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一道全国联赛题的求解历程


?

课 外 园地 ?  

数 学通 讯 — — 2 O l 3 年第 1 、 2期 ( 上 半 月)  

1 1 3  

王安寓  
( 江苏 省 南 京 市 六 合 区程 桥 高 中 ,2 1 1 5 0 4 )  

题目

( 2 0 1

0 年全 国联赛 一试 第 2 小 题)已知 
.  

函 数 Y一 ( a c o s 。  一3 ) s i n J c 的最小 值 为 一3 , 则实数  a的取 值范 围是 


[ g (   ) ] 极 小 ≥ 一 3   ? n ‘   ? √   一 a ‘ √   +  
r = ■ 



自然 转 化 。 求三次 函数 的极值 ( 最值 )  

3 ^ /  

oⅡ  

≥ 一3 , 整理得 4 ( 口 一3 ) 。 ≤2 4 3 a , 即( n —  

初 看题 目, 换元 是必 然 的. 令 s i n x— t , 则原 函 

1 2 ) ( 2 a+ 3 )  ≤ 0 , 又 口> 3 , . ‘ . 3< 口≤ 1 2 .  

数 化为 g ( £ )一 ( 一a t  +口 一3 ) t , 即g ( £ ) 一一 a t 。 + 

综上可得 : 实数 口的取值范围是[ 一- 昙 _ , l 2 ] .  
反 思解 法一 , 求g ( £ ):一 a t 。 +( 口一 3 ) t , t ∈  

( 口一 3 ) t , t ∈[ 一1 , 1 ] , 转 化 为三 次 函数 的最 值 问 
题, 得如 下解 法.  

解 法一  令 s i n x— t , 则 原 函数化 为 g ( £ )一 
( 一 a t   0+ a一 3 ) t ,即 g( £ )一一 a t 。+ ( n一 3 ) t ,  

[ 一1 , 1 ]的最小 值必 须讨论 , 用导 数求极 值 进而 求  最值 , 思路 自然 , 但 运 算 量较 大 ( 特 别是 最 后 那 一 
个 不等 式 的求 解 ) . 有 没 有更 好 的方 法? 注 意 到 系 

t ∈[ 一1 , 1 ] .  
g   ( £ )一 一 3 a t 。+ a一 3 .  

数 的关 系 : 一n , n 一3 , 而最 小值 为 一3 , 它们之 间存 
在关 系 : ( 一n ) +( 口 一3 ) 一一3   1 即函数 g ( £ ) 的图象  恒过点 ( 1 , 一3 ) , 而且 奇 函数 g ( £ ) 的 图象还恒 过点 
( 一1 , 3 ) , ( O , O ) , 这些 对解题 有帮 助吗 ?  

( 1 ) 若 0 ≤ 口≤ 3 , 则 一n≤ 0且 口一3≤ 0 , 从 

而g   ( £ ) ≤0 , 所 以g ( f ) 在[ 一1 , 1 ] 上 单调 递减 , t 一 
1时 , g ( £ )有最小 值 g ( 1 )一一 3 , 适 合 题意 .  
( 2 ) 若口 <0 , 则 一Ⅱ >0 , n 一3 <0 , 令g   ( £ ) 一 

考 查 函数 的 图 象 , 不难发 现: 实际 上, 函 数 

g ( £ ) 在[ 一1 , 1 ] 上 的最小值 分为两 类 : ①g ( 1 ) 为最 
小值 , 且极 小值 ≥ 最小值 .  
二、 由数 思 图 。 寻求 数形结 合 

且 无 极值 或 极 小值 ≤ 最 小 值 ; ②g ( 1 ) 是 最  0 , 得 t l 一 一 √   , £ z 一 √   a - 3 , 令 g l ( £ ) > o , 得 £   小值 ,

<t   或t >t 2 , 所以g (   ) 在( 一∞ , t   ] 上 单调递增 , 在 

E t   , t   ] 上 单调递减 , 在[  , +。 。 ) 上单 调递增 , 当t — 
t  时 , g ( £ ) 取得极小值 .  

