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高考椭圆大题专题分类

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高考椭圆大题专题分类
一、求椭圆的方程以及面积 x2 y2 6 1.已知椭圆 G:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 3 ,右焦点为(2 2,0).斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. 解析 c 6 (1)由已知得 c=2 2,a= 3 .解得 a=2 3,

又 b2=a2-c2=4. x2 y2 所以椭圆 G 的方程为12+ 4 =1. (2)设直线 l 的方程为 y=x+m. y=x+m, ? ? 由? x2 y2 得 4x2+6mx+3m2-12=0.① + =1 ? ?12 4 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2), AB 中点为 E(x0,y0), 则 x0= x1+x2 3m m 2 =- 4 ,y0=x0+m= 4 .

因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB. m 2- 4

所以 PE 的斜率 k=

3m=-1.解得 m=2. -3+ 4

此时方程①为 4x2+12x=0.解得 x1=-3,x2=0. 所以 y1=-1,y2=2.所以|AB|=3 2. 此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= 1 9 所以△PAB 的面积 S=2|AB|·d=2. y2 x2 ?x1 y1? 2.(2013· 烟台一模)设 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)上两点,已知 m=? b , a ?,n ? ? 3 ?x2 y2? =? b , a ?,若 m· n=0 且椭圆的离心率 e= 2 ,短轴长为 2,O 为坐标原点. ? ? |-3-2+2| 3 2 = 2 , 2

(1)求椭圆的方程; (2)△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 解析 a2-b2 c 3 (1)∵2b=2,∴b=1,∴e=a= a = 2 .

y2 2 ∴a=2,c= 3.∴椭圆的方程为 4 +x =1. (2)①当直线 AB 的斜率不存在,即 x1=x2 时, y1=-y2,由 m· n=0 得 又
2 2 y1 2 x1- =0,∴y1 =4x2 1.

4

2 2 4x1 A(x1,y1)在椭圆上,∴x1+ =1,

4

2 1 1 ∴|x1|= 2 ,|y1|= 2,△AOB 的面积 S=2|x1||y1-y2|=2|x1|·2|y1|=1. y2 2 ②当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为 y=kx+b(其中 b≠0),代入 4 +x =1,得 (k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.

Δ=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)=16(k2-b2+4),
-2kb b2-4 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k +4 k +4 y1y2 由已知 m· n=0 得 x1x2+ 4 =0, (kx1+b)(kx2+b) ∴x1x2+ =0,代入整理得 2b2-k2=4,代入 Δ 中,满足题意, 4 |b| 4k2-4b2+16 1 |b| 1 4b2 2 ∴△AOB 的面积 S=2· |AB|=2|b|· (x1+x2) -4x1x2= = 2|b| =1. k2+4 1+k2 ∴△AOB 的面积为定值 1 x2 y2 3 3、已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 .双曲线 x2-y2=1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点, 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程。 解析 3 c 3 2 3 2 2 3 2 1 因为椭圆的离心率为 2 , 所以 e=a= 2 , c =4a , c =4a =a2-b2, 所以 b2=4a2, 即 a2=4b2.

x2 x2 x2 x2 5x2 4 2 双曲线的渐近线方程为 y=± x, 代入椭圆方程得a2+b2=1, 即4b2+b2=4b2=1, 所以 x2=5b2, x=± 5 2 ? 4 2 ?2 b,y2=5b2,y=± b,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆 C 的交点坐标为? b, b?,所以四边 5 ? ? 5 5 2 2 16 2 x2 y2 2 形的面积为 4× b× b= 5 b =16,所以 b =5,所以椭圆方程为20+ 5 =1. 5 5

二、求动点的轨迹方程 4 1.如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|. 5 (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5 解 (1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),
P

?x =x, 由已知得? 5 y = y, ? 4
P

?5 ? ∵P 在圆上,∴x2+? y?2=25, ?4 ?

即 C 的方程为 + =1. 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3),设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 5 5 4 x2 ?x-3?2 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 + =1, 5 25 25 即 x2-3x-8=0.∴x1= 3- 41 3+ 41 ,x2= . 2 2

x2

y2

∴线段 AB 的长度为|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = = 16? ? ?1+ ??x1-x2?2 25? ? 41 41 ×41= . 25 5

三、求椭圆的焦距以及方程 x2 y2 1.设 F1,F2 分别为椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点, 直线 l 的倾斜角为 60° ,F1 到直线 l 的距离为 2 3. (1)求椭圆 C 的焦距; → =2F → (2)如果AF 2 2B,求椭圆 C 的方程. 解 (1)设椭圆 C 的焦距为 2c,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c=2 3,故 c=2.

