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求数列通项公式及前n项和


(一)求数列通项公式
1)给出前 n 项和求通项公式 1、⑴ Sn ? 2n 2 ? 3n ; ⑵ Sn ? 3n ? 1. 2、设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? …+3 an ?
2 n-1

n (n ? N * ) ,求数列 ?an ? 的通项公式 3

2)给出递推公式求 通项公式 a

、⑴已知关系式 an?1 ? an ? f (n) ,可利用迭加法或迭代法 ; 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式;

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

b、已知关系式 an?1 ? an ? f (n) ,可利用迭乘法. an ? 例、已知数列 ?an ? 满足:

an an ?1 an ?2 a a ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ?2 an ?3 a2 a1

an n ?1 ? (n ? 2), a1 ? 2 ,求求数列 ?an ? 的通项公式; an?1 n ? 1

c、构造新数列 1°递推关系形如“ an?1 ? pan ? q ” ,利用待定系数法求解

例、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

2°递推关系形如“ an?1 ? pan ? q ” ,两边同除 pn?1 或待 定系数法求解
n

例、
[来源:Zxxk.Com]

a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3n ,求数列 ?an ? 的通项公式.

3°递推已知数列 ?an ? 中,关系形如“ an?2 ? p ? an?1 ? q ? an ” ,利用待定系数法求解 例、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? 3an?1 ? 2an ,求数列 ?an ? 的通项公式.
[来源:学科网 ZXXK]

4°递推关系形如" an ? pan?1 ? qan an? ( 1 p,q ? 0),两边同除以 an an?1

例1、 已知数列 ?an ? 中, an ? an?1 ? 2an an? ( an ? 的通项公式. 1 n ? 2),a1 ? 2 ,求数列 ?

例 2、数列 ?an ?中, a1 ? 2, an ?1 ?

2a n (n ? N ? ) ,求数列 ?an ?的通项公式 . 4 ? an

d、给出关于 Sn 和 am 的关系 求数列 ?bn ?的通项公式.

例 1、 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? a, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) , 设 bn ? Sn ? 3n ,

练习: 1.已知数列 {an } (1) 求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式 . 中a1 ? 1,且 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,
源:学 科网 ZXXK] [来

2.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

3.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

]

4.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式;

[来源:学科网]

5.已知数列{an}满足: an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

(二)证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差 例 1、 已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,bn ?

[来源:学科网 ZXXK]

Sn ( n ? N ? ) .求证: 数列 ?bn ?是等差数列. n

例 2、已知数 列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2) ,a1= 求证:{

1 . 2

1 }是等差数列; Sn

2)证明数列等比

?1? 例 1、设{an}是等差数列,bn= ? ? ,求证:数列{bn}是等比数列; ? 2?

an

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例2、 数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,若 an+Sn=n.设 cn=an-1, 求证:数列{cn }是等比数列;
[来源:学科网]

例 3、已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 1 , Sn ? 4an ? 2 . ⑵设数列 ?cn ?中, cn ?

⑴设数列 ?bn ?中, bn ? an?1 ? 2an ,求证: ?bn ?是等比数列;

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⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和.

an ,求证: ?cn ?是等差数列; 2n

(三)求数列的前 n 项和
1)公式法, 2)拆解求和法. 例 1、求数列 {2n ? 2n ? 3} 的前 n 项和 Sn . 例 2、求和:2×5+3×6+4×7+?+n(n+3) 练习:求和: (1) 1? 3, 2 ? 4,3 ? 5,

, n(n ? 2),

2 , 3 , ?, (n ? (2)求数列 1 ,
[来源:学科网]

1 2

1 4

1 8

1 ), ? 的前 n 项和 Sn . 2n

3)裂项相消法,数列的常见拆项有: (1)

1 1 1 1 1 ? ( ? ); ? n ?1 ? n ; (2) n( n ? k ) k n n ? k n ? n ?1 1 1 1 ? ??? 例 1、求和:S =1+ 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n
例 2、求和:

1 1 1 1 ? ? ??? . 2 ?1 3? 2 4? 3 n ?1 ? n

练习: (1)求和 S n ?

22 42 (2n) 2 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)
, 1 , n(n ? 2)

(2)求和:
4)倒序相加法,

1 1 1 , , , 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

x2 例、设 f ( x ) ? ,求: 1 ? x2 1 1 ⑴ f (1 4 ) ? f ( 3 ) ? f ( 2 ) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ; 1 1 1 ⑵ f ( 2010 ) ? f ( 2009 ) ? ?? f ( 1 ) ? f (2010 ). 3 ) ? f ( 2 ) ? f (2) ? ? ? f (2009
0 1 2 n 练习: (1)求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n
2 2 2 (2)求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ?

? sin 2 89 .

5)错位相减法, 例、若数列 ?an ?的通项 an ? (2n ? 1) ? 3n ,求此数列的前 n 项和 Sn .
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练习: (1)已知数列 1,3a,5a ,?, (2n ? 1)a
2

n?1

(a ? 0) ,求前 n 项和。

(2)求数列前 n 项和: a, 2a ,3a ,

2

3

, nan ,


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