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烟台芝罘区数学2015-2016高三专题复习-立体几何(2)位置关系-平行与垂直


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山东省烟台市芝罘区数学 2015-2016高三专题复习-立体几何 (2)位置关系-平行与垂直
烟台乐博士教育特供 立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有:①利用 定义采用反证法;②判定定理;③利用面面 平行,证线面平行。主要方法是②、③两法, 在使用判定定

理时关键是确定出面内的与面 外直线平行的直线. 常用具体方法:中位线和相似 例1、 P是平行四边形 ABCD所在平面外一 点,Q是PA的中点. 求证:PC∥面BDQ. 证明:如图,连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形, ∴AO=OC.连结OQ,则OQ在平面BDQ 内, 且OQ是△APC的中位线, ∴PC∥OQ. 明老师整理

∵PC在平面BDQ外, ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 设

M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、 B1C1的中点.求证: (1)E、F、B、D四点共面; (2)面AMN∥面EFBD. 证明:(1)分别连结B1D1、 ED、 FB, 如图, 则由正方体性质得 B1D1∥BD.

∵E、F分别是D1C1和B1C1的中点, ∴EF∥ B1D1.∴EF∥ BD. ∴E、F、B、D对共面. (2)连结A1C1交MN于P点,交EF于点 Q,连结AC交BD于点O,分别连结PA、QO. ∵M、N为A1B1、A1D1的中点, ∴MN∥EF,EF ? 面EFBD. ∴MN∥面EFBD. ∵PQ∥AO, ∴四边形PAOQ为平行四边形.
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∴PA∥OQ. 而OQ ? 平面EFBD, ∴PA∥面EFBD.且PA∩MN=P,PA、 MN ? 面AMN, ∴平面AMN∥平面EFBD. 3 如图(1),在直角梯形 P1DCB 中, P1D//BC,CD⊥P1D,且 P1D=8,BC=4, DC=4 6 ,A 是 P1D 的中点,沿 AB 把平面 P1AB 折起到平面 PAB 的位置 (如图 (2) ) , 使二面角 P—CD—B 成 45°,设 E、F 分别 是线段 AB、PD 的中点. 求证:AF//平面 PEC;

∴AF//平面 PEC 例4、 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面 相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且 AP=DQ.求证:PQ∥面BCE.

证法一:如图(1),作PM∥AB交BE 于M,作QN∥AB交BC于N,连接MN, 因为面ABCD∩面ABEF=AB,则 AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB. 又∵PM∥AB∥QN, ∴
PM PE QN BQ , . ? ? AB AE DC BD

证明:如图,设 PC 中点为 G,连结 FG, 则 FG//CD//AE,且



PM QN . ? AB DC

∴PM∥QN.即四边形PMNQ为平行四 边形. ∴PQ∥MN. 又∵MN ? 面BCE,PQ ? 面BCE, ∴PQ∥面BCE.
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1 FG= CD=AE, 2
∴四边形 AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG, 又∵AF ? 平面 PEC,EG ? 平面 PEC,

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证法二:如图(2),连结AQ并延长交BC 或BC的延长线于点K,连结EK. ∵AD∥BC, ∴
DQ AQ . ? QB QK

例 6、 ? // ? ,线段 GH、GD、HE 交 ? 、 ? 于 A、B、C、D、E、F,若 GA=9,AB=12, BH=16, S ?AEC ? 72 ,求 S ?BFD 。 证明:
E
α

又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公 共边AB,且AP=DQ, ∴
AQ AP .则PQ∥EK. ? QK PE

G

A

C

∴EK ? 面BCE,PQ ? 面BCE. ∴PQ∥面BCE. 例 5、正方形 ABCD 交正方形 ABEF 于 AB (如图所示)M、N 在对角线 AC、FB 上且 AM= FN。求证:MN //平面 BCE

F
β

B

D

H

GD ? GH ? G ? AC // BD? ? ? ?EAC ? ?FBD HE ? HA ? H ? AE // BF ?
AC∥BD
? AC GA 9 ? ? BD GB 21 BF HB 16 ? ? AE HA 28

AE∥BF

?

证明:过 N 作 NP//AB 交 BE 于 P, 过 M 作 MQ//AB 交 BC 于 Q
CM QM ? AC AB BN NP ? ? NP ? MQ BF EF

1 AC ? AE ? sin A S ?AEC 2 3 7 3 ? ? ? ? S ?BFD 1 7 4 4 BF ? BD ? sin B 2
∴ S BFD ? 96

又 ∵ NP // AB // MQ ?