所以椭圆 C 的焦距为 4. → =2F → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由AF ,知 y1<0,y2>0, 2 2B及 l 的倾斜角为 60° 直线 l 的方程为 y= 3(x-2).

?y= 3?x-2?, ? 由?x2 y2 2+ 2=1 ? ?a b

消去 x,

整理得(3a2+b2)y2+4 3b2y-3b4=0. - 3b2?2+2a? - 3b2?2-2a? 解得 y1= ,y2= . 3a2+b2 3a2+b2 → =2F → 因为AF 2 2B,所以-y1=2y2, 即 3b2?2+2a? - 3b2?2-2a? = 2· ,解得 a=3. 3a2+b2 3a2+b2

而 a2-b2=4,所以 b2=5. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 9 + 5 =1.

四、求椭圆方程及定点在椭圆上
x2 y2 3 1. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1),Q(0,2).设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T.求证:点 T 在椭圆 C 上. (1)解 由题意知,b= 2 = 2. 2 ? c? 1 1-?a?2=2. ? ?

c 3 b 因为离心率 e=a= 2 ,所以a= 所以 a=2 2. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 8 + 2 =1. (2)证明

由题意可设 M,N 的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0), ① ②

y0-1 则直线 PM 的方程为 y= x x+1, 0 直线 QN 的方程为 y= 法一 y0-2 x+2. -x0 3y0-4 x0 ,y= , 2y0-3 2y0-3

联立①②解得 x=

3y0-4? x2 ? x0 y2 0 0 2 , ?.由 + =1,可得 x2 即 T? 0=8-4y0. 8 2 2 y - 3 2 y - 3 ? 0 0 ?

2 2 1? x0 ?2 1?3y0-4?2 x0+4?3y0-4? ?= 因为8?2y -3? +2? 8?2y0-3?2 ? 0 ? ?2y0-3? 2 2 8-4y2 32y2 0+4?3y0-4? 0-96y0+72 8?2y0-3? = = = =1, 8?2y0-3?2 8?2y0-3?2 8?2y0-3?2

所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上. 法二 设 T(x,y),联立①②解得 x0= 3y-4 x ,y0= . 2y-3 2y-3

2 x2 1? x ? 1?3y-4?2 0 y0 ? =1. 因为 8 + 2 =1,所以8?2y-3?2+2? ? ? ?2y-3? 2 x2 ?3y-4? 整理得 8 + 2 =(2y-3)2,

x2 9y2 x2 y2 2 所以 8 + 2 -12y+8=4y -12y+9,即 8 + 2 =1. 所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上.

五、求椭圆的离心率及椭圆与直线的关系
1.如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1,F2,线段 OF1, OF2 的中点分别为 B1,B2,且△AB1B2 是面积为 4 的直角三角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程; (2)过 B1 作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2⊥QB2,求直线 l 的方程. 解 x2 y2 (1) 如图,设所求椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0),右焦点为 F2(c,0).

因△AB1B2 是直角三角形, 又|AB1|=|AB2|, 故∠B1AB2 为直角, c 因此|OA|=|OB2|,得 b=2. 结合 c2=a2-b2 得 4b2=a2-b2, c 2 故 a2=5b2,c2=4b2,所以离心率 e=a=5 5. 在 Rt△AB1B2 中,OA⊥B1B2, 1 c 故 S△AB1B2=2· |B1B2|· |OA|=|OB2|· |OA|=2· b=b2.由题设条件 S△AB1B2=4 得 b2=4, 从而 a2=5b2=20. x2 y2 因此所求椭圆的标准方程为:20+ 4 =1. (2)由(1)知 B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程为 x=my-2.代 入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1,y2 是上面方程的两根,

4m 16 因此 y1+y2= 2 ,y1· y2=- 2 , m +5 m +5 → → 又B 2P=(x1-2,y1),B2Q=(x2-2,y2), → → 所以B B 2P· 2Q=(x1-2)(x2-2)+y1y2 =(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16 16?m2+1? 16m2 16m2-64 =- - 2 +16=- 2 , m2+5 m +5 m +5 → → 由 PB2⊥QB2,得B B 2P· 2Q=0, 即 16m2-64=0,解得 m=± 2. 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为 x+2y+2=0 和 x-2y+2=0.


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