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高中数学思想活用-巧得分系列之六 方程思想在平面向量中的应用


[典例] 如图,在平 行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点, 已知 AM =c, AN =d,试用 c,d 表示

???? ?

????

??? ??? ? ? AB , AD .
[解] 在△ADM 中,

??? ? ???? ???? ? ? ? 1 ???

AD = AM - DM =c-2 AB .①
在△ABN 中,

??? ???? ???? ? ? 1 ??? AB = AN - BN =d-2 AD .② ??? 2 ? 由①②得 AB = (2d-c), 3

??? 2 ? AD =3(2c-d).
[题后悟道] 本题求解利用了方程思想,首先利用三角形法则表示出向量 AB , AD , 然后解关于 AB , AD 的方程组,方程思想在利用平面向量基本定理求参数经常用到.所 谓方程思想, 是指在解决问题时, 用事先设定的未知数表示问题中所涉及的各量间的等量关 系,建立方程或方程组,求出未知数及各量的值,或者用方程的性质去分析、转化问题,使 问题获得解决.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?针对训练

???? 1 ???? 如图所示,在△ABC 中,点 M 是 AB 的中点,且 AN = NC ,BN 2
与 CM 相交于点 E,设 AB =a, AC =b,试用基底 a,b 表示向量 AE .

??? ?

??? ?

??? ?

? 1 ???? 1 ??? 1 ? ? 1 ??? 解:易得 AN― →= AC = b, AM = AB = a,由 N,E,B 三点 3 3 2 2

??? ? ???? ??? 1 ? 共线知,存在实数 m,满足 AE =m AN +(1-m) AB = mb+(1-m)a. 3
??? 1 ? ??? ? ???? ? 由 C,E,M 三点共线知存在实数 n,满足 AE =n AM +(1-n) AC = na+(1-n)b. 2
1 1 所以 mb+(1-m)a= na+(1-n)b. 3 2

?1-m=2n, 由于 a,b 为基底,所以? 1 ?3m=1-n,
1

?m=5, 解得? 4 ?n=5,
3

??? 2 1 ? 所以 AE = a+ b. 5 5


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