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导数综合练习题(基础型)

时间:2014-04-09


1.曲线 y ? x ? 1 在点 ( ?1, 0) 处的切线方程为
3

A. 3x ? y ? 3 ? 0 C. 3x ? y ? 0

B. 3x ? y ? 3 ? 0 D. 3x ? y ? 3 ? 0

2.函数 y ? 2sin x 的导数 y ? ? A. 2cos x B. ?2cos x

r />x

C. cos x

D. ? cos x

3.已知点 P 在曲线 y ? 围是( A. [ ) B. [

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范 e ?1 , ) 4 2
C. (

3? ,? ) 4

? ?

? 3?
2 , 4

]


D.[0,

? ) 4

4.已知函数 f(x) (x∈R)满足 f ?( x) >f(x) ,则 A.f(2)< e 2 f(0) C.f(2)= e 2 f(0)



B.f(2)≤ e 2 f(0) D.f(2)> e 2 f(0)

5.对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足
< 2 f (1) A. f (0) ? f (2)

1? x ? 0 ,则必有 f ' ( x)





B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
2

> 2 f (1) C. f (0) ? f (2)

6 .若曲线 f ( x) ? a cos x 与曲线 g ( x) ? x ? bx ? 1 在交点 (0,m ) 处有公切线, 则

a ?b ? (A) ?1



) (B) 0 (C)1 ) (D) 2

2 x 7.函数 y ? 3 ? x e 的单调递增区是(

?

?

A. ? ??, 0 ? C. ? ??, 3 ? 和 ?1, ?? ? 8. 已知 f ( x) ?

B. ? 0, ?? ? D. ? ?3,1? )

1 2 ? x ? sin( ? x) , f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,则 f ?( x) 得图像是( 4 2

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9.设 a ? R ,函数 f ( x) ? e ? a ? e
x

?x

的导函数是 f ?( x) ,且 f ?( x) 是奇函数,则 a 的值

为( A. 1

) B. ?
2

1 2


C.

1 2

D. ?1

10.函数 f ( x) ? cos(x ? x) 导数是( A. ? sin(x ? x)
2

B. ? (2 x ? 1) sin(x ? x)
2 2

D. (2 x ? 1) sin(x ? x)

C. ? 2 x sin(x ? x)
2

11.已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数为 f′(x),当 x≠0 时,f′(x)+

f ( x) > x

0,若 a=

1 ?1? 1 f ? ? ,b=-2f(-2),c=ln f(ln 2),则下列关于 a,b,c 的大小 2 ?2? 2

关系正确的是( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>a>c 3 2 12. 函数 y=2x +1 的图象与函数 y=3x -b 的图象有三个不相同的交点,则实数 b 的取值范 围是( ) (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2) 13.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x),满足 f′(x)<f(x),且 f(x+2) x 为偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)<e 的解集为( ) (A)(-2,+∞) (B)(0,+∞) (C)(1,+∞) (D)(4,+∞) -x 14.函数 y=x·e 在 x∈[2,4]上的最小值为( ) (A)0 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。 (D)错误! 未找到引用源。 3 2 2 15.如图,其中有一个是函数 f(x)=错误!未找到引用源。x +ax +(a -1)x+1(a∈R,a≠0) 的导函数 f′(x)的图象,则 f(-1)为( )

(A)2

(B)-错误!未找到引用源。

(C)3
2

(D)-错误!未找到引用源。 )

16. 若函数错误! 未找到引用源。 在 R 上可导, 且 f ? x ? ? x ? 2 f ? ? 2? x ? m , 则 ( A.错误!未找到引用源。 B. 错误!未找到引用源。 用源。 D. 不能确定 2 17.函数 f(x)=3x +ln x-2x 的极值点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.无数个
2 ? 18.已知函数 y ? an x (an ? 0, n ? N ) 的图象在 x

C.错误!未找到引

? 1 处的切线斜率为 2an?1 ? 1

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( n ? 2, n ? N ) ,且当 n ? 1 时,其图象经过 ? 2,8 ? ,则 a7
*

?(

) D. 7 ).

A.

