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山东省冠县武训高级中学高考数学 6.2 等差数列及其前n项和复习题库

时间:2014-01-04


山东省冠县武训高级中学高考数学复习题库: 6.2 等差数列及其前 n 项和
一、选择题 1. {an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=( A.18 C.22 B.20 D.24 )

解析:由 S10=S11 得 a11=S11-S10=0,a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20. 答案:B 2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于 ( A.6 ). B.7 C.8 D.9

解析 由 a4+a6=a1+a9=-11+a9=-6,得 a9=5,从而 d=2,所以 Sn=-11n+n(n-1) =n -12n=(n-6) -36,因此当 Sn 取得最小值时,n=6. 答案 A 3.在等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则 S9 等于( A.66 B.99 C.144 D.297 ).
2 2

解析 ∵a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27, ∴3a4=39,3a6=27, ∴a4=13,a6=9. ∴a6-a4=2d=9-13=-4, ∴d=-2, ∴a5=a4+d=13-2=11, 9?a1+a9? ∴S9= =9a5=99. 2 答案 B 4. 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S8=30,S4=7,则 a4 的值等于( 1 9 A. B. 4 4 13 17 C. D. 4 4 8×7 ? ?8a + 2 d=30, 解析 由已知,得,? 4×3 ? ?4a + 2 d=7,
1 1

)

? ?4a1+14d=15, 即? ?4a1+6d=7, ?

1

1 ? ?a1= , 4 解得? ? ?d=1, 13 则 a4=a1+3d= ,故选 C. 4 答案 C 5.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k=( A.8 B.7 C.6 D.5 ).

解析 由 a1=1,公差 d=2 得通项 an=2n-1,又 Sk+2-Sk=ak+1+ak+2,所以 2k+1+2k+3 =24,得 k=5. 答案 D 6.已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积 为( ). B.15 3 C.12 D.15

A.12 3 解析

不 妨 设 角 A = 120° , c < b , 则 a = b + 4 , c = b - 4 , 于 是 cos 120° =

b2+?b-4?2-?b+4?2 1 1 =- ,解得 b=10,所以 S= bcsin 120°=15 3. 2b?b-4? 2 2
答案 B 7.在等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 =( A.7 B.15 C.20 D.25 )

解析

a2 ? 1, a4 ? 5 ? S5 ?

a1 ? a5 a ? a4 ?5 ? 2 ? 5 ? 15 2 2 .

答案 B 二、填空题 8.已知数列{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,a7-a5=4,a11=21, Sk=9,则 k=________. 解析:a7-a5=2d=4,d=2,a1=a11-10d=21-20=1,

k?k-1? 2 * Sk=k+ ×2=k =9.又 k∈N ,故 k=3.
2 答案:3 9. 定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那 么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列 {an}是等和数列,且 a1 =2,公和为 5,那么 a18 的值为________. 解析 由题意知 an+an+1=5,所以 a2=3,a3=2,a4=3,?,a1 8=3. 答案 3 10 .在等差数列 {an}中, a1 =- 3,11a5 = 5a8 -13 ,则数列 {an} 的前 n 项和 Sn 的最小值为 ________.
2

解析 (直接法)设公差为 d,则 11(-3+4d)=5(-3+7d)-13, 5 所以 d= ,所以数列{an}为递增数列. 9 5 32 令 an≤0,所以-3+(n-1)· ≤0,所以 n≤ , 9 5 又 n∈N ,前 6 项均为负值, 29 所以 Sn 的最小值为- . 3 29 答案 - 3 【点评】 本题运用直接法,直接利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符号,进而确 定前几项的和最小,最后利用等差数列的求和公式求得最小值 . 5n+10 11.两个等差数列的前 n 项和之比为 ,则它们的第 7 项之比为________. 2n-1 解析 设两个数列{an},{bn}的前 n 项和为 Sn,Tn,则
*

Sn 5n+10 a7 a1+a13 S13 = ,而 = = = Tn 2n-1 b7 b1+b13 T13

5×13+10 3 = . 2×13-1 1 答案 3∶1 12.已知数列{an}满足递推关系式 an+1=2an+2 -1(n∈N ),且? 的值是________.
n
*

?an+λ ? ?为等差数列,则 λ n ? 2 ?

an+1 an 1 1 an+1+λ an+λ an+1 an λ 1 n 解析 由 an+1=2an+2 -1, 可得 n+1= n+ - n+1, 则 n+1 - n = n+1- n- n+1= - 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
n+1



?an-1? λ 1 λ +1 1 n ?是公差为 的等差数列. n+1= - n+1 ,当 λ 的值是-1 时,数列? 2 2 2 2 2 ? ?

答案 -1 三、解答题 13.设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S 6+15 =0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围. 思路分析 第(1)问建立首项 a1 与公差 d 的方程组求解;第(2)问建立首项 a1 与公差 d 的方 程,利用完全平方公式求范围. -15 解析 (1)由题意知 S6= =-3,a6=S6-S5=-8,

S5

3

?5a1+10d=5, ? 所以? ?a1+5d=-8. ?

