分,每题必须写出相应的解题过程或必要的解题步骤.

15. (本题满分 14 分) 已知 sin ? ?

4 ? 5 ? , cos ?? ? ? ? ? , 5 5 2
5? ? 2? ) 的值; 6

? ? ? ? ?.

(1) 求 cos(

(2) 求 sin ? 的值. 解(1) ?

3 3?4 ; 10

(2)

?2 5 25

16. (本题满分 14 分) 如图,在四面体 ABCD 中, CB ? CD , AD ? BD ,点 E , F 分别是 AB , BD 的中点. (1) EF∥平面 ACD; (2)求证:平面 EFC ⊥平面 BCD ; (3)若平面 ABD ⊥平面 BCD ,且 AD ? BD ? BC ? 1 ,求三棱锥 B ? ADC 的体积.

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17. (本题满分 14 分) 已知锐角 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 3a ? 2c sin A . (1) 求角 C 的大小; (2)若 c ? 解(1) C ?

7 ,且 S ?ABC ?

3 3 ,求 a ? b 的值. 2

?
3

?3 3 1 1 ? 3 ? ab ? ? S ? ab sin C , (2)依题,得 ? ,? ? 2 2 2 2 ,…………………(8 分) 2 2 2 2 2 ?7 ? a ? b ? ab ?c ? a ? b ? 2ab cos C ? ?
即?

?ab ? 6 ?a ? b ? ab ? 7
2 2
2

,? ? a ? b ? ? 3ab ? 7 ,…………………………………(10 分)
2

? ? a ? b ? ? 25 , a, b ? 0 …………………………………………………………(12 分)
? a ? b ? 5 …………………………………………………………………………(14 分)
18. (本题满分 16 分) 某种汽车购买时费用为 16.9 万元,每年应交付保险费、汽油费费用共 1.5 万元,汽车的维修费用为:第一年 0.4 万元,第二年 0.6 万元,第三年 0.8 万元,…依等差数列逐年递增. (1)设该车使用 n 年的总费用(包括购车费用)为 f (n), 试写出 f ( n) 的表达式; (2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).

19.(本题满分 16 分) 已知 f ( x) ? ?3x ? a(5 ? a) x ? b.
2

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(1) 当不等式 f ( x) ? 0 的解集是 ?? 1,3? 时,求 a , b 的值; (2)对任意实数 a, f (2) ? 0 恒成立,求实数 b 的取值范围; (3)设 b 为常数,解关于 a 的不等式 f (1) ? 0 . 解答(略) 20. (本题满分 16 分) 已知各项均为正数的数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,且对任意的 n ? N * ,都有 2Sn = an2 + an . (1)求数列 {an }的通项公式; (2)若数列 {bn }满足 b1 ? 1, 2bn?1 ? bn ? 0(n ? N*) ,且 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ; (3)在(2)的条件下,是否存在整数 m ,使得对任意的正整数 n ,都有 m ? 2 ? Tn ? m ? 2 。若存在,求 出 m 的值;若不存在,试说明理由. 20. 解:(1)当 n ? 1 时, 2S1 ? a12 ? a1, a1 ? 0,?a1 ? 1. ………………………………(1 分) 当 n ? 2 时, 2an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? (an 2 ? an ) ? (an?12 ? an?1 ), 整理,得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ?1) ? 0.

an ? an?1 ? 0,?an ? an?1 ? 1 ………(2 分)

? an ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n. ………………………………………………………(3 分)
(2)由 b1 ? 1,

bn?1 1 1 ? , 得bn ? ( )n?1 , bn 2 2

1 ? cn ? n( ) n ?1 , ………………………………………………………………………(4 分) 2 1 1 ?Tn ? 1 ? 2( ) ? ??? ? n( ) n ?1 , ① 2 2 1 1 1 1 Tn ? ? 2( ) 2 ? ??? ? n( ) n , ② 2 2 2 2 1 1 ? ( )n 1 1 1 2 1 n ?1 1 n 2 ? n( 1 ) n ①-②,得 Tn ? 1 ? ? 2( ) ? ??? ? ( ) ? n( ) ? 1 2 2 2 2 2 2 1? 2 1 ? 2 ? (n ? 2)( ) n , ……………………………………………………(6 分) 2 1 ? Tn ? 4 ? (n ? 2)( ) n ?1. ……………………………………………………………(8 分) 2
(3)由(2)知,对任意 n ? N * ,都有 Tn ? 4 .………………………………………(10 分)
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因为 Tn ?1 ? Tn ? (n ? 2)( )

1 2

n ?1

1 1 ? (n ? 3)( ) n ? (n ? 1)( ) n ? 0 , 2 2

所以 Tn ? T1 ? 1,?0 ? Tn ? 4(n ? N*) .………………………………………………(14 分) 故存在整数 m ? 2 ,使得对于任意 n ? N * ,都有 m ? 2 ? Tn ? m ? 2 .…………(16 分)

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