解法 二  仿解 法一转 化可得 : g ( £ )一一a t 。 +  ( a一 3 ) t 在[ 一1 , 1 ]上 有最小值 一 3 .  
容易发现 三次 函数 g ( £ )的 图 象 恒 过 点 ( 1 ,  


若[ £   ,  ]   [ _ _ 1 , 1 ] , 则g (   ) 在卜 1 , 1 ] 上单调递 
减, t 一1 时, g ( £ ) 有最小值 g ( 1 )一一3 , 适合题意 , 此 

3 ) , ( 一1 , 3 ) , ( O , O ) , 适 合 条 件 的 图 象 只 可能 是 

时 t z  √ ≮  ≥ 1 , 又 n < o , 解 得 一   3 ≤ n < o ;  
若[ £   , t   ]   [ 一1 , 1 ] , 则[ g ( £ ) ]   一g ( t 2 ) < 
g ( 1 )=一 3 , 不合题 意.   ( 3 ) 若 a> 3 , 则a 一3 >0 , 令g   ( £ ) 一0 , 得t l  

如 下三种 情形 :  
J  

J , J   I  

y|   I  

3  
●● 。 

一 一 √— ^ /     ’   2 一^ 一√ /   百 ’ ,   令g g t   ( £ )   >0 0 , ’ 得£ 1 导   1   <£  
一 一



1   O 


1  
2  

<t : , 所以g ( £ ) 在( 一o o , t   ] 上单调 递 减 , 在[  , t 。 ]  
上单 调递 增 , 在[ £   , +o o )上 单 调 递 减 , 当t —t   时,  ( £ ) 取 得极 小值 .  
? .



’   / ~   |   旦  


/ ^ 、   一  




3  
2  


1   l  


3  

3  

?

Ⅱ> 3   ._ a-   3




一 一

1∈ ( o
,  

) ' . . .   l∈ 
图 1   图2   图3  

( 一 √ 吉 , o ) ,   ∈ ( o , √ 吉 ) , 又 ‘ ? ‘ g ( 1 ) = : = 一 3   ? 只 须  

1 1 4  

数 学通 讯 — — 2 0 1 3年 第 1 、 2期 ( 上半月)  

? 课 外 园地 ?  

若g ( 1 ) 为最小值 , 且无 极值 或极小 值 ≤ 最小  值 ,则 函 数 的 图 象 如 图 1或 图 2 , 所 以 

四、 分离 参数法 是求解恒 成立 问题 的好方法 

降 次之 后 的 运 算量 要 小 了许 多 ! 我 们 也 可 以  考 虑用分 离参 数法求 解.  
方 法 四  仿解法 三得 a ( t 。 +£ ) + 3≥ 0对 一  当t 一0 , 一 1时 , a ( t 。 +£ ) + 3≥ 0显然 恒成 
立;  

{ 篡,   毒  ≤  ;  
若g ( 1 ) 是最 小值 , 且极小 值 ≥ 最小 值 , 则 函 
f   口> 3 ,  

1 ≤ t < 1 恒 成立 .  

如   以 1 l   g ( 一   ^ / —   - ) , ≥ ; ≥   一   ’  
综上 可得 : 实数 n的取值 范 围是 [ 一   , 1 2 ] .   这种解 法 实际上 是解 法 一 的缩 版 , 思维 量 、 运  算 量都没有 变 化 , 只是 写 的 少 一 点. 但, 也 给 我们 


当 0< t < 1时 , 0< t 。 +t < 2 , 所 以 a≥ 


, 2 -  



0 

0  

々 

‘   ) m a x , 而   < 一 号, 。 。 川≥ 一 号 ;  
当一 1 < t < 0时 , 一÷ ≤ t 。 +t < 0 , a≤ 
‘   m   而  的最小 值是 1 2 , ’   ?   ≤ 2 ;  