解得 a1=7,所以 S6=-3,a1=7. (2)因为 S5S6+15=0,所以(5a1+1 0d)(6a1+15d)+15=0,即 2a1+9da1+10d +1=0, 故(4a1+9d) =d -8,所以 d ≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2. 【点评】 方程思想在数列中常常用到,如求通项 an 及 Sn 时,一般要建立首项 a1 与公差 d? 或公比 q?的方程组. 14.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=10n-n ,(n∈N ). (1)求 a1 和 an; (2)记 bn=|an|,求数列{bn}的前 n 项和. 2 解析 (1)∵Sn=10n-n ,∴a1=S1=10-1=9. 2 * ∵Sn=10n-n ,当 n≥2,n∈N 时, Sn-1=10(n-1)-(n-1)2=10n-n2+2n-11, 2 2 ∴an=Sn-Sn-1=(10 n-n )-(10n-n +2n-11) =-2n+11. 又 n=1 时,a1=9=-2×1+11,符合上式. * 则数列{an}的通项公式为 an=-2n+11(n∈N ). ? ?-2n+11?n≤5?, (2)∵an=-2n+11,∴bn=|an|=? ?2n-11?n>5?, ? 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, n?9-2n+11? 2 n≤5 时,Tn= =10n-n ; 2 ?n-5??b6+bn? ?n-5??1+2n-11? 2 2 n>5 时 Tn=T5+ =25+ =25+(n-5) =n -10n 2 2 +50, 2 * ? ?10n-n ?n≤5,n∈N ?, ? ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn= 2 * ?n -10n+50?n>5,n∈N ?. ? * 15.在数列{an}中,an+1+an=2n-44(n∈N ),a1=-23. (1)求 an; (2)设 Sn 为{an}的前 n 项和,求 Sn 的最小值. 思路分析 由已知条件可推知 n 应分奇数和偶数. 解析 (1)由 an+1+an=2n-44(n∈N ),
* 2 * 2 2 2 2 2

an+2+an+1=2(n+1)-44.
∴an+2-an=2,又 a2+a1=2-44,∴a2=-19. 同理得:a3=-21,a4=-17.故 a1,a3,a5,?是以 a1 为首项、2 为公差的等差数列,a2,

a4,a6,?是以 a2 为首项、2 为公差的等差数列.
从而 an=?
? ?n-24?n为奇数?, ? ?n-21?n为偶数?.

(2)当 n 为偶数时,
4

Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+?+(an-1+an)
=(2×1-44)+(2×3-44)+?+[2×(n-1)-44] =2[1+3+?+(n-1)]- ·44= -22n , 2 2 故当 n=22 时,Sn 取得最小值-242. 当 n 为奇数时,

n

n2

Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+?+(an-1+an)=a1+(2×2-44)+?+[2×(n-1)-44]
=a1+2[2+4+?+(n-1)]+

n-1
2

·(-44)

?n+1??n-1? =-23+ -22(n-1) 2

n 3 = -22n- . 2 2
故当 n=21 或 n=23 时,Sn 取得最小值-243. 综上所述:当 n 为偶数时,Sn 取得最小值为-242; 当 n 为奇数时,Sn 取最小值为-243. 【点评】 数列中的分类讨论一般有两种:一是对项数 n 的分类;二是对公比 q 的分类,解 题时只要细心就可避免失误. 16.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a1=a(a≠0),an+1 =rSn(n∈N ,r∈R,r≠- 1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若存在 k∈N ,使得 Sk+1,Sk,Sk+2 成等差数列,试判断:对于任意的 m∈N ,且 m≥2,am
+1 * * *

2

,am,am+2 是否成等差数列,并证明你的结论.

解析 (1)由已知 an+1=rSn, 可得 an+2=rSn+1, 两式相减可得 an+2-an+1=r(Sn+1-Sn)=ran+1, 即 an+ 2=(r+1)an+1,又 a2=ra1=ra, 所以当 r=0 时,数列{an}为:a,0,?,0,?; 当 r≠0,r≠ -1 时,由已知 a≠0,所以 an≠0(n∈N ), 于是由 an+2=(r+1)an+1,可得
*

an+2 * =r+1(n∈N ), an+1

∴a2,a3,?,an,?成等比数列, ∴当 n≥2 时,an=r(r+1)
n-2

a.
? ?a,n=1, ?r?r+1? ?
n-2

综上,数列{an}的通项公式为 an=?
*

a,n≥2.

(2)对于任意的 m∈N ,且 m≥2,am+1,am,am+2 成等差数列.证明如下:
? ?a,n=1, 当 r=0 时,由(1)知,an=? ?0,n≥2. ?

5

∴对于任意的 m∈N ,且 m≥2,am+1,am,am+2 成等差数列. 当 r≠0,r≠-1 时,∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2,Sk+1=Sk+ak+1.若存在 k∈N , 使得 Sk+1,Sk,Sk+2 成等差数列,则 Sk+1+Sk+2=2Sk, ∴2Sk+2ak+1+ak+2=2Sk,即 ak+2=-2ak+1. 由(1)知,a2,a3, ?,am,?的公比 r+1=-2,于是 对于任意的 m∈N ,且 m≥2,am+1=-2am,从而 am+2=4am, ∴am+1+am+2=2am,即 am+1,am,am+2 成等差数列. 综上,对于任意的 m∈N ,且 m≥2,am+1,am,am+2 成等差数列.
* * *

*

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