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向量数量积导学案


平面向量的数量积导学案

【考纲考情】 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义; 2.了解平面向量的数量积与向量射影的关系; 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算; 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 【知识梳理】 1. 向量的夹角

2. 平面向量的数量积

3. 平面向量数量积的性质

1

4. 数量积的运算律

5. 平面向量数量积的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量 a 与 b 的夹角为θ ,则

考点 1 平面向量数量积的运算 【例 1】 (1)(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°, c=ta+(1-t)b,若 b· c=0, 则 t=________. (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点.则 DE ? CB 的值为________,DE ? DC 的最大值为________.

【规律方法总结】向量数量积的两种求法: (1)当已知向量的模和夹角θ 时,可利用定义法求解,即 a·b=|a||b|cos θ . (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解. 【练 1】(1)在边长为 1 的等边△ABC 中,设 BC ? 2BD,CA ? 3CE, 则 AD ? BE =(
A. 1 3 B. ? 1 4 C. ? 1 3 D. 1 2

)

(2) 1.若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则 x=( A.6 B.5 C.4 D.3
2

)

考点 2

平面向量的垂直与夹角问题 )

【例 2】(1)(2014·九江模拟)若|a|=2,|b|=4 且(a+b)⊥a,则 a 与 b 的夹角是(

A.

2? 3

B.

? 3

C.

4? 3

D. ?

2? 3

(2)设两个向量 a,b,满足|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 ? , 若向量 2ta+7b 与 a+tb 的 3 夹角为钝角,求实数 t 的范围.

【规律方法总结】平面向量数量积的两个应用 (1)若 a,b 为非零向量,则由平面向量的数量积公式得 cosθ = 量的数量积可以用来解决有关角度的问题.

a ?b (夹角公式),所以平面向 a b

(2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于 0 说明不共线的两向量的 夹角为直角,数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 【练 2】 (1)(2013·安徽高考)若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余 弦值为_______.

(2)设向量 a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若 a⊥(a-b),则 x=______.

考点 3 平面向量的模及应用 【例 3】(1) 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. 求|a+b|和|a-b|.

(2)(2013·湖南高考)已知 a,b 是单位向量,a·b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范 围是( ) B. [ 2 -1, 2 +2] D. [1, 2 +2] A. [ 2 -1, 2 +1] C. [1, 2 +1]

3

【练 3】(1)(2014·嘉兴模拟)已知平面向量 a,b 满足|a|=2,|b|=3,a·(a-2b)=0,则|a-b|=( A.2 B.3 C.4 D.6

)

1 ,| (2) (2013· 重庆高考)在平面上,AB1 ? AB2, 若 AP ? AB1 ? AB2 . OP ? 则 OB1 ? OB2 ? 1 , 2 |的取值范围是 ( ) OA

A.(0, C.(

5 ] 2

B. (

5 , 2] 2

5 7 , ] 2 2 7 D.( , 2] 2

【课堂自测】 1.给出下列结论: ①向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量; ②两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量; ③由 a·b=0 可得 a=0 或 b=0; ④(a·b)c=a(b·c). 其中正确的是( A.①②
? 6

) C.②④
? 3 ? 2

B.②③
? 4

D.③④ )

2.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=4,且 a·b=2,则 a 与 b 的夹角为(
A. B. C. D.

3.已知向量 a=(1,2),向量 b=(x,-2),且 a⊥(a-b),则实数 x 等于( A.9 B.4 C.0 D.-4 ) 4.已知单位向量 a,b 的夹角是 120°,则|a+b|=(

)

A.

1 2

B.1

C. 2

D. 3

5.(2014·西安模拟)已知平面向量 a,b 的夹角为 120°,|a|=2,|b|=2,则 a+b 与 a 的夹角是 _______. 【课堂小结】总结本节课的题型及对应的解题方法,在表格中笔记: ? 题型归纳: 题型一: 题型二: 题型三:
4

?

方法盘点


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