1 2

B. 5
3

C. 6

19.直线 y=kx+b 与曲线 y=x +ax+1 相切于点(2,3),则 b 的值为( A.-3 B.9 C.-15 D.-7

20.已知函数 f(x)的导函数 f′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取到极大值, 则 a 的取值范围是________. 21.已知函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则 f′(0)=________. 22.函数 f(x)=x ax ? x (a>0)的单调递减区间是________.
2

23.已知函数 f(x)=e +2x,若 f′(x)≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 2 24.若函数 f(x)=x(x-c) 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为 . 2 25.设 a>0,f(x)=ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为 [0, 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 ], 则 点 P 到 曲线 y=f(x) 的 对称 轴 的距 离 的取值 范 围 为 . 26.设 f(x)是偶函数,若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 1,则该曲线 在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为________. 27.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? ax ? 1 在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数 的
3 2

x

a

取值范围是

____ .

28.已知函数 f(x)=aln x+

1 2 x (a>0),若对定义域内的任意 x,f′(x)≥2 恒成立, 2

则 a 的取值范围是________. 29.若曲线 y=kx+ln x 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k=________. 30 .若函数 f(x) = ________. 31.若函数 f(x)=ln x- ______. 32. 已知函数 f(x)=x-

1 3 3 2 x - x + ax + 4 恰在 [ - 1,4] 上单调递减,则实数 a 的值为 3 2

1 2 ax -2x(a≠0)存在单调递减区间,则实数 a 的取值范围是 2

1 , g(x)=x2-2ax+4, 若任意 x1∈[0,1], 存在 x2∈[1,2], x ?1

使 f(x1)≥g(x2),则实数 a 的取值范围是______. 33 . 设 函 数 y ? f ?x ? 在 其 图 像 上 任 意 一 点 (x 0 , y 0 ) 处 的 切 线 方 程 为
2 y ? y 0 ? 3x0 ? 6 x0 ? x ? x0 ? , 且 f ? 3? ? 0 , 则 不 等 式

?

?

x ?1 ?0 的 解 集 f ? x?

为 . 3 34.函数 f(x)=x -3ax+b(a>0)的极大值为 6,极小值为 2,则 f(x)的单调递减区间 是______. 35.已知函数 f(x)=

1? x +ln x,若函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,则正实数 a ax
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的取值范围是______.

36.设函数 f ( x) ? e ? x ? 1, g ( x) ? e
x

2x

? x ? 7.

解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (4 分) 事 实 上 : 对 于 ?x ? R, 有 f ( x) ? 0 成 立 , 当 且 仅 当 x ? 0 时 取 等 号 . 由 此 结 论 证 明: (1 ? ) x ? e, ( x ? 0) .(6 分) 37.已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ,其中 a 为常数, e 为自然对数的底数. (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,且 f ( x) 在区间 (0, e] 上的最大值为 ?2 ,求 a 的值; (3)当 a ? ?1 时,试证明: x | f ( x) |? ln x ?

1 x

1 x. 2

f ( x) x ? 1 f ( x) b f ( x) (?2, 2) a
39.设函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ? 为奇函数,其图象在点 1, f ?1? 处的切线与直
3

?

?

线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f ? ? x ? 的最小值为 ?12 . (1)求 a, b, c 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调递增区间,并求函数 f ? x ? 在 ? ?1,3? 上的最大值和最小值. 40.设函数 f ? x ? ? ln x ? ax ?

1? a ?1. x

(1)当 a ? 1 时,求曲线 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程; (2)当 a ?

1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; 3 5 ,若对于 ?x1 ? [1,2], ?x2 ? [0, 12

(3)在(2)的条件下,设函数 g ? x ? ? x 2 ? 2bx ?

1],使 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,求实数 b 的取值范围. 41.已知 f ( x) ? ax ? 2 ln x , x ? (0 , e] , (其中 e 是自然对数的底)
2

(1) 若 f ( x) 在 x ? 1处取得极值,求 a 的值; (2) 若 f ( x) 存在极值,求 a 的取值范围 42.已知 f(x)=e -ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间;
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x

(2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围.

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参考答案 1.B 【解析】
' 2 试题分析:∵ y ? 3 x ,∴ k ? y
' x ??1

? 3 ,由点斜式知切线方程为: y ? 3 ? x ? 1? ,即

3x ? y ? 3 ? 0 .
考点:导数的几何意义,切线的求法. 2.A 【解析】
' 试题分析:根据导函数运算公式 y ? ? 2 sin x ? ? 2 cos x 可知 A 正确. '

考点:导函数的计算公式. 3.A 【解析】 试题分析:因为 tan ??y ? '

?4e x
2

? e x ? 1?

