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文科数学


2015 届高三年级第三次四校联考

数学(文)试 题
命题:忻州一中 康杰中学 长治二中 临汾一中
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题(5× 12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正 确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.设全集为 R,集合 A= x ? R |

x 2 ? 4 ,B= ?x | ?1 ? x ? 4?,则 A ? (C R B) ? A. ?? 1,2? 2.已知复数 z ? A. i B. ?? 2,?1? C. ?? 2,?1? D. ?? 2,2?

?

?

1? i (i 为虚数单位 ) ,则 z 的共轭复数是 1? i B. 1 ? i C. ? i

D.1 ? i

3.若等比数列 {an } 满足 a1 ? a3 ? 20 , a2 ? a4 ? 40 ,则公比 q ? A. 1
2 2

B. 2

C. ?2
2

D. 4

1 x y x y2 4.若椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 2 a b a b
A. y ? ?

3 x 2

B. y ? ? 3x

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

x x 5.已知命题 p : ?x ? R, 使 2 ? 3 ;命题 q : ?x ? (0,

?
2

), tan x ? sin x ,下列是真命题的是
D. p ? (?q)

A. (?p) ? q

B. (?p) ? (?q )

C. p ? (?q)

6.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. ?

8 3

B.

16 ? 3

C. 8?

D.

64 ? 3

7.在面积为 S 的 ?ABC 内部任取一点 P ,则 ?PBC 的面积大于

S 的概率为 4 1 A. 4

B.

3 4

C.

4 9

D.

9 16

8.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是 A. 2016 B. 2 C.

1 2

D. ? 1

?3x , ( x ? 1), ? 9.已知函数 f ( x) ? ?log x, ( x ? 1), ,则函数 y ? f (1 ? x) 的 1 ? ? 3
大致图象是 y O A 面 ABC 的距离为 A. 2cm x y O B x C y O x y O D
0

x

10.在半径为 10 cm 的球面上有 A, B, C 三点,如果 AB ? 8 3 , ?ACB ? 60 ,则球心 O 到平 B. 4cm C. 6cm D. 8cm

11.已知函数 f ( x) ? cos( ?x ? ? ? 则 y ? f (x ?

?
2

)(? ? 0, | ? |?

?
2

) 的部分图象如图所示,
y

?
6

) 取得最小值时 x 的集合为
B. ? x x ? k? ?

A. ? x x ? k? ?

? ?

?

? ,k ? Z? 6 ?

? ?

?

? ,k ? Z? o 3 ?

1
? 3 7? 12

x

C. ? x x ? 2k? ?

? ?

?

? ,k ? Z? 6 ?

D. ? x x ? 2k? ?

? ?

?

? ,k ? Z? 3 ?

12.已知点 A 是抛物线 x 2 ? 4 y 的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦点, P 在抛物线上 且满足 PA ? m PB ,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A, B 为焦点的双曲线上,则双曲 线的离心率为

A.

5 ?1 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 1

D. 5 ? 1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.已知向量 a ? (1, x) , b ? ( x ? 1,2) ,若 a // b ,则 x ? .

? y ? 3x ? 2 y ? 14.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 的最小值是 x ?1 ? 2x ? y ? 8 ?

.

15.设数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 10 ,点 Pn (n, a n ) 对任意的 n ? N ? ,都有向量

Pn Pn?1 ? (1,2) ,则数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?

.

?x ? 1 ?3 ( x ? 0) 16.已知函数 f ( x) ? ? ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? b 有且仅有两个零点, 2 ? ? x ( x ? 0)

则实数 b 的取值范围是 . 三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答 写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分 12 分) 在 ΔABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 若 4 sin A sin B - 4 cos (1)求角 C 的大小; (2)已知
2

A? B ? 2 ? 2. 2

a sin B ? 4 ,ΔABC 的面积为 8 . 求边长 c 的值. sin A
甲 9 1 9 1 乙

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道 数学题(满分 12 分)的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊, 记为 x ,已知甲、乙两组的平均成绩相同. (1)求 x 的值,并判断哪组学生成绩更稳定;

0 8 9 1 x 2 1 (18 题图)

(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于 20 分的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,矩形 DCBE 所 在的平面垂直于圆 O 所在的平面, AB ? 4 , BE ? 1 . (1)证明:平面 ADE ? 平面 ACD ; (2)当三棱锥 C ? ADE 的体积最大时,求点 C 到平面 ADE 的距离. (19 题图)
A D

C

E

O

?

