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11-12学年高中数学 1.2.1.2 排列2同步练习 新人教A版选修2-3


选修 2-3
一、选择题

1.2.1 第 2 课时 排列 2

1.下列各式中与排列数 An不相等的是( A.

m

)

n·(n-1)! (n-m)!

B.(n-m+1)(n-m+2)(n-m+3)?n C.

n n-1

·An n-m+1
1

D.An·An-1 [答案] C [解析] 由排列数公式易知 A、B、D 都等于 An,故选 C. 2.用 1、2、3、4、5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中奇数的个数为( A.36 C.40 [答案] A 3 3 [解析] 奇数的个位数字为 1、3 或 5,偶数的个位数字为 2、4.故奇数有 A5=36 个. 5 3.上午要上语文、数学、体育和外语四门功课,而体育教师因故不能上第一节和第四节, 则不同排课方案的种数是( A.24 C.20 [答案] D [解析] 先排体育有 2 种排法,故不同排课方案有:2A3=12 种. [点评] 有受限元素时,一般先将受限元素排好,即“特殊优先”. 4.5 个人排成一排,如果甲必须站在排头或排尾,而乙不能站在排头或排尾,那么不同 站法总数为( A.18 C.48 [答案] B [解析] 甲在排头或排尾站法有 A2种,再让乙在中间 3 个位置选一个,有 A3种站法,其 余 3 人有 A3种站法,故共有 A2·A3·A3=36 种站法. 5. 由数字 0、 2、 4、 可以组成能被 5 整除, 1、 3、 5 且无重复数字的不同的五位数有( A.(2A -A )个 B.(2A5-A5)个
-14 3 4 5 3 4 3 1 1 3 1 1 3

m-1

m

)

B.30 D.60

)

B.22 D.12

) B.36 D.60

)

C.2A5个 D.5A5个 [答案] A [解析] 能被 5 整除,则个位须填 5 或 0,有 2A5个,但其中个位是 5 的含有 0 在首位的 排法有 A4个,故共有(2A5-A4)个. [点评] 可用直接法求解:个位数字是 0 时有 A5种;个位数字是 5 时,首位应用 1、2、3、 4 中选 1 个,故有 4A4种,∴共有 A5+4A4个. 6.6 人站成一排,甲、乙、丙 3 人必须站在一起的所有排列的总数为( A.A6 C.A3·A3 [答案] D [解析] 甲、乙、丙三人站在一起有 A3种站法,把 3 人作为一个元素与其他 3 人排列有 A4种,∴共有 A3·A4种.故选 D. 7.6 人站成一排,甲、乙、丙 3 个人不能都站在一起的排法种数为( A.720 C.576 [答案] C [解析] 576. [点评] 不能都站在一起,与都不相邻应区分. 8.由数字 1、2、3、4、5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小于 43521 的数共有( A.56 个 C.58 个 [答案] C [解析] 首位为 3 时,有 A4个=24 个; 首位为 2 时,千位为 3,则有 A2A2+1=5 个,千位为 4 或 5 时有 A2A3=12 个; 首位为 4 时,千位为 1 或 2,有 A2A3=12 个,千位为 3 时,有 A2A2+1=5 个. 由分类加法计数原理知,共有适合题意的数字 24+5+12+12+5=58(个). 9.用 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的 6 位数,其中个位数字小于十位数字的六 位数共有( A.300 个 C.600 个 [答案] A
-21 3 1 2 1 2 1 3 4 4 3 4 3 3 3 6 3 4 3 4 3 4 3 4 4

4

)

B.3A3 D.4!·3!

3

)

B.144 D.684

“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件,由间接法可得 A6-A3A4=

6

3

4

) B.57 个 D.60 个

) B.464 个 D.720 个

[解析] 解法 1:确定最高位有 A5种不同方法.确定万位、千位、百位,从剩下的 5 个数 字中取 3 个排列,共有 A5种不同的方法,剩下两个数字,把大的排在十位上即可,由分步乘 法计数原理知,共有 A5·A5=300(个). 1 1 5 解法 2:由于个位数字大于十位数字与十位数字小于个位数字的应各占一半,故有 A5·A5 2 =300(个). 10.(2010·广东理,8)为了迎接 2010 年广州亚运会,某大楼安装了 5 个彩灯,它们闪 亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯所闪 亮的颜色各不相同,记这 5 个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有 且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒.如果要实现所有不同的闪烁, 那么需要的时间至少是( )
1 3 3