?4 ? 1 ex ? x ? 2 e

?4 ? ? ?? 1 ? 4

? [? 0 ? ,, )所 以

3? ? ? ? ? ,选 A. 4
考点:导数的几何意义、正切函数的值域. 4.D 【解析】 试题分析: 函数 f (x) (x∈R) 满足 f ?( x) ? f ( x) , 则函数为指数函数, 可设函数 f ( x) ? e ,
2x

则导函数 f ( x) ? 2e , 显然满足 f ?( x) ? f ( x) , f (2) ? e ,e f (0) ? e , 显然 e4 ? e2 ,
' 2x 4 2 2

即 f (2) ? e f (0) ,故选 B.本题入手点是根据函数导数运算法则,构造满足条件函数,从
2

而解题。 考点:函数与导数运算法则,考查学生的基本运算能力以及转化与化归能力. 5.C 【解析】 试题分析: 因为

1? x ? 0, 所以,1-x≥0 即 x≤1 时,f ?( x) <0, 1-x≤0 即 x≥1 时,f ?( x) >0, f ' ( x)

即函数 f ( x) 在 [1,+∞)上的单调增,在(-∞,1)上单调递减,所以 f(0)>f(1),f(2)>f(1) f(0)+f(2)>2f(1) 所以 f(0)+f(2)>=2f(1) ,故选 C. 考点:函数导数的性质 6.C 【解析】

x, g ??x ? ? 2 x ? b 可 得 k 切 ? f ??x ? | x ?0 ? g ??x ? | x ?0 , 即 试 题 分 析 : 由 f ??x ? ? ?a s i n
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? a sin 0 ? 0 ? b ,所以 b ? 0 ,又 m ? f ?0? ? g ?0? ? a cos0 ? 0 ? 1 ,所以 a ? 1 ,所以 a ? b ? 1.
考点:导数的几何意义 7. D 【解析】 试 题







y? ? ?2 xe x ? ? 3 ? x 2 ? e x ? ? ? x 2 ? 2 x ? 3? e x ? ? ? x ? 1?? x ? 3? e x , y? ? 0 ? ?3 ? x ? 1 , 所
以函数的递增区间为: ? ?3,1? . 考点:导数的运算及应用. 8.A 【解析】

1 1 1 2 ? x ? sin( ? x) ,∴ f ( x) ? x 2 ? cos x ,∴ f ?( x) ? x ? sin x , 4 2 4 2 1 1 1 因为 f ?( x) ? x ? sin x 是奇函数, f ??( x) ? ? cos x , f ??(0) ? k切 ? ? ? 0 ,选 A. 2 2 2
试题分析:∵ f ( x) ? 考点:求导公式. 9.A 【解析】 试题分析:∵,要 f ?( x) 是奇函数,则, ∴,即,∴,故选 A. 考点:求导法则,奇函数的定义. 10.B 【解析】 试 题 分 析






2


2



f(

?

x)2

?c

x

o?

x s2

? ( f

? x)

? ' x , 故可知答案为

(

? x )

B. 考点:导数的计算 点评:主要是考查了三角函数的导数的求解,属于基础题。 11.D 【解析】 由 f′(x)+

f ( x) xf ?( x)+f ( x) ? xf ( x)? ? = = >0, 得函数 F(x)=xf(x)在区间(0, x x x

+∞)上是增函数,又 f(x)是 R 上的奇函数,所以 F(x)在 R 上是偶函数,所以 b=F(-2)=

F(2)>a=F ?

?1? ? >0,c=-F(ln 2)<0.故选 D. ?2?

12.B 3 2 【解析】由题意知方程 2x +1=3x -b, 3 2 即 2x -3x +1=-b 有三个不相同的实数根, 3 2 令 f(x)=2x -3x +1,
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即函数 y=f(x)=2x -3x +1 与直线 y=-b 有三个交点. 2 由 f'(x)=6x -6x=6x(x-1)知,函数 y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在 (1,+ ∞ ) 上 单 调 递 增 , 故 f(0) 是 函 数 的 极 大 值 ,f(1) 是 函 数 的 极 小 值 , 若 函 数 3 2 y=f(x)=2x -3x +1 与直线 y=-b 有三个交点,则 f(1)<-b<f(0),解得-1<b<0. 13.B 【解析】因为 f(x+2)为偶函数, 所以 f(2-x)=f(x+2),因此 f(0)=f(4)=1. 令 h(x)=错误!未找到引用源。,则原不等式即为 h(x)<h(0). 又 h'(x)=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 依题意 f'(x)<f(x),故 h'(x)<0,因此函数 h(x)在 R 上是减函数,所以由 h(x)<h(0)得 x>0. 14.C -x 【解析】 y'=错误! 未找到引用源。 =错误! 未找到引用源。 ,当 x∈[2,4]时,y'<0,即函数 y=x· e 在[2,4]上单调递减,故当 x=4 时,函数有最小值为错误!未找到引用源。. 15.B 2 2 【解析】∵f'(x)=x +2ax+(a -1), ∴导函数 f'(x)的图象开口向上. 又∵a≠0,∴其图象必为(3). 由图象特征知 f'(0)=0,且对称轴 x=-a>0, ∴a=-1,故 f(-1)=-错误!未找到引用源。. 16.C 【解析】 试题分析:解:因为 f ? x ? ? x ? 2 f ? ? x ? x ? m
2

