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高中数学 第四章 第3讲 三角函数的图象与性质

时间:2017-09-02


第一章
集合与常用逻辑用语 第1讲 集合的概念和运算

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) π? ? 1.(2011· 徐州月考)设函数 f(x)=sin ?2x-2? ,x∈R,则 f(x)的最小正周期为 ? ? __

______. π? 2π ? 解析 ∵f(x)=sin?2x-2?=-cos 2x,∴T= 2 =π. ? ? 答案 π ? π? 2.函数 y=sin?x-4?的图象的对称中心为________. ? ? π 解析 ∵y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),∴令 x-4=kπ(k∈Z),x=kπ π ? π ? +4(k∈Z),对称中心为?kπ+4,0?. ? ? π ? ? 答案 ?kπ+4,0?,k∈Z ? ? 3.(2010· 江西卷改编)函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为________. 解析 y=sin2x+sin x-1,令 sin x=t,则有 y=t2+t-1, t∈[-1,1],画出函数图象如图所示,从图象可以看出, 1 当 t=-2及 t=1 时,函数取最值,代入 y=t2+t-1 可得

? 5 ? y∈?-4,1?. ? ? ? 5 ? 答案 ?-4,1? ? ? ? π? ?π ? 4.若函数 y=f(x)的图象和 y=sin?x+4?的图象关于点 M?4,0?对称,则 f(x)的表 ? ? ? ? 达式为________. ?π ? ?π ? 解析 设 f(x)上任一点(a, 则(a, b), b)关于点 M?4,0?的对称点为?2-a,-b? ? ? ? ? π? 3π? ?π ? ? π? ?π ? 且点?2-a,-b?在 y=sin?x+4?上, 所以-b=sin?2-a+4??b=sin?a- 4 ?= ? ? ? ? ? ? ? ? π? ? ? π? -cos?a-4?,∴y=-cos?x-4?. ? ? ? ? ? π? 答案 f(x)=-cos?x-4? ? ? π? ? 5.(2011· 山东卷改编)若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间?0,3?上单调递增,在区 ? ? ?π π? 间?3,2?上单调递减,则 ω=________. ? ? π 解析 由于 f(x)=sin ωx 图象过原点,由已知条件画图象可知, 为该函数的 3 2π 4π 3 四分之一周期,所以 ω = 3 ,ω=2. 3 答案 2 π? ? 6.(2012· 苏北五市期末联考)已知函数 f(x)=sin?ωx+3? ? ? ?π? ?π? ?π π? (ω>0),若 f?6?=f?2?,且 f(x)在区间?6,2?内有最大值,无最小值,则 ω= ? ? ? ? ? ? ________. 解析 π? ?π π? π π π ?π? ?π? π ?π 由 f ?6?=f?2?得2ω+3 = 6ω+3+2kπ(k∈Z)或 ?2ω+3?+?6ω+3?=2kπ ? ? ? ? ? ? ? ?

1 ?π π? +π(k∈Z), 可以得到 ω=6k 或 ω=2+3k.又因为 f(x)在区间?6,2?内有最大值 ? ? π π T 2π 2π 2π 1 无最小值,结合图象得2-6<2,得 T> 3 ? ω > 3 ?0<ω<3,所以 ω=2. 1 答案 2

二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 7.(2013· 广州模拟)已知函数 f(x)= 的奇偶性,并求其值域. π kπ π 解 由 cos 2x≠0,得 2x≠kπ+2(k∈Z),解得 x≠ 2 +4,k∈Z,所以 f(x)的定 义域为
? ? kπ π ?x|x∈R,且x≠ + ,k∈Z?. 2 4 ? ?

6cos4x-5sin2x+1 ,求 f(x)的定义域,判断它 cos 2x

因为 f(x)的定义域关于原点对称, 6cos4?-x?-5sin2?-x?+1 且 f(-x)= cos?-2x? 6cos4x-5sin2x+1 = =f(x), cos 2x 所以 f(x)是偶函数. kπ π 当 x≠ 2 +4,k∈Z 时, f(x)= 6cos4x-5sin2x+1 ?2cos2x-1??3cos2x-1? = cos 2x cos 2x

=3cos2x-1.
? ? 1 1 所以 f(x)的值域为?y|-1≤y<2或2<y≤2?. ? ?

? π? 8.(2012· 苏州调研)已知函数 f(x)=2cos xsin?x+3?- ? ? 3sin2x+sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调增区间; π? ? (3)当 x∈?0,4?时,求 f(x)的值域. ? ? ? π? 解 (1)f(x)=2cos xsin?x+3?- 3sin2x+sin xcos x ? ? ?1 ? 3 =2cos x? sin x+ cos x?- 3sin2x+sin xcos x 2 2 ? ? =2sin xcos x+ 3(cos2x-sin2x)

π? ? =sin 2x+ 3cos 2x=2sin?2x+3?, ? ? ∴f(x)的最小正周期为 π. π π π (2)由 2kπ-2≤2x+3≤2kπ+2, 5π π 解得 kπ-12≤x≤kπ+12, 5π π? ? ∴f(x)的单调递增区间为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). ? ? π? π ?π 5π? ? (3)∵x∈?0,4?,∴2x+3∈?3, 6 ?. ? ? ? ? π? ?1 ? ? 则 sin?2x+3?∈?2,1?,∴f(x)的值域为[1,2]. ? ? ? ?