1

A.1205 秒 B.1200 秒 C.1195 秒 D.1190 秒 [答案] C [解析] 由题意每次闪烁共 5 秒,所以不同的闪烁为 A5=120 秒,而间隔为 119 次,所以 需要的时间至少是 5A5+(A5-1)×5=1195 秒. [点评] 本题情景新颖,考查了排列知识在生活中的应用以及运用数学知识解决实际问
5 5 5

题的能力、分析解决问题的能力. 二、填空题 11.三个人坐在一排八个座位上,若每人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为 ________. [答案] 24 [解析] “每人两边都有空位”是说三个人不相邻,且不能坐两头,可视作 5 个空位和 3 个人满足上述两要求的一个排列,只要将 3 个人插入 5 个空位形成的 4 个空档中即可. ∴有 A4=24 种不同坐法. 12. 在所有无重复数字的四位数中, 千位上的数字比个位上的数字大 2 的数共有________ 个. [答案] 448 [解析] 千位数字比个位数字大 2,有 8 种可能,即(2,0),(3,1)?(9,7)前一个数为千 位数字,后一个数为个位数字.其余两位无任何限制. ∴共有 8A8=448 个. 13.7 个人排一排,甲不在排头、乙不在排尾、丙不在正中间的排法有________种? [答案] 456 [解析] 由题意知有 A7-3A6+3A5-A4=456 种.
7 6 4 4 2 3

-3-

14.(2010·浙江理,17)有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定 跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个 项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都 各测试一人,则不同的安排方式共有________种(用数字作答). [答案] 264 [解析] 由条件上午不测“握力”,则 4 名同学测四个项目,则 A4;下午不测“台阶” 但不能与上午所测项目重复,如 甲 上午 台阶 下午 ,下午甲测“握力”乙丙丁所测不与上午重复有 2 种,甲测“身高”“立定”、“肺活 量”中一种,则 3×3=9,故 A4(2+9)=264 种. 三、解答题 15.一场晚会有 5 个演唱节目和 3 个舞蹈节目,要求排出一个节目单. (1)3 个舞蹈节目不排在开始和结尾,有多少种排法? (2)前四个节目要有舞蹈节目,有多少种排法? (以上两个题只列出算式) [解析] (1)先从 5 个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有 A5种排法,再将剩余的 3 个 演唱节目,3 个舞蹈节目排在中间 6 个位置上有 A6种排法,故共有 A5A6种排法. (2)先不考虑排列要求,有 A8种排列,其中前四个节目没有舞蹈节目的情况,可先从 5 个 演唱节目中选 4 个节目排在前四个位置,然后将剩余四个节目排列在后四个位置,有 A5A4种排 法,所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A8-A5A4)种. 16.六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站右端,也不站左端; (2)甲、乙站在两端; (3)甲不站左端,乙不站右端. [解析] (1)解法一:因甲不站左右两端,故第一步先从甲以外的 5 个人中任选二人站在 左右两端,有 A5种不同的站法;第二步再让剩下的 4 个人站在中间的四个位置上,有 A4种不 同的站法,由分步乘法计数原理共有 A5·A4=480 种不同的站法. 解法二:因甲不站左右两端,故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上,有 A4种 不同的站法; 第二步再让余下的 5 个人站在其他 5 个位置上, A5种不同的站法, 有 故共有 A4·A5 =480 种不同的站法. 解法三:我们对 6 个人,不考虑甲站位的要求,做全排列,有 A6种不同的站法;但其中 包含甲在左端或右端的情况,因此减去甲站左端或右端的排列数 2A5,于是共有 A6-2A5=480
-45 6 5 6 5 1 5 1 2 4 2 4 8 4 4 4 4 8 6 2 6 2 4 4