B

20. (本小题满分 12 分) 已知点 A(1,0) ,点 P 是圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 8 上的任意一点,,线段 PA 的垂直 平分线与直线 CP 交于点 E . (1)求点 E 的轨迹方程; (2)若直线 y ? kx ? m 与点 E 的轨迹有两个不同的交点 P 和 Q ,且原点 O 总在以 PQ 为直径的圆的内部,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? ln x ?

k ,k ?R . x

(1) 若曲线 y ? f ( x) 在点 (e, f (e)) 处的切线与直线 x ? 2 ? 0 垂直,求 f ( x) 的单调递减区间 和极小值(其中 e 为自然对数的底数) ; (2)若对任意 x1 ? x2 ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 恒成立,求 k 的取值范围.

请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM , M 为切点,过 PM 的中点 N ,作割 线 NAB , 交圆于 A 、 B 两点 , 连接 PA 并延长 , 交圆 O 于点 C , 连接 PB 交圆 O 于点 D , 若 MC ? BC . (1)求证:△ APM ∽△ ABP ; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

(22 题图)

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为:

? x ? 1 ? cos ? (?为参数) .以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. ? ? y ? sin ?
(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是 2? sin(? ?

?
3

) ? 3 3 ,射线 OM : ? ?

?
3

与圆 C 的交点

为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5: 不等式选讲 设函数 f ( x ) =| x ? 2 | ? | x ? 2 | , x ? R .不等式 f ( x) ? 6 的解集为 M . (1)求 M ; (2)当 a, b ? M 时,证明: 3 | a ? b |?| ab ? 3| .

2015 四校三联文科数学试题答案
一选择题 二填空题 三解答题 17.解: (1)由条件得 4 sin A sin B =2(2 cos 即 4 sin A sin B = 2 cos(A ? B) ? 分 化简得 cos(A ? B) ? ? 分 ∵0 ? A? B ? ? 又 A? B ?C ?? ∴ ∴
2

1-6 CABADB 13. 2 或 ? 1

7-12DBDCBC 14. 1 15. n
2

16. 0 ? b ?

1 2

A? B ? 1) ? 2 2
………………2

2 = 2(cos A cos B ? sin A sin B) ? 2

2 , 2
A? B ?
C=

………………………4

? 4

3? 4
………………………6

分 (2)由已知及正弦定理得 b ? 4 分 又 SΔABC=8,C= 分
2 2 2 由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cosC 得 c ? 4 .

………………………8

? 4



1 ab sin C ? 8 , 得 a ? 4 2 2

………………………10

………………………12

分 18. ( 1 )

x甲 ?


9 ? 9 ? 11 ? 11 ? 10, 4

x乙 ?

8 ? 9 ? 12 ? 10 ? x ? 10, 4

∴x ?1 又

……………2 分

S乙

2

1 2 2 2 S甲 ? [(10 ? 9) 2 ? (10 ? 9) 2 ? (11 ? 10) ? ( 11 - 10) ] ?1 4 1 5 2 2 ? [(10 ? 8) 2 ? (10 ? 9) 2 ? (11 ? 10) ? ( 12 - 10) ]? 4 2
2 2

……………

…4 分 ∴ S甲 ?S 乙 ∴甲组成绩比乙组稳定。 ………………6

分 (2)记甲组 4 名同学为:A1,A2, A3,A4;乙组 4 名同学为:B1,B2,B3,B4;分别从甲乙 两组中各抽取一名同学所有可能的结果为:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4) (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2), (A4,B3) , (A4,B4) , 共 16 个 基 本 事 件 , 其 中 得 分 之 和 低 于 20 分 的 共 6 个 基 本 事

件,

………………10 分

∴ 得分之和低于 20 分的概率是: P ?

6 3 ? . 16 8

…………………12 分 …………………1 分,

19. (1)证明:∵ AB 是直径,∴ BC ? AC 又四边形 DCBE 为矩形, CD ? DE , BC // DE ,∴ DE ? AC ∵ CD ? AC ? C ,∴ DE ? 平面 ACD 又 DE ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 ACD (2)由⑴知 VC ? ADE ? VE ? ACD ?

…………4 分 ………………6 分

1 1 1 ? S ?ACD ? DE ? ? ? AC ? CD ? DE 3 3 2
………………………8 分,

?

1 1 1 4 ? AC ? BC ? ? ( AC 2 ? BC 2 ) ? ? AB 2 ? , 6 12 12 3
当且仅当 AC ? BC ? 2 2 时等号成立

…………………… 9

分, ∴当 AC ? BC ? 2 2 三棱锥 C ? ADE 体积最大为 分, 此时, AD ? 1 ? (2 2 ) ? 3 , S ?ADE ?
2 2

4 3

…………………… 10

1 ? AD ? DE ? 3 2 2 1 4 ? S ?ADE ? h ? 3 3
……………………… 12

设点 C 到平面 ADE 的距离为 h ,则 VC ? ADE ?

h?


