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北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试文科数学


北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学测试题(文史类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

2013.1

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5

分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1. 设集合 A ? {x 0 ? x ? 2} ,集合 B ? {x log2 x ? 0},则 A ? B 等于

A. ?x | x ? 2?

B. ?x | x ? 0?

C. ?x | 0 ? x ? 2?

D. ?x |1 ? x ? 2?

2.已知 i 是虚数单位,若复数 (1 ? ai)(2 ? i) 是纯虚数,则实数 a 等于

A. 2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?2

3.“ k ? 1 ”是“直线 x ? y ? k ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交”的

开始

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

输入 x

4. 执行如图所示的程序框图.若输入 x ? 3 ,则输出 k 的值是 A. 3 C. 5 B. 4 D. 6

k ?0
x ? x?5
k ? k ?1

5. 已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 2 x ? y ? 1 ,则 xy 的最大值是

1 8 D. 8 6. 已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图
A. B. 如图所示,则其侧视图的面积为

1 4 C. 4

x ? 23?
是 输出 k



3 A. 4

3 B. 2

3

结束

C.

3 4

D. 1
1
正视图

正 视 图
俯视图

7. 已知函数 f ( x ) ? ? 值范围是

?e x ? a , x ? 0, ? 2 x ? 1, x ? 0

(a?R ) ,若函数 f ( x ) 在 R 上有两个零点,则 a 的取

A. ? ??, ?1?

B. ? ??,0?

C. ? ?1,0?

D. ? ?1,0?

1 2 8. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, P ,P 分别为线段 AB ,BD1(不包括端点) 1 1 2 上的动点,且线段 P 1 P 平行于平面 A ADD1 ,则四面体 PP AB1 的体积的最大值是 2 1

A.

1 24

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 2

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列 1, a,9 是等比数列,数列 1, b1 , b2 ,9 是等差数列,则

a b1 ? b2

的值为

.

C b c 且 c a c 10.在 ?ABC 中, A ,B , 所对的边分别为 a , , , b2 ? 2 ? 2 ?b 角

, A= 则



? x ? y ? 1 ? 0, ? 11.若关于 x , y 的不等式组 ? x ? 1 ? 0, ( a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 2, ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
则 a 的值为 . 12.已知双曲线中心在原点,一个焦点为 F1 (? 5,0) ,点 P 在双曲线上,且线段 PF1 的中点 坐标为( 0 , 2 ) ,则此双曲线的方程是 ,离心率是 . 13.在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个三等 分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?



14. 将连续整数 1, 2,?, 25 填入如图所示的 5 行 5 列的表格中,使每一 行的数字从左到右都成递增数列,则第三列各数之和的最小值 为 ,最大值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? cos 2 ? 1 . 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [ ,

? ?? ] 上的最小值. ? ?

16. (本小题满分 14 分)
E D 在长方体 ABCD-A B1C1D1 中, AA=AD=2 , E 是棱 CD 上的一点. 1 1 C

(Ⅰ)求证: AD1 ? 平面 A1B1D ; (Ⅱ)求证: B1E ? AD1 ;

A

B

D1

(Ⅲ)若 E 是棱 CD 的中点,在棱 AA1 上是否存在点 P , 使得 DP ∥平面 B1 AE ?若存在,求出线段 AP 的长;
A1 B1

C1

若不存在,请说明理由. 17. (本小题满分 13 分) 某中学举行了一次“环保知识竞赛” 全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成 , 绩情况, 从中抽取了部分学生的成绩 (得分取正整数, 满分为 100 分) 作为样本进行统计. 请 根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图 (如图所示) 解决下列问题: 频率分布表
0.040

频率 组距

频率分布直方图

组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组

分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计

频数 8 a 20 ▓ 2 ▓

频率
x

0.16 ▓ 0.40 0.08 b ▓
50 60 70 80 90 100 0.008 y

▓ ▓

成绩(分)

(Ⅰ)写出 a, b, x, y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到 广场参加环保知识的志愿宣传活动. (ⅰ)求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率; (ⅱ)求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率.

18. (本小题满分 13 分)
1 已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x (a ?R) . x

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.

19. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1? t ? 0 ? 相交于 E , F 两点,与 x 轴 已知直线 l : x ? my ? 1(m ?R) 与椭圆 C : 9 t
相交于点 B ,且当 m ? 0 时, EF ? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 A 的坐标为 (?3, 0) ,直线 AE , AF 与直线 x ? 3 分别交于 M , N 两点. 试判断以 MN 为直径的圆是否经过点 B ?并请说明理由. 20. (本小题满分 13 分) 将正整数 1, 2,3, 4,?, n ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,计算各
2

8 . 3

行和各列中的任意两个数 a , b( a ? b ) 的比值

a , 称这些比值中的最小值为这个数表的“特 b

征值”. (Ⅰ)当 n ? 2 时,试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值” ; (Ⅱ)若 aij 表示某个 n 行 n 列数表中第 i 行第 j 列的数( 1 ? i ? n , 1 ? j ? n ) ,且满足

?i ? ( j ? i ? 1)n, i ? j, 请分别写出 n ? 3, 4,5 时数表的“特征值” ,并由此归 aij ? ? ?i ? (n ? i ? j ? 1)n,i ? j,
纳此类数表的“特征值” (不必证明) ; (Ⅲ)对于由正整数 1, 2,3, 4,?, n 排成的 n 行 n 列的任意数表,若某行(或列)中,存在 两个数属于集合 {n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n } , “特征值” 记其 为
2 2 2
2

?

, 求证: ? ?

n ?1 . n

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数学测试题答案(文史类)
一、选择题:

2013.1

题号 答案

(1) D

(2) A (10)

(3) A (11)

(4) C

(5) B (12)

(6) C

(7) D (13)

(8) A (14)

二、填空题: 题号 (9) 答案

3 10

? 3

3

y2 x ? ? 1; 5 4
2

4

45 ; 85

(注:两空的填空,第一空 3 分,第一空 2 分) 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin

x x 1 ? cos x cos ? ?1 2 2 2 1 1 1 ? sin x ? cos x ? ????????????????2 分 2 2 2

?

2 ? 1 sin( x ? ) ? . 2 4 2

?????????????????4 分

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 2? . 由 2k ? ?

????????????????6 分

? ? 3? ? 5? ? x ? ? 2k ? ? , k ? Z ,则 2k ? ? ? x ? 2k ? ? . 2 4 2 4 4 ? 5? ] ,k ?Z . 则函数 f ( x ) 单调减区间是 [2k ? ? , 2k ? ? ??????9 分 4 4 ? ?? ? ? 7? (Ⅱ)由 ? x ? ,得 ? x ? ? . ???????????????11 分 ? ? 2 4 4
则当 x ?

? 3? 5? 2 ?1 ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . ???????13 分 4 2 4 2

(16) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)在长方体 ABCD-A B1C1D1 中, 1 因为 A1B1 ? 面 A D1DA , 1 所以 A B1 ? AD1 . 1 ????????????????????????2 分

在矩形 A D1DA 中,因为 AA=AD=2 ,所以 AD1 ? A D .????????4 分 1 1 1 所以 AD1 ? 面 A1B1D . ?????????????????????5 分

(Ⅱ)因为 E ? CD ,所以 B1E ? 面 A B1CD , 1 由(Ⅰ)可知, AD1 ? 面 A B1CD , 1 ????????????????7 分

所以 B1E ? AD1 . ?????????????????????????8 分

(Ⅲ)当点 P 是棱 AA1 的中点时,有 DP ∥平面 B1 AE . ?????????9 分 理由如下: 在 AB1 上取中点 M ,连接 PM,ME . 因为 P 是棱 AA1 的中点, M 是 AB1 的中点, 所以 PM ∥ A1B1 ,且 PM ? 又 DE ∥ A1B1 ,且 DE ?
D E C

1 A1B1 .??10 分 2
A B

1 A1 B1 . 2 所以 PM ∥ DE ,且 PM ? DE , 所以四边形 PMED 是平行四边形,
所以 DP ∥ ME .??????????11 分 又 DP ? 面 B1 AE , ME ? 面 B1 AE ,

P

D1

M C1

A1

B1

所以 DP ∥平面 B1 AE . ??????????????????????13 分 此时, AP ?

1 A1 A ? 1 . ??????????????????????14 分 2

(17) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可知, a ? 16, b ? 0.04, x ? 0.032, y ? 0.004 .????????4 分 (Ⅱ) (ⅰ)由题意可知,第 4 组共有 4 人,记为 A, B, C , D ,第 5 组共有 2 人,记为 X , Y . 从 竞 赛 成 绩 是 80 分 以 上 ( 含 80 分 ) 的 同 学 中 随 机 抽 取 2 名 同 学 有

A B A C A D B,C B D C D , , BX ,Y , CX , CY , DX , DY , XY , , , , , A X A BY
共 15 种情况.????????????????????????????6 分 设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为事件 E , ????7 分 有 AX , AY , BX , BY , CX , CY , DX , DY , XY 共 9 种情况. ?????8 分

所以随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率是 P ( E ) ? 答:随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率

9 3 ? . 15 5

3 . ?????10 分 5
,

(ⅱ) “随机抽取的 2 名同学来自同一组” 设 为事件 F , A C A, CB DX, 有 BA DB ,DC Y , ,

共 7 种情况. ????????????????????????????11 分 所以 P ( F ) ?