点启示 : ( 一n ) +( 口 一3 ) 一一3   1 即g ( £ ) :一3中 

综 上可 得 : 实数 n的取值范 围是 [ 一  , 1 2 ] .  
点评  方 法一 、 方法 二 自然 生成 , 导数、 图 象  为工具 , 体 现 了 函数 思想 , 运 算 量 虽然 大 , 但 是 是 
最基 本 的方法 , 方法 三 、 方 法 四转 化 为不 等式 的恒 

必 有 因式 t 一1 , 而 一1 ≤ t ≤ 1 , 于是 , 可将三 次函 

数 问题 降为二 次 函数 问题.  
三、 最值 变 不等 式 恒 成 立 。 巧 用 过定 点 。 降 为 

解 法三  仿上 得 g ( £ )一一a t 。 +( 口 一3 ) t , t ∈  

成 立 问题 , 利 用有界 性合 理 降次 , 才 导致 运算 量 的  减少, 方 法 三的二 次 函数 的最 值 、 方 法 四 的分离 参 
数 是最 简 洁的方 法 , 方法 三 、 方法 四属 于多 思 维少  计 算 —— 想 的多 想 的对 才 能少 计算 , 是新 课 改 提  倡 的方 法 .  

由 一a t 。 +( a 一3 ) t ≥一 3 , 有( £ 一1 ) [ 一a t ( t +  

1 ) 一3 ]≥ 0 .  
t = 1时 , 不 等式恒成 立 ;  

当一 1 ≤t < 1时 , 。 . 。 t 一 1< 0 , . 。 . 条件 化 为  a ( t   +£ ) + 3≥ 0对 一 1 ≤t < 1 恒 成立.  

这 道联 赛 题 重 在 对 思维 的考 查 , 灵 活 的转 化 
是解题 的 根本 , 对计 算 能 力 、 合理分类能力、 灵 活  应变 的能 力都有 较高要求 , 是一 道好题 .  
如果 我们 能 将 以上 的 想法 和 解 法 稍 加 整 理 ,  

设 厂 ( £ ) 一 口 ( £ 。 +   ) + 3 一 口 ( £ + 专 )   + 3 一 号 ,  
当 a一 0时 , 结论 显然 成立 ;  

在课 堂上 全盘 托 出, 那 么学 生 的收 获 将 不 仅 仅 在 
于 此道题 的解 法 , 他们 将看 到 知识 之 间 的沟 通 ; 他  们 将 明了一些 方法 ; 他们将 学 会如 何 思考 : 把 陌生 

当a >0 时, 因为  ( £ ) 的对称轴为t 一一去, 且 
厂 ( £ )恒过 点( 0 , 3 ) , ( 一1 , 3 ) , 所以, 在[ 一1 , 1 )上 ,  

的问题转 化 为熟 悉 的 问 题 , 充 分 调 动 所 学 过 的知 
识 和方 法 , 有 意积 累知识链 、 方法 链 , 那么, 我们 常 

I - f ( t ) ]  一 厂 ( 一 专 ) 一 3 一 号 ≥ 0 , 解 得 n ≤ 1 2 ,  
当口 <0 时, 因为 f ( t ) 的对称轴 为 t 一一  , 且 

说 的举 一反 三 , 触类旁通 , 不就 落 到 了实 处 吗? 这  里的小题 大 作 , 不 也 是 课 堂对 联 考 真题 的有 效 利  用吗 ? 特别是 对于 那些优 秀 的学 生 、 有 志 于参 与竞  赛 的学 生更 应 展示 多 样 化 的方 式 , 让 他们 体 验 再 
创造 的过 程 , 培养 他们 的创 造性 思维 能力.  

厂 ( £ ) 恒过 点 ( O , 3 ) , ( 一1 , 3 ) , 所 以, 在[ 一1 , 1 ]上 ,  

I - f ( t ) ]   i   :厂 ( 1 ) 一2 a +3 ≥0 , 解得 口 ≥一昔,  
( 收稿 日期 : 2 0 1 2 —0 6 —3 0 )  

综上可得: 实数 n 的取值范围 是[ ~妄, l 2 ] .  


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