2 2 3

20.解:解: (1)由题意知 EP ? EA , CE ? EP ? 2 2 ,∴ CE ? EA ? 2 2 ? 2 ? CA ,

∴E 的轨迹是以 C、A 为焦点的椭圆,其轨迹方程为:

x2 ? y2 ? 1 2

……………4 分

(2)设 P( x1, y1 )、Q( x2, y2 ) ,则将直线与椭圆的方程联立得: ? 消去 y,得: (2k ? 1) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0
2 2 2

? y ? kx ? m , 2 2 ?x ? 2 y ? 2

? ? 0, m ? 2k ? 1(*);
2 2

x1 ? x 2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 , x x ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

……………6 分

因为 O 在以 PQ 为直径的圆的内部,故 OP ? OQ ? 0,即x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 而 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ?

………7 分

m 2 ? 2k 2 , 2k 2 ? 1
…………………9

2m 2 ? 2 m 2 ? 2k 2 ? ?0 由 x1 x2 ? y1 y2 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
分 得: m ?
2

2 2k 2 ? 2 , ? m2 ? , 且满足(*)式 3 3
的 取 值 范 围 是

M

(?

6 6 , ) 3 3
21 解: (1)由条件得 f ?( x) ?

……………………12 分

1 k ? ( x ? 0) x x2

……………………

2分 ∵曲线 y ? f ( x) 在点 (e, f (e)) 处的切线与直线 x ? 2 ? 0 垂直,∴此切线的斜率为 0 即 f ?(e) ? 0 , 有 4分 ∴ f ?( x) ?

1 k ? ? 0, 得k ? e e e2

……………………

1 e x?e ? = 2 ( x ? 0) ,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? e ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? e . x x2 x

∴ f ( x) 在(0, e )上单调递减,在( e ,+∞)上单调递增,当 x ? e 时 f ( x) 取得极小 值

f (e) ? ln e ?

e ? 2. e
……………………

故 f ( x) 的单调递减区间为 (0, , 极小值为 2 . e) 6分

(2)条件等价于对任意 x1 ? x2 ? 0 , f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ? x2 恒成立,……(*) 设 h( x ) ?

f ( x) ? x ? ln x ?

k ? x ( x ? 0) , x
……………………

∴(*)等价于 h( x) 在(0,+∞)上单调递减.

9分 由 h ?( x) ? 10 分
2 得 k ? ? x ? x = ? (x ? ) ?
2

1 k ? ? 1 ? 0 在(0,+∞)上恒成立, x x2

……………………

1 2

1 ( x ? 0) 恒成立, 4

∴k ?

1 1 1 ( 对 k ? , h ?( x) ? 0 仅在 x ? 时成立), 2 4 4 1 故 k 的取值范围是[ , +∞) . 4

……………………

12 分 22.证明:(1)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点,

PN NA ? , BN PN 又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA . ∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB , A P ∽ M ∴ △ △ ABP . …………………5 分 (2)∵ ?ACD ? ?PBN ,∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵△ APM ∽△ ABP ,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP , ∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP , ∴ MC // PD , ∴四边形 PMCD 是平行四边形. …………………10
∴ MN ? PN ? NA ? NB , ∴
2 2


2 2 23.解: (1)圆 C 的普通方程为 ( x ?1) ? y ? 1 ,又 x ? ? cos? , y ? ? sin ?

所以圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? 分 (2)设 P( ?1 ,?1 ) ,则有 ?

………………5

? ? 2 cos? ? ? ? ? 解得 ?1 ? 1, ? 1 ? ?? 3 ? 3 ?

? ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ? ? 设 Q( ?2 ,?2 ) ,则有 ? ,解得 ? 2 ? 3, ? 2 ? ? 3 ?? ? 3 ?
所以 PQ ? 2 分 24.解:(1) | x ? 2 | ? | x ? 2 |? 6 等价于 ………………10

? x ? ?2 ??2 ? x ? 2 ? x ? 2 或? 或? ? ??2 x ? 6 ?2 x ? 6 ? 4?6
? M ? [?3,3]
…5 分

解得 ?3 ? x ? 3

………………

(2) 当 a, b ? M 时 , 即 ?3 ? a ? 3 ? , ? 3b ?

时 3 ,要证

3 a ? b ? ab ? 3 , 即 证

3(a ? b)2 ? (ab ? 3)2 3(a ? b)2 ? (ab ? 3)2 ? 3(a2 ? 2ab ? b2 ) ? (a2b2 ? 6ab ? 9) ? 3a2 ? 3b2 ? a2b2 ? 9
? (a2 ? 3)(3 ? b2 ) ? 0
所 以 …………………10 分

3 a ? b ? ab ? 3


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