MQPN

MN // PQ ? ? ? MN // 面BCE PQ ? 面BCE?
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立体几何每日一练基础部分
线面平行问题(中位线) 1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P、Q 分 别是 AD1、BD 上的点,且 AP=BQ,求证: PQ∥平面 DCC1D1。

3.如图所示, 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中, M、 N 分别是 BC 和 A1B1 的中点.求证:MN∥平 面 AA1C1.

D1 A1 B1

C1

P D Q A B C

2.如图所示,线段AB,CD所在直线是异 4.如图所示,已知 S 是正三 面直线,E,F,G,H分别是线段AC, 角形 ABC 所在平面外的 CB,BD,DA的中 一点,且 SA=SB=SC , 点.(1) 求证:E,F, SG 为△SAB 上的高, G, H共面并且所在平面 D、E、F 分别是 AC、BC、SC 的中点, 平行于直线AB和CD; 试判断 SG 与平面 DEF 的位置关系,并给 (2) 设P, Q分别是AB和CD上任意一点, 予证明. 求证:PQ被平面EFGH平分

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5.正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相 交于 AB,在 AE、BD 上各有一点 P、Q,且 AP=DQ. 求证:PQ∥平面 BCE.(三种方法)

7.设P, Q是单位正方体AC1的面AA1D1 D、面 A1B1C1D1 的中心.证明:PQ∥平 面 AA1B1B

6. 如图所示,正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, D 是 BC 的中点,试判断 A1B 与平面 ADC1 的位置关系,并证明你的结论.

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线面平行问题(类中位线)
1、如图,在正四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 的边长为 a ,侧棱长为 2 a ,P、Q 分 别在 BD 和 SC 上,且 BP:PD=1:2, PQ∥ 平面 SAD,求线段 PQ 的长。
S Q D P A B C

3、 如图所示, 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 点 N 在 BD 上, 点 M 在 B1C 上, 且 CM=ND, 求证:MN∥平面 AA1B1B.

2、如图所示,已知正方形ABCD与正方形 ABEF不共面,AN=DM.求证:MN∥ 平面BCE.

4、如图所示,正四棱锥 P— ABCD 的各棱长均为 13, M, N 分别为 PA, BD 上的点, 且 PM∶MA=BN∶ND=5∶8. 求证:直线 MN∥平面 PBC;

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面面平行问题
1、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中. (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证: 平面 EB1D1∥平面 FBD. D1 A1 E A D B
1

2. 如图所示,在正方体 ABCD — A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是 BC、CC1、C1D1、 A1A 的中点.求证: (1)BF∥HD1; (2) EG∥平面 BB1D1D; ( 3 ) 平面 BDF ∥ 平面 B1D1H.

C1 F C

G B

9.已知三棱锥P—ABC,A′,B′,C′ 是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证:面A′B′C′∥面ABC; (2)求 S△A′B′C′:S△ABC . 9. 如图所示,在正方体 ABCD — A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?

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立体几何中垂直问题
证垂直的几种方法:勾股定理、等腰(边) 三角形三线合一、菱形对角线、矩形(含正 方形)、90o、相似三角形(与直角三角形)、 圆直径对的圆周角、平行线、射影定理(三 垂线定理)、线面垂直、面面垂直等 1、 如图 1, 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,
? 平面 MBD. 求证: AO 1

3、如图所示,ABCD 为 正方形, SA ⊥平面

ABCD,过 A 且垂直于
SC 的平面分别交 SB,SC,SD 于 E,F,G .

求证: AE ? SB , AG ? SD .

2、如图 2, P 是△ABC 所在 平面外的一点,且 PA⊥平面

4、如图 2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD,作

ABC, 平面 PAC⊥平面 PBC.
求证:BC⊥平面 PAC.

BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥ BE 于H.
求证:AH⊥平面 BCD

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5、 如图3,AB 是圆O的直径,

8、如图,PA⊥平面 ABCD, 四边形 ABCD 是矩形, PA=AD=a, M、 N 分别是 AB、 PC 的中点. (1) 求平面 PCD 与平面 ABCD 所成的二面 角的大小; (2)求证:平面 MND⊥平面 PCD

C是圆周上一点, PA ? 平面 ABC. 若 AE⊥PC , E为垂足, F是 PB 上任意一点,
求证:平面 AEF⊥平面 PBC.