3

2

所以, f ? ? x ? ? 2 x ? 2 f ? ? x ? , f ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 f ? ? 2 ? ,? f ? ? 2 ? ? ?4 所以, f ? x ? ? x ? 8 x ? m ,图象抛物线开口向上,对称轴为 x ? 4 ,
2

所以 f ? 0 ? ? f ? 8 ? ? f ? 5 ? 故选 C. 考点:1、导数的求法;2、二次函数的性质. 17.A 【解析】函数定义域为(0,+∞), 且 f′(x)=6x+

1 6 x2 ? 2 x ? 1 -2= . x x
2

由于 x>0,g(x)=6x -2x+1 中 Δ =-20<0, 所以 g(x)>0 恒成立,故 f′(x)>0 恒成立. 即 f(x)在定义域上单调递增,无极值点. 18.B 【解析】
2 ? 试题分析:因为函数 y ? an x (an ? 0, n ? N ) 的图象在 x ' ? 1 处的切线斜率为 yx ?1 ? 2an .

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所以可得到 2an ? 2an ?1 ? 1 ,所以 an ? an ?1 ?

1 .又因为当 n ? 1 时,其图象经过 ? 2,8 ? ,即 2

)6 ? ( a6 ? a )5 ? ( a5 ? a)4 ? ? ?( ? a2? = a )1 ? 8 ? a1 ? 22 ,? a1 ? 2 . 所 以 a7 ? ( a7 ? a
1 6 ? ? 2 ? 5 .故选 B. 2
考点:1.函数的导数的几何意义.2.数列的思想.3.等差数列的通项公式.4 函数与数列的交 汇. 19.C 3 【解析】把点(2,3)代入 y=kx+b 与 y=x +ax+1 得:a=-3,2k+b=3, 2 又 k=y′|x=2=(3x -3)|x=2=9,∴b=3-2k=3-18=-15. 20.(-1,0) 【解析】根据函数极大值与导函数的关系,借助二次函数图象求解.因为 f(x)在 x=a 处取 到极大值, 所以 x=a 为 f′(x)的一个零点, 且在 x=a 的左边 f′(x)>0, 右边 f′(x)<0, 所以导函数 f′(x)的开口向下,且 a>-1,即 a 的取值范围是(-1,0). 21.-120 【解析】f′(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x- 5)]′,∴f′(0)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120. 22. ?

a1 ?

? 3a ? ,a ?4 ? ?
2

【解析】由 ax-x ≥0(a>0),解得 0≤x≤a,即函数 f(x)的定义域为[0,a],f′(x)=

3ax ? 4 x 2 2 ax ? x 2
? 3a ? ,a . ? ?4 ? ?

?2 x( x ?


3a ) 4 . 由 f′(x)≤0,解得 x≥ 3a ,因此 f(x) 的单调递减区间是 4 ax ? x 2

23.(-∞,2] x x 【解析】∵f'(x)=e +2,又 e >0 恒成立,∴f'(x)>2, 由题意,得 2≥a,即 a≤2. 24.6 【解析】x=2 是 f(x)的极大值点, 2 2 3 2 2 f(x)=x(x -2cx+c )=x -2cx +c x, 2 2 ∴f'(x)=3x -4cx+c , 2 ∴f'(2)=3×4-8c+c =0, 解得 c=2 或 c=6,当 c=2 时,不能取极大值, ∴c=6. 【误区警示】 本题易出现由 f'(2)=0 求出 c 后,不验证是否能够取到极大值这一条件,导致产 生增根. 25.[0,错误!未找到引用源。] 【解析】 ∵y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,错误! 未找到引用源。 ], ∴0≤f'(x0)≤1,即 0≤2ax0+b≤1.又∵a>0,
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∴-错误!未找到引用源。≤x0≤错误!未找到引用源。,∴0≤x0+错误!未找到引用源。≤ 错误!未找到引用源。,即点 P 到曲线 y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为[0,错误!未找 到引用源。]. 26. ?1 【解析】 试题分析:解:因为函数 f ? x ? 是偶函数,所以曲线 y ? f ? x ? 关于 y 轴对称,所以曲线在 点 1, f ?1? 处的切线与在点 ?1, f ? ?1? 的切线关于 y 轴对称.它们的斜率互为相反数;所 以该曲线在点 ?1, f ? ?1? 处的切线的斜率为 ?1 ,故答案应填 ?1 . 考点:偶函数的性质. 27. ?1 ? a ? 7 【解析】 试题分析:解:由 f ( x) ? x ? 2 x ? ax ? 1 ,得: f ?( x) ? 3x ? 4 x ? a
3 2
2

?