7 15 7 . ????????????13 分 15

答:随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是 (18) (本小题满分 13 分)

解: f ?( x) ? a(1 ?

1 2 ax2 ? 2x ? a , )? ? x2 x x2

?????????????????1 分

令 h( x) ? ax2 ? 2x ? a .
1 1 2 (Ⅰ)当 a ? 2 时,函数 f ( x) ? 2( x ? ) ? 2ln x , f (1) ? 0 , f ?( x) ? 2(1 ? 2 ) ? . x x x

曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f ?(1) ? 2 . ??????????2 分 从而曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1) , 即 2x ? y ? 2 ? 0 . ????????????????????????4 分

(Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . 设 h( x) ? ax2 ? 2x ? a , (1)当 a ? 0 时, h( x) ? ax2 ? 2x ? a ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减.?????6 分 (2)当 a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a 2 , (ⅰ)若 0 ? a ? 1 , 由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得 0 ? x ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? ;?????8 分 a a

由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 .?????????9 分 ?x? a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a
??????????????11 分

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,

单调递减区间为 (

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ). a a

(ⅱ)若 a ? 1 , h( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增. ????????????????????????13 分 (19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 m ? 0 时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,设点 E 在 x 轴上方,

? x2 y 2 2 2t 2 2t ? 1, ? ? 由? 9 解得 E (1, ), F (1, ? ). t 3 3 ? x ?1 ?
所以 EF ?

4 2t 8 ? ,解得 t ? 2 . 3 3

?????????????????3 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 9 2

??????????????????4 分

? x2 y 2 ? 1, ? ? (Ⅱ)由 ? 9 得 (2m2 ? 9) y 2 ? 4my ? 16 ? 0 ,显然 m ? R . 2 ? x ? my ? 1 ?
设 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

????5 分

?4m ?16 , y1 y2 ? . 2 2m ? 9 2m 2 ? 9

?????6 分

x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 .
又直线 AE 的方程为 y ?

y1 ( x ? 3) , x1 ? 3

y1 ? ( x ? 3), 6 y1 ?y ? x1 ? 3 解得 M (3, ), ? x1 ? 3 ? x?3 ?
同理得 N (3,

6 y2 ). x2 ? 3 6 y1 ???? 6 y2 ), BN ? (2, ) , ????????????????9 分 x1 ? 3 x2 ? 3 6 y1 6 y2 ) ? (2, ) x1 ? 3 x2 ? 3
36 y1 y2 36 y1 y2 ? 4? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) (my1 ? 4)(my2 ? 4)

所以 BM ? (2,

???? ?

又因为 BM ? BN ? (2,

???? ??? ? ?

? 4?

?

4(my1 ? 4)(my2 ? 4) ? 36 y1 y2 m2 y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16

?

?16(4m2 ? 36) ? 16 ? 4m2 ? 16 ? 4(2m2 ? 9) ?32m2 ? 16(2m2 ? 9)
?64m2 ? 576 ? 64m2 ? 128m2 ? 576 ? 0 .???????13 分 9

?

所以 BM ? BN ,所以以 MN 为直径的圆过点 B . ????????????14 分 (20) (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)显然,交换任何两行或两列,特征值不变.

???? ?

????

可设 1 在第一行第一列, 考虑与 1 同行或同列的两个数只有三种可能,2, 3 或 2, 4 或 3, 4 . 得到数表的不同特征值是 (Ⅱ)当 n ? 3 时,数表为

3 4 或 . 2 3
7 5 3 1 8 6 4 2 9

?????????????????3 分

此时,数表的“特征值”为 . 当 n ? 4 时,数表为
13 10 7 4 1 14 11 8 5 2 15 12

4 3

????????????????????4 分
9 6 3 16

此时,数表的“特征值”为
21 17 13 9 5

5 . 4
1 22 18 14 10 6 2 23 19 15

?????????????????????5 分
11 7 3 24 20 16 12 8 4 25

当 n ? 5 时,数表为

此时,数表的“特征值”为 猜想“特征值”为

6 . 5

??????????????????????6 分

n ?1 . ?????????????????????????7 分 n

(Ⅲ)设 a , b ( a ? b )为该行(或列)中最大的两个数,则 ? ?

a n2 ? 2 , b n ? n ?1

因为

n2 n ? 1 n3 ? (n3 ? 1) 1 ? ? ?? ? 0, 2 2 2 n ? n ?1 n n(n ? n ? 1) n(n ? n ? 1)

所以

n2 n ?1 n ?1 ? . ????????????????13 分 ,从而 ? ? 2 n n ? n ?1 n


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