6、 ABC—A′B′C′是正 三棱柱, 底面边长为 a, D, E 分别是 BB′,CC′上 的一点,BD=1/2a,EC = a. (1)求证:平面 ADE⊥平面 ACC′A′; (2)求截面△ADE 的面积.

9、如图,正方体 ABCD —A1B1C1D1 中,E、F、 M、 N 分别是 A1B1、 BC、 C1D1、B1C1 的中点. (1)求证:平面 MNF⊥平面 ENF. (2)求二面角 M—EF—N 的平面角的正切 值.

7、如图,在三棱锥 S— ABC 中,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC.求证:AB⊥BC;

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立体几何中垂直问题 证垂直的几种方法:勾股定理、等腰(边) 三角形三线合一、菱形对角线、矩形(含正 方形)、90o、相似三角形(与直角三角形)、 圆直径对的圆周角、平行线、射影定理(三 垂线定理)、线面垂直、面面垂直等 1、如图 1,在正方体

∵OM∩DB=O, ∴ A1O ⊥平面 MBD. 评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱 长、角度大小等数据,通过计算来证明. 利用面面垂直寻求线面垂直 2、如图 2, P 是△ABC 所在平面外的一点, 且 PA ⊥平面 ABC,平面 PAC ⊥平面 PBC. 求证:BC⊥平面 PAC. 证明:在平面 PAC 内作 AD⊥PC 交 PC 于 D. ∵平面 PAC⊥平面 PBC,且两平面交 于 PC,AD ? 平面 PAC, 且 AD⊥PC, ∴AD⊥平面 PBC. 又∵ BC ? 平面 PBC, ∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面 ABC, BC ? 平面 ABC, ∴PA⊥BC. ∵AD∩PA=A, ∴BC⊥平面 PAC.
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ABCD ? A1B1C1D1 中, M 为
CC1 的中点,AC 交 BD 于

点 O,求证: AO ? 平面 MBD. 1 证明:连结 MO, A1M , ∵DB⊥ A1 A ,DB⊥AC,

A1 A ? AC ? A ,
∴DB⊥平面 A1 ACC1 ,

? 平面 A1 ACC1 而 AO 1
∴DB⊥ A1O . 设正方体棱长为 a ,
3 2 3 a , MO 2 ? a 2 . 2 4 9 在 Rt△ A1C1M 中, A1M 2 ? a 2 . 4

则 A1O 2 ?

2 ∵ AO ? MO2 ? A1M 2 ,(勾股定理) 1

∴ AO ? OM . 1

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3、如图所示,ABCD 为正 方形, SA ⊥平面 ABCD, 过 A 且垂直于 SC 的平面 分别交 SB,SC,SD 于 E,F,G . 求证: AE ? SB , AG ? SD . 证明:∵ SA ? 平面 ABCD, ∴ SA ? BC . ∵ AB ? BC , ∴ BC ? 平面 SAB. 又∵ AE ? 平面 SAB, ∴ BC ? AE . ∵ SC ? 平面 AEFG, ∴ SC ? AE . ∴ AE ? 平面 SBC. ∴ AE ? SB . 同理证 AG ? SD . 4、如图 2,在三棱锥A-

证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF. ∵ AC ? BC , ∴ CF ? AB . ∵ AD ? BD , (等腰三角形三线合一) ∴ DF ? AB . 又 CF ? DF ? F , ∴ AB ? 平面 CDF. ∵ CD ? 平面 CDF, ∴ CD ? AB . 又 CD ? BE , BE ? AB ? B , ∴ CD ? 平面 ABE, CD ? AH . ∵ AH ? CD , AH ? BE ,
C D? B E ? E ,

∴ AH ? 平面 BCD. 5、如图3, AB 是圆O的直 径, C是圆周上一点, PA ? 平 面 ABC. 若 AE⊥PC , E为 垂足,F是 PB 上任意一点, 求证:平面 AEF⊥平面 PBC. 证明:∵AB 是圆O的直径, ∴ AC ? BC .(直径对的圆周角)
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BCD 中,BC=AC,AD= BD,作 BE⊥CD,E为垂
足,作 AH⊥BE 于H. 求证:AH⊥平面 BCD

