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函数单调性、奇偶性及周期性(BK)


函数单调性、奇偶性及周期性
一、函数的单调性(局部性质) 1.增(减)函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内任意两个自变 量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(或 f(x1)>f(x2)),那么就说 f(x)在区间 D 上是增(减)函数,区间 D 为 y=f(x)的单调增(减)区间

. 2. 增(减)函数的判断方法及步骤: (1)图像法:单调区间上增函数的图象从左到右上升,减函数的图象从左到右下降. (2)定义法:○ 1 任取 x1,x2∈D,且 x1< x2;○ 2 作差 f (x1)-f(x2);○ 3 变形(通常是因式 分解和配方);○ 4 定号(判断差 f(x1)-f(x2)的正负);○ 5 下结论. (3)函数单调性的变形(主要用于抽象函数): 增(减)函数: ○ 1 ?
1 2 2 ? ? ○ f ( x) ? (?)

?

x1 ? x2

? f ( x1 ) ? (?) f ( x2 )

? f ( x) ? (?) ;
3 ? ○

? x ?x ?

f ( x1 ) ? (?) f ( x2 ) ;

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? (?) x2 ? f ( x) ? (?)

3.含奇偶性的函数单调性的应用 (1)奇函数:奇函数的图象关于原点对称,其单调性在对称区间内相同,如在[a,b]上为增函 数,则在[-b,-a]上也为增函数(对称区间单调性相同). (2)偶函数:奇函数的图象关于 y 轴对称,其单调性在对称区间内相反,如在[a,b]上为增函 数,则在[-b,-a]上为减函数(对称区间单调性相反).

y x2 -a O x1 a x -a x2

y x1 x1 O x2 a x

y ? f ( x) 是 [?a, a] 上的奇函数,且在 [?a,0]
为增函数,则在区间 [?a, a] 为增函数,对于

y ? f ( x) 是 [?a, a] 上的奇函数,且在 [?a,0] 为
减函数,则在区间 [0, a ] 为增函数,此时以 [0, a ] 的单调性作为标准,对于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则应满足:
? ? a ? x1 ? a ? ?? a ? x 2 ? a ? x ?x 2 ? 1
二、周期函数的定义及重要结论

? ? a ? x1 ? a ? 则应满足: ?? a ? x 2 ? a ? x ? x 2 ? 1

1.定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任意 x,使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,则 f ( x) 叫做周 期函数,T 叫做这个函数的一个周期. 2.重要结论 (1)若函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? a) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数;

(2)若函数 y ? f ( x) 满足 f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数; ( 3 )若函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? a) ? 的周期函数; (4)函数 y ? f ( x) 满足 f ( x - a) ? f ( x - b)(b ? a) ,则 f ?x ? 是以 T ? b ? a 为周期的周期函数. 3.对称性:若 a 为非零常数,对于定义域内的任意 x,使 f ( x ? a) ? f (? x ? a) 恒成立,则 x ? a 叫 做 y ? f ( x) 的对称轴. 注: f ( x) ? f (? x ? 2a) 或 f ( x ? 2a) ? f (? x) 的对称轴为 x ? a , f ( x ? b) ? f (? x ? a) 的对 称轴为 x ?

1 1 ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期 或f ( x ? a) ? ? f ( x) f ( x)

a?b . 2

相关习题
一、选择题 1.如果奇函数 f ( x) 在 ?3,7? 上是增函数,且最小值是 5,那么 f ( x) 在 ?? 7,?3? 上是( )

A.增函数,最小值是-5 C.减函数,最小值是-5
2.已知函数 f ( x) ? A. ? 1

B.增函数,最大值是-5 D.减函数,最大值是-5

a ? 2x ? a ? 2 2x ?1
B. ? 2

( x ? R) 是奇函数,则 a 的值为(
C. 1 D. 2



2 3. f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在 (??,0) 上是增函数,则 f ? ?2? 与 f a ? 2a ? 3

?

?

( a ? R )的大小关系是(


2 B. f ? ?2? ? f a ? 2a ? 3

? C. f ? ?2? ? f ? a

2 A. f ? ?2? ? f a ? 2a ? 3 2

? ? 2a ? 3 ?


?

?

D.与 a 的取值有关

4.在 R 上定义的函数 f ( x ) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) ,若 f ( x ) 在 区间 [1, 2 ] 上是减 函数,则 f ( x ) 为(

A. 在区间 [ ? 2 , ? 1] 上是增函数,在区间 [ 3 , 4 ] 上是增函数 B. 在区间 [ ? 2 , ? 1] 上是增函数,在区间 [ 3 , 4 ] 上是减函数 C. 在区间 [ ? 2 , ? 1] 上是减函数,在区间 [ 3 , 4 ] 上是增函数 D. 在区间 [ ? 2 , ? 1] 上是减函数,在区间 [ 3 , 4 ] 上是减函数

5. 函数 f ( x ) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x ? 2) ? 值等于( A. 5 二、填空题 ) B. ? 5 C.

1 ,若 f (1) ? ? 5 ,则 f ( f ( 5 ) ) 的 f ( x)

1 5

D. ?

1 5

6. f ( x) ? (k 2 ? 3k ? 2) x ? 2k ? 6 在 R 上是增函数且为奇函数, k 的值为



7.函数 f (x)=x3+sin x+1(x∈R),若 f (a)=2,则 f (-a)的值为________;
8.已知 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, ( x ? 1) 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ? loga x, ( x ? 1)



9.已知函数 y=f (x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义 域都是[-π,π],且它们在 x∈[0,π]上的图象如图所示,则 不等式

f ( x) ? 0 的解集是________. g ( x)

三、解答题 10. 判断下列各函数是否具有奇偶性

x3 ? x2 (1) f ( x) ? 2 x ? 3x ; (2) f ( x) ? ; x ?1
4 2

(3) f ( x) ? x 2 , x ? ?? 1,2? ;

(4) f ( x) ?

x?2 ? 2? x ;

(5) f ( x) ?

x2 ? 4 ? 4 ? x2 ;

? 1 2 ? 2 x ? 1, ( x ? 0) 1? ? 1 f ( x ) ? f ( x) ? x? x ? ?. ? 1 (6) ; ( 7 ) ? 2 ?1 2 ? ?? x 2 ? 1, ( x ? 0) ? 2

11.(1) f ?x ? 为 R 上奇函数,当 x ? 0 时, f ?x ? ? x?2 ? x ? ,求 f ?x ? 在 R 上解析式;

(2) f ?x ? 为 (??,0) ? (0,??) 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ?x? ? x 2 ? 3x ? 1 ,求 f ?x ? 在

(??,0) ? (0,??) 上解析式;
(3) f ?x ?, g ( x) 都是定义在 R 上的函数,且 f ?x ? 为偶函数, g ?x ? 为奇函数,且有

f ?x? ? g ( x) ? x 2 ? x - 2 ,试求 f ?x ?, g ( x) 的解析式.

12.(1) f ( x) 在(-2,2)上为减函数,且 f (m ? 1) ? f (3 ? 2m) ? 0 ,求 m 的取值范围; (2) f ( x) 在 [?3,3] 上为偶函数,且在 [?3,0] 上是减函数 f (2a ? 1) ? f (3 ? a) ? 0 , 求 a 的取值范围.

13. f ( x) 对于任意的实数 x和y 都有 f ( x) - f ( y) ? f ( x ? y) ? 2 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 . (1)求证: f ( x) 在 R 上是增函数;(2)若 f ( x) ?

5 ,解不等式 f (2a ? 3) ? 3 . 2


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