乙 身高

丙 立定

丁 肺活量

种不同的站法. (2)解法一:首先考虑特殊元素,让甲、乙先站两端,有 A2种不同的站法;再让其他 4 个 人在中间 4 个位置做全排列,有 A4种不同的站法,根据分步乘法计数原理,共有 A2·A4=48 种不同的站法. 解法二:“位置分析法”,首先考虑两端 2 个位置,由甲、乙去站,有 A2种站法,再考 虑中间 4 个位置,由剩下的 4 个人去站,有 A4种站法,根据分步乘法计数原理,共有 A2·A4= 48 种不同的站法. (3)解法一:“间接法”,甲在左端的站法有 A5种,乙在右端的站法有 A5种,而甲在左端 且乙在右端的站法有 A4种,故共有 A6-2A5+A4=504 种不同的站法. 解法二:“直接法”,以元素甲的位置进行考虑,可分两类:a.甲站右端有 A5种不同的 站法; .甲在中间 4 个位置之一, b 而乙不在右端, 可先排甲后排乙, 再排其余 4 个, A4·A4·A4 有 种不同的站法,故共有 A5+A4·A4·A4=504 种不同的站法. 17.用 0、1、2、3、4 五个数字:(1)可组成多少个五位数;(2)可组成多少个无重复数 字的五位数;(3)可组成多少个无重复数字的且是 3 的倍数的三位数;(4)可组成多少个无重 复数字的五位奇数. [解析] 2500(个). (2)方法一:先排万位,从 1,2,3,4 中任取一个有 A4种填法,其余四个位置四个数字共有 A4种, 故共有 A4·A4=96(个). 方法二:先排 0,从个、十、百、千位中任选一个位置将 0 填入有 A4种方法,其余四个数 字全排有 A4种方法, 故共有 A4·A4=96(个). (3)构成 3 的倍数的三位数,各个位上数字之和是 3 的倍数,将 0,1,2,3,4 按除以 3 的余 数分成 3 类,按取 0 和不取 0 分类: ①取 0,从 1 和 4 中取一个数,再取 2 进行排,先填百位 A2,其余任排有 A2,故有 2A2·A2 种. ②不取 0,则只能取 3,从 1 或 4 中再任取一个,再取 2 然后进行全排为 2A3,所以共有 2A2A2+2A3=8+12=20(个). (4)考虑特殊位置个位和万位,先填个位,从 1、3 中选一个填入个位有 A2种填法,然后 从剩余 3 个非 0 数中选一个填入万位,有 A3种填法,包含 0 在内还有 3 个数在中间三位置上 全排列,排列数为 A3,故共有 A2·A3·A3=36(个). 18.由 1、2、3、4、5 五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数列,则首项为 12 345,第 2 项是 12 354,?直到末项(第 120 项)是 54 321.问:
-53 1 1 3 1 1 1 2 3 3 1 2 1 2 1 4 4 1 1 4 4 1 5 1 1 4 1 1 4 5 4 6 5 4 5 5 4 2 4 2 4 2 4 2

(1)各个数位上的数字允许重复,故由分步乘法计数原理,4×5×5×5×5=

(1)43 251 是第几项? (2)第 93 项是怎样的一个五位数? [分析] 43 251 以前的数都比 43 251 小,而以后的数都比 43 251 大,因此比 43 251 小 的个数加 1 就是 43 251 的项数.反过来,从总个数中减去比 43 251 大的数的个数也是 43 251 的项数. 先算出比第 93 项大的数的个数,从总个数中减去此数,再从万位数是 5 的个数,逐步缩 小直到第 93 项数为止,从而可得第 93 项那个数. [解析] (1)由题意知,共有五位数为 A5=120(个). 比 43 251 大的数有下列几类: ①万位数是 5 的有 A4=24(个); ②万位数是 4,千位数是 5 的有 A3=6(个); ③万位数是 4,千位数是 3,百位数是 5 的有 A2=2(个), ∴比 43 251 大的数共有 A4+A3+A2=32(个), ∴43 251 是第 120-32=88(项). (2)从(1)知万位数是 5 的有 A4=24(个),万位数是 4,千位数是 5 的有 A3=6(个). 但比第 93 项大的数有 120-93=27(个),第 93 项即倒数第 28 项,而万位数是 4,千位 数是 5 的 6 个数是 45 321、45 312、45 231、45 213、45 132、45 123,由此可见第 93 项是 45 213.
4 3 4 3 2 2 3 4 5

-6-


11-12学年高中数学_1.2.1.2_排列2同步练习_新人教A版选修2-3

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