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空间向量及其运算(一)


空间向量及其运算(一)
教学目的: 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘运算 2.用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题 教学重点:空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律 教学难点:用向量解决立几问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节,空间向量及其运算共有 4 个知识点:空间向量及其线性运算、共线向

量与共面向量、 空间向量的分解定理、 两个向量的数量积 这一节是全章的重点, 有了第一大节空间平行概念的基础,我们就很容易把平面向量及其运算推广到 空间向量 由于本教材学习空间向量的主要目的是,解决一些立体几何问题,所 以例习题的编排也主要是立体几何问题 本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量 学生已有了空间的 线、面平行和面、面平行概念,这种推广对学生学习已无困难 但仍要一步步地 进行,学生要时刻牢记,现在研究的范围已由平面扩大到空间 一个向量已是空 间的一个平移,两个不平行向量确定的平面已不是一个平面,而是互相平行的 平行平面集,要让学生在空间上一步步地验证运算法则和运算律 这样做,一方 面复习了平面向量、学习了空间向量,另一方面可加深学生的空间观念 当我们把平面向量推广到空间向量后,很自然地要认识空间向量的两个最基本 的子空间:共线向量和共面向量 把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广 到空间 然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式 有了这两个表达 式,我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题 在学习共线和共面向量定理后,我们学习空间最重要的基础定理:空间向 量基本定理,这个定理是空间几何研究数量化的基础 有了这个定理空间结构变 得简单明了,整个空间被 3 个不共面的基向量所确定 空间—个点或一个向量和 实数组(x,y,z)建立起一一对应关系 本节的最后一个知识点是,两个向量的 数量积 由平面两个向量的数量积推广到空间 最重要的是让学生建立向量在轴 上的投影概念 为了减轻教学难度, 内积的几个运算性质教材中没有证明 学生基 础好的学校可在教师的指导下,由学生自己证明 教学过程: 一、复习引入: 1 向量的概念 (1)向量的基本要素:大小和方向
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(2)向量的表示: 几何表示法 AB ,a ; 坐标表示法 a ? xi ? yj ? ( x, y)

?

?

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(3)向量的长度:即向量的大小,记作| a | (4)特殊的向量:零向量 a = 0 ? | a |=0 单位向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1 (5)相等的向量:大小相等,方向相同

?

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?

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? x1 ? x 2 ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ? ? y1 ? y 2
?

(6)平行向量(共线向量): 方向相同或相反的向量, 称为平行向量 记作 a ∥ b 由
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?

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于向量可以进行任意的平移(即自由向量), 平行向量总可以平移到同一直线上, 故平行向量也称为共线向量 2 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运 算的坐标表示和性质
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运算类型 向 量 的 加 法 向 量 的 减 法

几何方法

坐标方法

运算性质

a?b ?b?a
1 平行四边形法则 2 三角形法则
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a?b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

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AB ? BC ? AC
a ? b ? a ? (?b)
三角形法则

a?b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

AB ? ? BA

OB ? OA ? AB

向 量 的 乘 法 向 量 的 数

? (?a) ? (?? )a
1 ? a 是一个向量,满足: 2 ? >0 时, ? a 与 a 同向; ? <0 时, ? a 与 a 异向; ? =0 时, ? a =0
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?a ? (?x, ?y)

(? ? ? )a ? ?a ? ?a

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? (a ? b) ? ?a ? ?b
a ∥ b ? a ? ?b

a ? b 是一个数 1 a ? 0 或 b ? 0 时, a ? b =0 2 a ? 0 且 b ? 0 时,
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a?b ? x1 x2 ? y1 y2

a?b ? b?a

(?a) ? b ? a ? (?b) ? ? (a ? b)

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量 积

a ? b ?| a || b | cos(a, b)

(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

a 2 ?| a |2 | a |? x 2 ? y 2
| a ? b |?| a || b |
3 重要定理、公式: (1)平面向量基本定理
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? ? e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,
有且仅有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2 e2 (2)两个向量平行的充要条件

?

?

?

? ? ? ? a ∥ b ? a =λ b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0
(3)两个向量垂直的充要条件

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? ? ? ? a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
(4)线段的定比分点公式

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设点 P 分有向线段 P 2 ,则 1P 2 所成的比为λ ,即 P 1 P =λ PP

OP =
? x? ? ? ? ?y ? ? ?

1 1 OP OP 1 + 2 (线段的定比分点的向量公式) 1? ? 1? ?

x1 ? ?x 2 , 1? ? (线段定比分点的坐标公式) y1 ? ?y 2 . 1? ?

