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第二章2.1数列的概念与简单表示法(一)


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2.1(一)

【读一读学习要求,目标更明确】 1.理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学 模型. 2.探索并掌握数列的几种简单表示法. 3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 【看一看学法指导,学习更灵活】 1. 在理解数列概念时, 应区分数列与集合两个不同的概念. 2.由数列的前几项,写出数

列的一个通项公式是本节的难 点之一,突破难点的方法是:把序号标在项的旁边,观 察项与序号的关系,从而写出通项公式.

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填一填· 知识要点、记下疑难点

2.1(一)

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1. 按照一定顺序排列的一列数称为数列 , 数列中的每一个数 叫做这个数列的 项 .数列中的每一项都和它的序号有关, 排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做 首 项),排在第二位的数称为这个数列的第 2 项,??,排 在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项. 2. 数列的一般形式可以写成 a1, a2, ?, an, ?, 简记为 {an} . 3.项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做 无

穷 数列.
4.如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式 子来表示,那么这个式子叫做这个数列的 通项 公式.

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2.1(一)

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问题探究一

数列的概念

问题 1 数学的产生源于现实生活的需要,数列也不例外 传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前 570 年— 约公元前 500 年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问 题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们 将石子摆成如图 (1)所示的三角形状,就将其所对应石子 个数称为三角形数,将石子摆成如图(2)所示的正方形状, 就将其所对应石子个数称为正方形数.

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你能将三角形数和正方形数所对应的一列数分别写出吗?
答案 三角形数:1,3,6,10,15,?;
正方形数:1,4,9,16,25,?.

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问题 2

2.1(一)

按照一定顺序排列的一列数就称为数列.与集合中

元素的性质相比较,数列中的项具有怎样的性质?
答案 (1)确定性: 一个数是或不是某一数列中的项是确定的, 集合中的元素也具有确定性; (2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重
复出现(即互异性);
(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这 些数的排列次序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性);
(4)数列中的每一项都是数, 而集合中的元素还可以代表除数字 外的其他事物.

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问题探究二 问题

数列的几种表示方法

除了列举法外,和函数一样,数列还可以用公式法,

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列表法,图象法等方法来表示. 例如,(1)数列:1,3,5,7,9,? ①用公式法表示为:an=2n-1,n∈N*; ②用列表法表示为: n an 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9 ? ?

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③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出):

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1 1 1 1 (2)数列:1, , , , ,? 2 3 4 5 1 * , n ∈ N ①用公式法表示为:a = n .
n

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②用列表法表示为: n an 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 ? ?

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③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出):

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问题探究三 问题 数列的通项公式

2.1(一)

如果数列{an}的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用

一个式子来表示,那么这个式子就叫做数列{an}的通项公 式. 和函数不一定有解析式一样, 并不是所有的数列都有 通项公式. 一个数列的通项公式不惟一, 可以有不同的表 现形式,an=(-1)n-1 可以写成 an=(-1)n+1,还可以写成 ? ?1(n为奇数), an = ? 根据所给数列的前几项求其通项公 ? ?-1(n为偶数). 式时, 需仔细观察数列的特征, 并进行联想、 转化、 归纳, 同时要熟悉一些常见数列的通项公式. 下表中的一些基本 数列,你能准确快速地写出它们的通项公式吗?

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数列 -1,1,-1,1,? 1,2,3,4,? 1,3,5,7,? 2,4,6,8,? 1,2,4,8,? 1,4,9,16,? 1 1 1 1, , , ,? 2 3 4

通项公式 an= (-1)n an= n an= 2n-1 an= 2n an= 2n-1 an= n2 1 an= n

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典型例题

2.1(一)

例 1 根据数列的通项公式,分别写出数列的前 5 项与第 2 012 项. nπ (1)an=cos ; 2 1 1 1 1 (2)bn= + + +?+ . 1×2 2×3 3×4 n(n+1) π 解 (1)a1=cos 2=0,a2=cos π=-1, 3π a3=cos 2 =0,a4=cos 2π=1, 5π a5=cos 2 =0, 2 012π a2 012=cos 2 =cos 1 006π=1.

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1 1 1 1 1 1 1 1 2 (2)b1= = ,b = + =1- + - =1- = , 2 2 3 3 3 1×2 2 2 1×2 2×3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 b3= + + =1-2+2-3+3-4=4, 1×2 2×3 3×4 4 5 2 012 同理 b4=5,b5=6,b2 012=2 013. 小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项,要注意 n
=1,2,3,?.如果数列的通项公式较为复杂,应考虑运算化简 后再求值.

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跟踪训练 1 根据下面数列的通项公式,写出它的前 4 项. n - 1 + ( - 1) (1)an=2n+1;(2)bn= . 2
答案 (1)a1=3,a2=5,a3=9,a4=17;
(2)b1=-1,b2=0,b3=-1,b4=0.