?

?

?

?

?

因为函数 f ( x) ? x ? 2 x ? ax ? 1 在区间(-1,1)上恰有一个极值点
3 2
2 所以导函数 f ?( x) ? 3x ? 4 x ? a 在区间(-1,1)内恰有一零点,

所以有 f ? ? ?1? f ? ?1? ? 0 ,即: ? ?1 ? a ?? 7 ? a ? ? 0 ,解得: ?1 ? a ? 7
2 当 a ? ?1 时, f ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ,令 f ? ? x ? ? 0 得: x1 ? ?1, x2 ? ?

1 3

当 ?1 ? x ? ?

1 1 时, f ? ? x ? ? 0; 当 ? ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0; 3 3
3 2

函数 f ( x) ? x ? 2 x ? ax ? 1 在区间(-1,1)上恰有一个极值点 所以 a ? ?1 适合题意. 当 a ? 7 时, f ?( x) ? 3x ? 4 x ? 7
2

,令 f ? ? x ? ? 0 得: x1 ? ?1, x2 ?

7 、 3

当 ?1 ? x ?

7 3 2 时, f ? ? x ? ? 0; 所以函数 f ( x) ? x ? 2 x ? ax ? 1 在区间(-1,1)上单调递 3

减,没有极值点, 所以 a ? 7 不适合题意. 综上: ?1 ? a ? 7 ,所以答案应填: ?1 ? a ? 7 考点:1、函数导数的求法;2、用导数研究函数的单调性与极值. 28.[1,+∞) 【解析】由题意得 f′(x)= 即 x= a 时取等号, ∵f′(x)≥2,∴只要 f′(x)min≥2 即可, 即 2 a ≥2,解得 a≥1.
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a a +x≥2 a ,当且仅当 =x, x x

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29.-1 【解析】y′|x=1=0,即当 x=1 时,k+ 30.-4 【解析】∵f(x)= x -
2

1 =k+1=0,解得 k=-1. x

1 3

3

3 2 x +ax+4, 2

∴f′(x)=x -3x+a.又函数 f(x)恰在[-1,4]上单调递减,∴-1,4 是 f′(x)=0 的两根, ∴a=-1×4=-4. 31.(-1,0)∪(0,+∞)

ax 2 ? 2 x ? 1 【解析】对函数 f(x)求导,得 f′(x)=- (x>0).依题意,得 f′(x)<0 在(0, x
+∞)上有解,即 ax +2x-1>0 在(0,+∞)上有解,∴Δ =4+4a>0 且方程 ax +2x-1=0 至少有一个正根,∴a>-1,又∵a≠0, ∴-1<a<0 或 a>0. 32.a≥
2 2

9 4
1

【解析】由于 f′(x)=1+

? x ? 1?

2

>0,因此函数 f(x)在[0,1]上单调递增,所以 x∈[0,1]
2

时,f(x)min=f(0)=-1.根据题意可知存在 x∈[1,2],使得 g(x)=x -2ax+4≤-1,即

x 5 x 5 + 能成立,令 h(x)= + ,则要使 a≥h(x)在 x∈[1,2] 2 2x 2 2x x 5 能成立,只需使 a≥h(x)min,又函数 h(x)= + 在 x∈[1,2]上单调递减(可利用导数 2 2x 9 9 判断),所以 h(x)min=h(2)= ,故只需 a≥ . 4 4
x2-2ax+5≤0,即 a≥
33. ?? ?,0? ? ?0,1? ? ?3,?? ? 【解析】

? ? 3 x? 6 x 试 题 分 析 : 由 题 意 , 可 得 函 数 y ? f ?x ? 的 导 函 数 为 f ' ? x ,故
2

f ? x ? ? x 3 ? 3x 2 ? d ,因为 f ? 3? ? 0 ,所以 d ? 0 ,故

x ?1 x ?1 x ?1 ? 3 ? 2 ? 0, 2 f ? x ? x ? 3x x ? x ? 3?

解得 x ? 3 或 x ? 1且 x ? 0 ,故不等式

x ?1 ? 0 的解集为 ? ??, 0 ? ? ? 0,1? ? ? 3, ?? ? . f ? x?