当λ =1 时,得中点公式:

x ? x2 ? x? 1 , ? 1 ? 2 OP = ( OP 1 + OP 2 )或 ? 2 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?
(5)平移公式 设 点 P( x, y) 按 向 量 a ? (h, k ) 平 移 后 得 到 点 P?( x?, y ?) , 则 OP? =

?

? ? x? ? x ? h, ? ,曲线 y ? f ( x) 按向量 a ? (h, k ) 平移后所得的曲线的 OP + a 或 ? ? y ? ? y ? k.
函数解析式为: y ? k ? f ( x ? h) (6)正、余弦定理 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R. sin A sin B sin C
2 2 2

b2 ? c2 ? a2 余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ? cos A ? 2bc
b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ? cos B ?

c2 ? a2 ? b2 2ca a2 ? b2 ? c2 2ab

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? cosC ?

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二、讲解新课: 1.空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下(如 图)
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b C b O a a B b A

? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b

? OP ? ?a(? ? R)
? ? ? ? 运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a
D' A' B' C'

? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )
? ? ? ? ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b

a
D

C

3.平行六面体: ? 平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A ?B ?C ?D ? 的轨迹所形成的几何体, 叫做平行 六面体,并记作:ABCD- A ?B ?C ?D ? 它的六个面都是平行四边形,每个面的边叫 做平行六面体的棱 三、讲解范例: 例 1 已知平行六面体 ABCD- A ?B ?C ?D ? 化简下列向量表达式,标出化简结果的 向量.
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A

B

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⑴ AB ? BC ; ⑶ AB ? AD ? 解:如图:

⑵ AB ? AD ? AA? ;

D' A'
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C' B' G C

1 1 CC ? ; ⑷ ( AB ? AD ? AA?) 2 3

M

D

⑴ AB ? BC ? AC ;
A

⑵ AB ? AD ? AA? = AC ? AA? ? AC ? ;

B

1 CC ? ? AC ? CM ? AM ; 2 1 1 ⑷设 G 是线段 AC ? 的三等份点,则 ( AB ? AD ? AA?) ? AC ? ? AG 3 3
⑶设 M 是线段 CC ? 的中点,则 AB ? AD ?
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向量 AC, AC ?, AM, AG 如图所示: 例 2 已知空间四边形 ABCD ,连结 AC , BD ,设 M , G 分别是 BC , CD 的中 点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量: (1) AB ? BC ? CD ; (2) AB ? 解:如图, (1) AB ? BC ? CD ? AC ? CD ? AD ; (2) AB ?

1 1 ( BD ? BC ) ; (3) AG ? ( AB ? AC ) . 2 2

A

1 1 1 ( BD ? BC ) ? AB ? BC ? BD 2 2 2

B M C G

D

? AB ? BM ? MG ? AG ; 1 (3) AG ? ( AB ? AC ) ? AG ? AM ? MG . 2
四、课堂练习: 1.如图,在空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AD 与 BC 的中点, 求证: EF ?

1 ( AB ? DC ) . 2

1 1 AD ? DC ? CB A 2 2 1 1 E ? ( AB ? BD) ? DC ? CB 2 2 1 1 ? AB ? DC ? (CB ? BD) B 2 2 F C 1 1 ? AB ? DC ? CD 2 2 1 ? ( AB ? DC ) 2 2.已知 2x ? 3 y ? ?3a ? b ? 4c , ?3x ? y ? 8a ? 5b ? c ,把向量 x, y 用向量 a, b , c
证明: EF ? ED ? DC ? CF ? 表示
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D

解:∵ 2x ? 3 y ? ?3a ? b ? 4c , ?3x ? y ? 8a ? 5b ? c ∴ x ? ?3a ? 2b ? c , y ? a ? b ? 2c 3.如图,在平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,设 AB ? a ,
D' A' E C F A B B' C'

AD ? b , AA? ? c , E , F 分别是 AD?, BD 中点,
(1)用向量 a, b , c 表示 D?B, EF ; (2)化简: AB ? BB? ? BC ? C?D? ? 2D?E ; 解: (1) D?B ? D?A? ? A?B? ? B?B ? ?b ? a ? c

D

EF ? EA ? AB ? BF ?

1 1 D?A ? a ? BD 2 2 1 1 1 ? (?b ? c ) ? a ? (?a ? b ) ? (a ? c ) 2 2 2
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五、 小结 : 空间向量的相关的概念及空间向量的表示方法; 平行六面体的概念; 向量加法、减法和数乘运算 A 六、课后作业:如图设 A 是△BCD 所在平面外的一点,G 是△BCD 的
1 重心 求证: AG ? ( AB ? AC ? AD) 3
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七、板书设计(略) 八、课后记:

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B C

G

D


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