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∵ PA ? 平面 ABC, BC ? 平面 ABC, ∴ PA ? BC . ∴ BC ? 平面 APC. ∵ BC ? 平面 PBC, ∴平面 APC⊥平面 PBC. ∵AE⊥PC,平面 APC∩平面 PBC=PC, ∴AE⊥平面 PBC. ∵ AE ? 平面 AEF, ∴平面 AEF⊥平面 PBC. 6、 ABC—A′B′C′是正 三棱柱, 底面边长为 a, D, E 分别是 BB′,CC′上 的一点,BD=1/2a,EC = a. (1) 求证: 平面 ADE⊥平面 ACC′A′; (2)求截面△ADE 的面积. (1)【证明】分别取 A′C′、AC 的 中点 M、N,连结 MN, 则 MN∥A′A∥B′B,(平行证共面) ∴B′、M、N、B 共面, ∵M 为 A′C′中点, B′C′=B′A′, ∴B′M⊥A′C′, 又 B′M⊥AA′且 AA′∩A′C′=A′ ∴B′M⊥平面 A′ACC′.
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设 MN 交 AE 于 P, ∵CE=AC,

a ∴PN=NA= 2 .

1 又 DB= 2 a,
∴PN=BD. ∵PN∥BD, ∴PNBD 是矩形,于是 PD∥BN, BN∥B′M, ∴PD∥B′M. ∵B′M⊥平面 ACC′A′, ∴PD⊥平面 ACC′A′, 而 PD ? 平面 ADE, ∴平面 ADE⊥平面 ACC′A′. (2)【解】∵PD⊥平面 ACC′A′, ∴PD⊥AE,
3 而 PD=B′M= 2 a,AE= 2 a.

1 ∴S△ADE= 2 ×AE×PD
3 6 2 1 2a ? a? a 2 4 =2× .

7、如图,在三棱锥 S —ABC 中, SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平 面 SBC.

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求证:AB⊥BC; 【证明】作 AH⊥SB 于 H, ∵平面 SAB⊥平面 SBC.平面 SAB∩ 平面 SBC=SB, ∴AH⊥平面 SBC, 又 SA⊥平面 ABC, ∴SA⊥BC,而 SA 在平面 SBC 上的射 影为 SB, ∴BC⊥SB,(射影定理) 又 SA∩SB=S, ∴BC⊥平面 SAB. ∴BC⊥AB. 8、 如图, PA⊥平面 ABCD, 四边形 ABCD 是矩形, PA=AD=a,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1) 求平面 PCD 与平面 ABCD 所成的 二面角的大小; (2)求证:平面 MND⊥平面 PCD (1) 【解】 PA⊥平面 ABCD, CD⊥AD, ∴PD⊥CD, 故∠PDA 为平面 ABCD 与平面 PCD 所 成二面角的平面角, 在 Rt△PAD 中, PA=AD, ∴∠PDA=45°

(2)【证明】取 PD 中点 E,连结 EN, EA,则 EN

1 2 CD

AM,

∴四边形 ENMA 是平行四边形, ∴EA∥MN. ∵AE⊥PD,AE⊥CD,(平行证垂直) ∴AE⊥平面 PCD,从而 MN⊥平面 PCD, ∵MN ? 平面 MND, ∴平面 MND⊥平面 PCD. 9、如图,正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,E、F、M、N 分 别是 A1B1、BC、C1D1、B1C1 的中点. (1)求证:平面 MNF⊥平面 ENF. (2)求二面角 M—EF—N 的平面角的正切 值. (1)【证明】∵M、N、E 是中点, ∴ EB1 ? B1 N ? NC1 ? C1M ∴ ?ENB1 ? ?MNC1 ? 45? ∴ ?MNE ? 90? 即 MN⊥EN, (角度度证垂直) 又 NF⊥平面 A1C1, MN ? 平面A1C1 ∴MN⊥NF,从而 MN⊥平面 ENF. ∵MN ? 平面 MNF, ∴平面 MNF⊥平面 ENF.
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(2)【解】过 N 作 NH⊥EF 于 H,连 结 MH. ∵MN⊥平面 ENF, NH 为 MH 在平面 ENF 内的射影, ∴由三垂线定理得 MH⊥EF,(射影定理) ∴∠MHN 是二面角 M—EF—N 的平面角. 在
3 2 Rt△MNH 中,求得 MN= 2 a,NH= 3 a,

MN 6 ? 2 , ∴tan∠MHN= NH 即二面角 M—EF
6 —N 的平面角的正切值为 2 .

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