考点: 导数的几何意义;利用导数研究曲线上某点切线方程;解不等式. 34.(-1,1) 【解析】令 f′(x)=3x -3a=0,得 x= a 或- a .
2

f(x),f′(x)随 x 的变化情况如下表:

答案第 6 页,总 12 页

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x f′(x) f(x)
从而 ?

(-∞,- a ) + ?

- a 0 极大值

(- a , a ) - ? 0

a

( a ,+∞) + ?

极小值

?(? a )3 ? 3a(? a ) ? b ? 6 ?
3 ? ?( a ) ? 3a( a ) ? b ? 2

得?

?a ? 1 所以 f(x)的单调递减区间是(-1,1). ?b ? 4

35.[1,+∞)

1? x ax ? 1 +ln x,∴f′(x)= (a>0),∵函数 f(x)在[1,+∞)上为 ax ax 2 ax ? 1 增函数,∴f′(x)= ≥0 对 x∈[1,+∞)恒成立,∴ax-1≥0 对 x∈[1,+∞)恒成 ax 2 1 立,即 a≥ 对 x∈[1,+∞)恒成立,∴a≥1. x 36. (1) x ? ln 3 ; (2)答案见详解
【解析】∵f(x)= 【解析】 试题分析: (1)将函数 f ( x)和g ( x) 代入 f ( x) ? g ( x) ,可得指数不等式,利用分解因式法 解不等式即可; (2)利用 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,得 e x ? x ? 1 ,将 x 替换为 换即可. 试题解析: (1)由 f ( x) ? g ( x) ,得 e x ? x ? 1 ? e2 x ? x ? 7. 所以 e x ? 3 ,所以 x ? ln 3 ; (4 分) 即 e2 x ? e x ? 6. ? 0 ,

1 ,进行倒数代 x

(2)由已知当 x ? 0 时,e x ? x ? 1 ,而此时 (6 分) 考点:1、不等式解法;2、不等式证明.

1 1 1 ? 0 ,所以 e x ? 1 ? , 所以 e ? (1 ? ) x x x x

1

.

37. (1)单调增区间为 (0, ? ) ,单调减区间为 (?

1 a

1 (2) a ? ?e ; (3)证明过程详 , ??) ; a

见解析. 【解析】 试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等基础知 识,考查函数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,讨论 a 的正 负来求单调性,利用导数大于 0 或小于 0,通过解不等式来求函数的单调性;第二问,讨论

f ' ( x) ? 0 方程的根与已知区间的关系, 先判断函数的单调性, 再求最值, 列出方程解出 a 的
值;第三问,证明“ ? ”两边的两个函数的最值,来证明大小关系. 试题解析: (1) f ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

1分 3分

当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 恒成立,故 f ( x) 的单调增区间为 (0, ??)
答案第 7 页,总 12 页

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1 1 ,令 f '( x) ? 0 解得 x ? ? ,故 f ( x) 的单调增 a a 1 1 区间为 (0, ? ) , f ( x) 的单调减区间为 (? , ??) 5分 a a
当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 解得 0 ? x ? ? (2)由(I)知, ①当 ? 7分 ②当 0 ? ?

1 1 ? e ,即 a ? ? 时, f ( x) 在 ? 0, e? 上单调递增,∴ f ( x) max ? f (e) ? ae ? 1 ? 0 舍; a e 1 1 上递增,在 (? 1 上递减, ? e ,即 a ? ? 时, f ( x) 在 (0, ? 1 a) a , e) a e
9分

1 ,令 ?1 ? ln(? 1 ,得 a ? ?e f ( x) max ? f (? 1 a ) ? ?1 ? ln( ? a ) a ) ? ?2

(Ⅲ)即要证明 | f ( x) |?

ln x 1 ? , x 2

10 分 11 分

由(Ⅰ)知当 a ? ?1 时, f ( x) max ? f (1) ? ?1 ,∴ | f ( x) |? 1 , 又令 ? ( x) ?

ln x 1 1 ? ln x , ? , ? ?( x) ? x 2 x2

12 分 13 分 14 分

故 ? ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减,

1 1 ? ?1 e 2 ln x 1 即证明 | f ( x) |? ? . x 2
故 ? ( x ) ? ? ( e) ? 38. (1) (??, ? 【解析】

考点:1.利用导数判断函数的单调性;2.利用导数求函数最值.