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例2

2.1(一)

根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.

(1)1,-3,5,-7,9,?; 1 9 25 (2) ,2, ,8, ,?; 2 2 2 (3)9,99,999,9 999,?; (4)0,1,0,1,?.
解 (1)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9,?,是连续的正奇数, 考虑(-1)n+1 具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式 为 an=(-1)n+1(2n-1),n∈N*.
(2)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成 1 4 9 16 25 分数再观察: , , , , ,?所以,它的一个通项公式 2 2 2 2 2 n2 为 an= ,n∈N*. 2

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(3)各项加 1 后,变为 10,100,1 000,10 000,?,此数列的通 项公式为 10n,可得原数列的一个通项公式为 an=10n-1, n∈N*.
? ?0 (4)an = ? ? ?1

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(n为奇数) 1+(-1)n * 或 an = ( n ∈ N ) 或 an = 2 (n为偶数)

1+cos nπ (n∈N*). 2
小结 据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分 析,抓住其几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;② 相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和 绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.

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跟踪训练 2 写出下列数列的一个通项公式. 1 1 1 1 (1)2 ,4 ,6 ,8 ,?; 2 4 8 16 (2)0.9,0.99,0.999,0.999 9,?; 1 1 1 1 (3)- , ,- , ,?. 2 6 12 20 1 答案 (1)an=2n+2n; (2)an=1-0.1n;
(-1)n (3)an= . n(n+1)

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(-1)n(n+1) 例 3 已知数列{an}的通项公式 an= . (2n-1)(2n+1)

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(1)写出它的第 10 项; 2 (2)判断 是不是该数列中的项. 33 (-1)10×11 11 解 (1)a10= = . 399 19×21 n+1 2 (2)令 = , (2n-1)(2n+1) 33 化简得:8n2-33n-35=0, 2 2 解得 n=5.当 n=5 时,a5=-33≠33. 2 ∴33不是该数列中的项. 小结 判断某数列是否为数列中的项,只需将它代入通项公
式中求 n 的值,若存在正整数 n,则说明该数是数列的项, 否则就不是该数列的项.

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1 跟踪训练 3 已知数列{an}的通项公式为 an= n(n+2) 1 * 10 项. (n∈N ),那么 是这个数列的第______ 120 1 1 解析 ∵ = , n(n+2) 120
∴n(n+2)=10×12,∴n=10.

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1.下列叙述正确的是 A.数列 1,3,5,7 与 7,5,3,1 是相同的数列 B.数列 0,1,2,3,?可以表示为{n} C.数列 0,1,0,1,?是常数列 n D.数列{ }是递增数列 n+ 1

( D )

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2.观察下列数列的特点,用适当的一个数填空:1, 3, 5,

3 7,________ , 11,?.
3.已知下列数列: (1)2 000,2 004,2 008,2 012; n- 1 1 2 (2)0, , ,?, n ,?; 2 3 1 1 1 (3)1, , ,?, n-1,?; 2 4 2 (-1)n-1· n 2 3 (4)1,- , ,?, ,?; 3 5 2n-1 nπ (5)1,0,-1,?,sin ,?; 2 (6)6,6,6,6,6,6.

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其中,有穷数列是________,无穷数列是________,递增数 列是________,递减数列是________,常数列是________, 摆动数列是________,周期数列是________.(将合理的序号 填在横线上) 解析 (1)是有穷递增数列; n-1 1 (2)是无穷递增数列(因为 n =1-n);
(3)是无穷递减数列; (4)是摆动数列,也是无穷数列;

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(5)是摆动数列,是无穷数列,也是周期数列,最小正周期为 4;
(6)是常数列,是有穷数列.

答案 (1)(6)

(2)(3)(4)(5)

(1)(2)

(3)

(6)

(4)(5)

(5)

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4.写出下列数列的一个通项公式. (1)a,b,a,b,?; 8 15 24 (2)-1, ,- , ,?. 5 7 9 a+b n-1 a-b 答案 (1)an= +(-1) · ; 2 2 2 n +2n n (2)an=(-1) · . 2n+1

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2.1(一)

1.{an}与 an 是不同的两种表示,{an}表示数列 a1,a2,?, an,?,是数列的一种简记形式.而 an 只表示数列{an}的 第 n 项,an 与{an}是“个体”与“整体”的从属关系. 2.数列的表示方法:①图象法;②列表法;③通项公式法; ④递推公式法. 3. 由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、 归纳各项 与对应的项数之间的联系. 同时, 要善于利用我们熟知的 一些基本数列, 通过合理的联想、 转化而达到问题的解决.

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