分层训练 B 级

创新能力提升

1. 已知定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π? ? ?5π? π,且当 x∈?0,2?时,f(x)=sin x,则 f? 3 ?的值为________. ? ? ? ? 解析 由已知得: π? ? π? ?π? π 3 ?5π? ? f? 3 ?=f?2π-3?=f?-3?=f?3?=sin3= 2 . ? ? ? ? ? ? ? ? 答案 3 2

π? π ? 2.(2013· 宿迁联考)若将函数 y=sin?ωx+4?(ω>0)的图象向右平移6个单位长度 ? ? 后,得到一个奇函数的图象,则 ω 的最小值为________. ? ? π? π? ? π? 解析 由 f?x-6?=sin?ω?x-6?+4?= ? ? ? ? ? ? π ωπ? 3 ? sin?ωx+4- 6 ?是奇函数,得 ω 的最小正值为 . 2 ? ? 3 答案 2 ?π? ?π? 3.(2012· 南京模拟)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0).若 f?3?=0,f?2?=2,则 ? ? ? ? 实数 ω 的最小值为________.

解析

π ?f?3?=0, ?? ? ? ? 由? π ? ? ?f?2?=2. ?? ?

2π 2π ?π π? 2π 得 f(x)的最小正周期 T≤4×?2-3?= 3 ,即 ω ≤ 3 (ω ? ?

>0),所以 ω≥3.从而 ωmin=3. 答案 3 4.(2012· 南京三模)对于函数 f(x)=xsin x,现有下列命题: ①函数 f(x)是偶函数; ②函数 f(x)的最小正周期是 2π; ③点(π,0)是函数 f(x)的图象的一个对称中心; π? ? ? π ? ④函数 f(x)在区间?0,2?上单调递增,在区间?-2,0?上单调递减. ? ? ? ? 其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号). 解析 由 f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x)可得函数 f(x)是偶函数, 即命题①正 确; 显然函数 f(x)=xsin x 不是周期函数, 即命题②不正确; f(x)+f(2π-x)≠0 由 可得点(π, 0)不是函数 f(x)的图象的一个对称中心, 即命题③不正确; f′(x) 由 π? π? ? ? =sin x+xcos x,当 x∈?0,2?时,f′(x)>0,即函数 f(x)在区间?0,2?上单调递 ? ? ? ? ? π ? 增,当 x∈?-2,0?时,tan x<-x,即得 f′(x)=sin x+xcos x<0,函数 f(x)在 ? ? ? π ? 区间?-2,0?上单调递减,即命题④正确.综上可得真命题是①④. ? ? 答案 ①④ 5.(2012· 南京模拟)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为 π. ?π? 且 f?4?= 2. ? ? (1)求 ω,φ 的值; 6 ?α? (2)若 f?2?=-5(0<α<π),求 cos 2α 的值. ? ? 2π 解 (1)由函数的周期为 π,可知 ω =π,所以 ω=2. 2 ?π? ?π ? 又由 f?4?= 2,得 2sin?2+φ?= 2,所以 cos φ= 2 . ? ? ? ?

π 又 φ∈(0,π),所以 φ=4. π? 6 3 ?α? ? (2)由 f?2?=-5,得 sin?α+4?=-5. ? ? ? ? π ?π 5π? 因为 α∈(0,π),所以 α+4∈?4, 4 ?. ? ? π? 5π? 3 π ? ? 又 sin?α+4?=-5<0,所以 α+4∈?π, 4 ?, ? ? ? ? π? 4 ? 所以 cos?α+4?=-5. ? ? π? ? π? 24 ?π ? ? 所以 cos 2α=sin?2+2α?=2sin?α+4?cos?α+4?=25. ? ? ? ? ? ? 6.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)是偶函数,在[0,π]上单调递减, ?π ? 且图象关于点?2,0?对称,求 ω 与 φ 的值. ? ? 解 π 因为 f(x)=2sin(ωx+φ)是偶函数,且 0<φ<π,所以 φ=2.所以 f(x)=

π? ? 2sin?ωx+2?=2cos ωx. ? ? ?π ? 因为 f(x)=2cos ωx 的图象关于点?2,0?对称, ? ? πω πω π ?π? 所以 f?2?=2cos 2 =0, 2 =kπ+2(k∈Z), ? ? π 即 ω=2k+1,k∈Z.又因为 f(x)=2cos ωx 在[0,π]上单调递减,所以ω≥π;所 以 0<ω≤1,因此 ω=1. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资 源见《创新设计· 高考总复习》光盘中内容.


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