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2014届高考数学一轮 1.8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程 文


1.8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 文
一、选择题 2 1.直 线 x+(a +1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是( ? π? ?3π ? A.?0, ? B.? ,π ? 4? ? ? 4 ? )

? π ? ?π ? C.?0, ?∪? ,π ? 4? ?2 ? ?
解析:斜率 k=- 1

π ? ?3π ,π ? D.? , ?∪? ? ?4 2? ? 4 ?
,故 k∈[-1,0),由正切函数图象知倾斜角 α ∈?

a2+1

?3π ,π ?. ? ? 4 ?
)

答案:B 2.设 A(-2,3)、B(3,2),若直线 ax+y+2=0 与线段 AB 有交点,则 a 的取值范围是( 5? ?4 ? ? A.?-∞,- ?∪? ,+∞? 2? ?3 ? ?

? 4 5? B.?- , ? ? 3 2? ? 5 4? C.?- , ? ? 2 3?
4? ?5 ? ? D.?-∞,- ?∪? ,+∞? 3? ?2 ? ? 5 4 解析:直线方程可化为 y=-ax-2,知其过定点 P(0,-2),依题意有 kPA=- ,kPB= , 2 3 4 4 5 5 由-a≥ ,得 a≤- ,由-a≤- ,得 a≥ . 3 3 2 2 答案:D 3.如图,在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是( )

A B C D 解析:当 a>0 时,直线 y=ax 的倾斜角为锐角,直线 y=x+a 在 y 轴上的截距为 a>0,A、 B、C、D 都不成立; 当 a=0 时,直线 y=ax 的倾斜角为 0°,A、B、C、D 都不成立; 当 a<0 时,直线 y=ax 的倾斜角为钝角,直线 y=x+a 在 y 轴上的截距为 a<0,只有 C 成 立. 答案:C 4.直线 l1:3x-y+1=0,直线 l2 过点(1,0),且它的倾斜角是 l1 的倾斜角的 2 倍,则直线 l2 的方程为( ) A.y=6x+1 B.y=6(x-1) 3 3 C.y= (x-1) D.y=- (x-1) 4 4 解析:由 tanα =3 可求出直线 l2 的斜率 2tanα 3 k=tan2α = =- , 2 1-tan α 4

1

再由 l2 过点(1,0)即可求得直线方程. 答案:D 2 2 5.若直线(2m +m-3)x+(m -m)y=4m-1 在 x 轴上的截距为 1,则实数 m 是( A.1 B.2 1 1 C.- D.2 或- 2 2 解析:当 2m +m-3≠0 时, 4m-1 2 在 x 轴上截距为 2 =1,即 2m -3m-2=0, 2m +m-3 1 ∴m=2 或 m=- . 2 答案:D
2

)

π 6.函数 y=asinx-bcosx(ab≠0)的一条对称轴的方程为 x= ,则以向量 c=(a,b)为方 4 向向量的直线的倾斜角为( A.45° B.60° C.120° D.135° )

π 解析:由 f(x)=asinx-bcosx 关于 x= 对称, 4

?π ? 得 f(0)=f? ?,代入得 a=-b, ?2?
∴向量 c=(a,b)=(a,-a)=a(1,-1), ∴直线的斜率为 k=-1,即倾斜角 α =135°. 答案:D 二、填空题 7.实数 x、y 满足 3x-2y-5=0(1≤x≤3),则 的最大值、最小值分别为______、______. 解析:设 k= ,则 表示线段 AB:3x-2y-5=0(1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率.

y x

y x

y x

∵A(1,-1)、B(3,2).由图易知: ?y? =k =2, ?x?max OB 3 ? ?

?y? =k =-1. ?x?min OA ? ?
2 答案: 3 -1

8.直线 l 过点 P(-1,1)且与直线 l′:2x-y+3=0 及 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角 形,则直线 l 的方程为__________.

2

解析:如图所示,由直线 l、l′与 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形可知:l 与 l′的倾 斜角互补,从而可知其斜率互为相反数,由 l′的方程知其斜率为 2,从而 l 的斜率为-2, 又过点 P(-1,1),则由直线方程的点斜式,得 y-1=-2(x+1),即 2x+y+1=0. 答案:2x+y+1=0 9.已知直线 l 过点 P( 2,1)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点,则 △OAB 面积的最小值为__________. 解析:设过 A,B 的直线 l 的斜率为 k(k<0),则 y-1=k(x-2), 2k-1 ∴A 点坐标为( ,0),B 点坐标为(0,1-2k).

k

1 由 S△OAB= ·|OA|·|OB| 2 1 2k-1 = · ·(1-2k) 2 k 1 -4k +4k-1 = · 2 k 1 1 = (-4k- +4) 2 k 1 ≥ [2· 2 ? -4k? ·? 1 - ?
2

k

+4]

1 = (4+4)=4, 2 1 1 当且仅当 4k= ,即 k=- 时,S△OAB 取得最小值 4. k 2 答案:4 三、解答题 10.根据所给条件求直线的方程. (1)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12; (2)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5. 解析:(1)由题设知截距不为 0, 设直线方程为 +

x y =1, a 12-a

-3 4 从而 + =1,解得 a=-4 或 a=9. a 12-a 故所求直线方程为:4x-y+16=0 或 x+3y-9=0. (2)依题设知,此直线有斜率不存在的情况. 当斜率不存在时,所 求直线方程为:x-5=0; 当斜率存在时,设其为 k,则 y-10=k(x-5), 即 kx-y+(10-5k)=0.

3

|10-5k| 3 由点到线距离公式,得 =5,解得 k= . 2 4 k +1 故所求直线方程为 3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0. 11.在△ABC 中,已知 A(5,-2)、B(7,3),且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 边的中点 N 在 x 轴上,求: (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 MN 的方程. 解析:(1)设 C(x0,y0), ?5+x0,y0-2?, 则 AC 边的中点为 M? 2 ? ? 2 ?

BC 边的中点为 N?

?7+x0,y0+3?. ? 2 ? ? 2

5+x0 ∵M 在 y 轴上,∴ =0,x0=-5. 2 ∵N 在 x 轴上,∴

y0+3
2

=0,y0=-3.

即 C(-5,-3). 5? ? (2)∵M?0,- ?,N(1,0), 2? ? ∴直线 MN 的方程为 + =1, 1 5 - 2 即 5x-2y-5=0. 12.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值并求 此时直线 l 的方程. 解析:(1)证明:直线 l 的方程是:k(x+2)+(1-y)=0, 令?
? ?x+2=0, ?1-y=0, ?

x

y

解之得?

? ?x=-2, ?y=1, ?

∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1). 1+2k (2 )由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上的截距为 1+2k,要使

k

?-1+2k≤-2, ? k 直线不经过第四象限,则必须有? ?1+2k≥1, ?
当 k=0 时,直线为 y=1,合题意,故 k≥0. ? 1+2k,0?,B(0,1+2k). (3)由 l 的方程,得 A?- ?

解之得 k>0;

?

k

?

4

?-1+2k<0, ? k 依题意得? ?1+2k>0, ?

解得 k>0.

1 1 1+2k ∵S= ·|OA|·|OB|= ·| |·|1 + 2k| 2 2 k 1 ? 1+2k? = · 2 k
2

1 ? 1? = ?4k+ +4? k ? 2?

1 ≥ (2×2+4)=4, 2 1 1 “=”成 立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= , k 2 ∴Smin=4,此时 l:x-2y+4=0.

5


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