5 1 (2) 1 ? ) ? (1, ??) ; ?1. 27 4a

试题分析: (1)函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,知 f ?(1) ? 0 ,再由函数 f ( x) 只有一个零点 和函数的图象特点判断函数 f ( x) 的极大值和极小值和 0 的大小关系即可解决,这是解决三 次多项式函数零点个数的一般方法,体现了数形结合的数形思想; (2)三次函数的导函数是 二次函数,要使三次函数在 R 不是单调函数,则要满足导数的 ? ? 0 ,要使函数 f ( x) 在区
2 2 间 (?2, 2) 上不是单调函数, 还要满足三次函数的导函数在 2ax ? ?1 ? 4a ? x ? 4a ? 2 ? 0

?

?

上至少有一个零点.
2 试题解析: (1) f ?( x) ? 3x ? 2 x ? a ,由 f ?(1) ? 1 ? a ? 0 ? a ? ?1 ,

所以 f ( x) ? x ? x ? x ? b , f ?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 1 ? 3( x ? 1)( x ? )
3 2

1 3

可知:当 x??

1 时 , f ?( x )? 0, f ( x) 单 调 递 增 ; 当 f ? x ? 时 , ? 3, ?? ? , 3
答案第 8 页,总 12 页

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2 2 ? x? ? 2ax ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a ? 2 ? ?

f ?? x? ?

2ax ? 1

? 0 单调递减;

当 ? 3, ?? ? 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? 2 ? (2an ?1 ? 2) , an ? 2an ?1 单调递增; 而 ? 3, ?? ? . 所 以 函 数 f ? x ? 只 有 一 个 零 点 ? 3, ?? ? 或 a ? 0 , 解 得 a ? 0 的 取 值 范 围 是

(?? ,?

5 ? ) (?? 1, . ) 27 2ax ? 1 ? 0 . 由 条 件 知 方 程 x ? 3 在 a ? 0 上 有 两 个 不 等 的 实 根 , 且 在

2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a 2 ? 2 ? ? 0 至少有一个根.由 ? 3, ?? ? ;
由 g ? x ? ? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? 4a 2 ? 2 使得: x ? 1 ? 综上可知: a ? 0 的取值范围是 1 ?

?

?

1 . 4a

1 ?1. 4a

考点:三次函数的零点、三次函数的单调性. 39.(1) a ? 2, b ? ?12, c ? 0 (2) 最大值是 18 ,最小值是 ?8 2 . 【解析】 试题分析:(1)利用函数为奇函数,建立恒等式 f ? ? x ? ? ? f ? x ?? x ? R ? ? c ? 0 ?①,切线与 已知直线垂直得 ? 3a ? b ? ?

1 ? ?1 ?②导函数的最小值得 b ? ?12 ?③.解得 a, b, c 的值; 6

(2)通过导函数求单调区间及最大值,最小值. 试题解析:(1)因为 f ? x ? 为奇函数, 所以 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 即 ?ax3 ? bx ? c ? ?ax3 ? bx ? c ,所以 c ? 0 , 因为 f ? ? x ? ? 3ax ? b 的最小值为 ?12 ,所以 b ? ?12 ,
2

2分

4分

又直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 的斜率为 因此, f ? ?1? ? 3a ? b ? ?6 , ∴ a ? 2, b ? ?12, c ? 0 .

1 , 6

6分

(2)单调递增区间是 ?? , ? 2 和

?

? ?

2, ?? .

?

9分 12 分

? f ? x? 在 ? ? ?1, 3 ? 上的最大值是 18 ,最小值是 ?8 2 .

考点:奇函数的性质,求函数的导数,及通过导数研究函数的单调区间及最值. 40. (1) f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ?2 ; (2)函数 f ? x ? 的单调增区间为 ?1, 2 ? ;单

答案第 9 页,总 12 页

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?1 ? +? ? ; 调减区间为 ? 0,1?, (3) ? , +? ? . ? 2, ?2 ? 【解析】

试题分析: (1)首先求函数 f ( x) 的定义域,利用导数的几何意义求得 f ? x ? 在 x ? 1 处的切 线的斜率,再利用直线的点斜式方程求得 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程; (2)分别解不等式
f ? ? x ? ? 0 , f ? ? x ? ? 0 可得函数的单调递增区间、单调递减区间; (3)由已知“对于 ?x1 ? [1,

2],?x 2 ? [0,1] 使 f ( x1 ) ≥ g( x2 ) 成立”? g ( x ) 在 ? 0 , 1? 上的最小值不大于 f ( x ) 在 ?1 , 2? 上 的最小值,先分别求函数 f ( x ) , g ( x ) 的最小值,最后解不等式 g ? x ?min ? f ? x ?min 得实数 b 的 取值范围.

+? ? , 试题解析:函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0,
f ' ? x? ? 1 1? a ?a? 2 x x
2分 3分

1分

(1)当 a ? 1 时, f ? x ? ? ln x ? x ? 1 ,? f ?1? ? ?2 ,

f ' ? x? ?

1 ?1 , x
4分 5分

? f ' ?1? ? 0 , ? f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ?2 .
(2) f
'

? x? ? ?

? x ? 1?? x ? 2 ? . x 2 ? 3x ? 2 ?? 2 3x 3x 2
6分 7分 8分

' ?当 0 ? x ? 1 ,或 x ? 2 时, f ? x ? ? 0 ;

当 1 ? x ? 2 时, f

'

? x? ? 0 .

1 +? ? . ?当 a ? 时,函数 f ? x ? 的单调增区间为 ?1, 2 ? ;单调减区间为 ? 0,1?, ? 2, 3

+? ? ,该步骤不得分) (如果把单调减区间写为 ? 0,1? ? ? 2,
1 时,由(2)可知函数 f ( x ) 在 (1, 2) 上为增函数, 3 2 ∴函数 f ( x ) 在[1,2]上的最小值为 f (1) ? ? 3
(3)当 a ?

9分

若对于 ?x1 ? [1,2], ?x 2 ? [0,1] 使 f ( x1 ) ≥ g( x2 ) 成立 ? g ( x ) 在 [0,1] 上的最小值不大 于 f ( x ) 在[1,2]上的最小值(*)
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10 分

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5 5 ? ( x ? b) 2 ? b 2 ? , x ? [0,1] 12 12 当 b ? 0 时, g ( x ) 在 [0,1] 上为增函数,
又 g( x ) ? x 2 ? 2bx ?

5 2 11 分 ? ? 与(*)矛盾 12 3 5 2 5 当 0 ? b ? 1 时, [ g( x )]min ? g(b) ? ?b 2 ? ,由 ? b 2 ? ? ? 及0? b ?1 12 3 12 1 得, ? b ? 1 12 分 2 [ g( x )]min ? g(0) ? ?
③当 b ? 1 时, g ( x ) 在 [0,1] 上为减函数, ? ? g ? x ?? ? 及 b ? 1得 b ? 1. 综上, b 的取值范围是 [ , ? ?)
min

? g ?1? ?

7 2 ? 2b ? ? 12 3
13 分 14 分

1 2

考点:1、导数的几何意义;2、应用导数求函数的单调区间;3、应用导数解决含参数不等 式的参数取值范围问题. 41.(1) 1; (2) a ? 【解析】 试题分析:(1) 首先求出 f ? ? x ? ? 2ax ?

1 e2 2 ,再根据若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值的条件求出 x

a 的值;
(2)由 f ? ? x ? ? 2ax ? 内有解的问题即可. 试题解析:

2 2ax 2 ? 2 = , 把函数的极值存在性问题转化为关于 x 的方程在 ? 0, e ? x x

? f ? x ? ? ax 2 ? 2 ln x, x ? ? 0, e?
? f ? ? x ? ? 2ax ?
因为

2 x

f ? x?

在 x ? 1 处取得极值 ,即: 2a ? 2 ? 0

所以,

f ? ?1? ? 0

所以, a ? 1

(2)由(1)知:

? f ? ? x ? ? 2ax ?

2 2ax 2 ? 2 ? x x

2 2 因为 0 ? x ? e , 0 ? x ? e

当 a ? 0 时,

f ?? x? ? 0



? 0, e? 上恒成立, f ( x) 在 (0 , e] 是减函数,无极值;
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0?a?

a?

1 e 2 时, f ? ? x ? ? 0 在 ? 0, e ? 上恒成立, f ( x) 在 (0 , e] 是减函数,无极值;



a a 1 (0 , ) ( , e] 2 f ( x ) a ,增区间是 a e 时, 的减区间是 .此时 f ( x) 有极值.

考点:导数在研究函数性质中的应用. 42. (1)当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当 a>0 时,f(x)的单调增区间为 (ln a,+∞). (2)(-∞,0] x x x 【解析】(1)∵f(x)=e -ax-1(x∈R),∴f′(x)=e -a.令 f′(x)≥0,得 e ≥a.当 a≤0 时,f′(x)>0 在 R 上恒成立;当 a>0 时,有 x≥ln a.综上,当 a≤0 时,f(x)的单调增区 间为(-∞,+∞);当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(ln a,+∞). x (2)由(1)知 f′(x)=e -a.∵f(x)在 R 上单调递增, x x ∴f′(x)=e -a≥0 恒成立,即 a≤e 在 R 上恒成立. x ∵x∈R 时,e >0,∴a≤0, 即 a 的取值范围是(-∞,0].

答案第 12 页,总 12 页


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