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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练82


题组层级快练(八十二)
(第二次作业) 1.已知 ξ 的分布列为 ξ P -1 1 2 0 1 3 1 1 6 )

1 23 1 则在下列式中:①E(ξ)=- ;②D(ξ)= ;③P(ξ=0)= .正确的个数是( 3 27 3 A.0 C.2 答案 C 1 1 1 解析 E(ξ)=(-1)× +1× =- ,故①正确. 2 6 3 B .1 D.3



1 1 1 1 1 1 5 D(ξ)=(-1+ )2× +(0+ )2× +(1+ )2× = ,故②不正确.由分布列知③正确. 3 2 3 3 3 6 9 2.抛掷两枚骰子,当至少有一枚 5 点或一枚 6 点出现时,就说这次实验成功,则在 30 次实验中成功 次数 X 的均值是( 55 A. 6 50 C. 3 答案 C 1 1 4 5 5 5 解析 至少有一枚 5 点或一枚 6 点的概率为 1-(1- )(1- )=1- = .∴X~B(30, ), ∴E(X)=30× 3 3 9 9 9 9 = 50 . 3 3. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a, 得 2 分的概率为 b, 不得分的概率为 c(a, b, c∈(0,1)), 已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其他得分情况),则 ab 的最大值为( 1 A. 48 1 C. 12 答案 D 解析 设投篮得分为随机变量 X,则 X 的分布列为 X P 1 E(X)=3a+2b=2≥2 3a×2b,所以 ab≤ . 6 当且仅当 3a=2b 时,等号成立. 4.设等差数列{an}的公差为 d,若 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 的方差为 1,则 d=________. 3 a 2 b 0 c 1 B. 24 1 D. 6 ) ) 40 B. 3 D.10

1 答案 ± 2 解析 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 的均值为 a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7 =a4,则 7 ?a1-a4?2+?a2-a4?2+?+?a7-a4?2 7 1 1 =4d2=1,d=± ,故填± . 2 2 5.设一次试验成功的概率为 p,进行 100 次独立重复试验,当 p=______时,成功次数的标准差的值 最大,其最大值为______. 答案 1 ,25 2

p+1-p 2 解析 D(ξ)=100p(1-p)≤100· ( ) =25, 2 1 当且仅当 p=1-p.即 p= 时,D(ξ)最大为 25. 2 6.某校举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的演讲比赛,比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶 2 1 1 段,已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为 , , ,且各阶段通过与否相互独立. 3 3 4 (1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率; (2)设该选手比赛的次数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 4 17 答案 (1) (2) 9 9 解析 (1)记“该选手通过初赛”为事件 A,“该选手通过复赛”为事件 B,“该选手通过决赛”为事 2 1 1 件 C,则 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= . 3 3 4 2 1 4 所以所求的概率 P=P(A B )=P(A)P( B )= ×(1- )= . 3 3 9 (2)依题意知 ξ 的可能取值为 1,2,3. 2 1 P(ξ=1)=P( A )=1- = , 3 3 2 1 4 P(ξ=2)=P(A B )=P(A)P( B )= ×(1- )= , 3 3 9 2 1 2 P(ξ=3)=P(AB)=P(A)P(B)= × = . 3 3 9 ξ 的分布列为 ξ P 1 4 2 17 ξ 的数学期望 E(ξ)=1× +2× +3× = . 3 9 9 9 1 1 3 2 4 9 3 2 9

7.(2015· 郑州质检)工人在包装某产品时不小心将 2 件不合格的产品一起放进了一个箱子里,此时该 箱子中共有外观完全相同的 6 件产品.只有将产品逐一打开检验才能确定哪 2 件产品是不合格的,产品一 旦打开检验不管是否合格都将报废.记 ξ 表示将 2 件不合格产品全部检测出来后 4 件合格产品中报废品的 数量. (1)求报废的合格品少于 2 件的概率; (2)求 ξ 的分布列和数学期望. 1 8 答案 (1) (2) 5 3 解析 (1)报废的合格品少于 2 件,即 ξ=0 或 ξ=1,
1 1 A2 1 A2 2 2 2A2A4 而 P(ξ=0)= = ,P(ξ=1)= = , 6×5 15 6×5×4 15

1 2 1 故 P(ξ<2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)= + = . 15 15 5 (2)依题意,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,
1 2 A1 1 3×A2×A4 P(ξ=2)= = , 4 A6 5 1 3 A1 4 4×A2×A4 P(ξ=3)= = , 5 A6 15 1 4 A1 1 5×A2×A4 P(ξ=4)= = , 6 A6 3

1 2 由(1)知 P(ξ=0)= ,P(ξ=1)= . 15 15 故 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 15 1 2 15 2 1 5 3 4 15 4 1 3

1 2 1 4 1 8 E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× = . 15 15 5 15 3 3 8.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如下表: 降水量 X 工期延误 天数 Y X<300 0 300≤X<700 2 700≤X<900 6 X≥900 10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9.求: (1)工期延误天数 Y 的均值与方差; (2)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率. 6 答案 (1)均值为 3,方差为 9.8 (2) 7 解析 (1)由已知条件和概率的加法公式有: P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,

P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以 Y 的分布列为 Y P 0 0.3 2 0.4 6 0.2 10 0.1

于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3, D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8. (2)由概率的加法公式,得 P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7. 又 P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6, 由条件概率,得 P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)= P?300≤X<900? 0.6 6 = = . 0.7 7 P?X≥300?

6 故在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是 . 7 9. 为提高学生学习语文的兴趣, 某地区举办了中学生“汉语听写比赛”. 比赛成绩只有 90 分, 70 分, 60 分,40 分,30 分五种,将本次比赛的成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级.从参加比赛的学生中随机 抽取了 30 名,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表: 成绩等级 成绩(分) 人数(名) A 90 4 B 70 6 C 60 10 D 40 7 E 30 3

(1)根据上面的统计数据,试估计从该地区参加“汉语听写比赛”的学生中任意抽取 1 人,其成绩等级 为“A 或 B”的概率; (2)根据(1)的结论,若从该地区参加“汉语听写比赛”的学生(参赛人数很多)中任选 3 人,记 X 表示抽 到成绩等级为“A 或 B”的学生人数,求 X 的分布列及数学期望 E(X). 1 答案 (1) (2)1 3 4 6 解析 (1)根据统计数据可知, 从这 30 名学生中任选 1 人, 其成绩等级为“A 或 B”的频率为 + = 30 30 10 1 = . 30 3 1 故从该地区参加“汉语听写比赛”的学生中任意抽取 1 人,其成绩等级为“A 或 B”的概率约为 . 3 (2)由已知得,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3, 10 23 8 所以 P(X=0)=C0 , 3( ) ×( ) = 3 3 27 1 1 2 2 12 4 P(X=1)=C1 = , 3( ) ×( ) = 3 3 27 9 12 21 6 2 P(X=2)=C2 = , 3( ) ×( ) = 3 3 27 9 13 20 1 P(X=3)=C3 . 3( ) ×( ) = 3 3 27

故随机变量 X 的分布列为 X P 0 8 27 1 4 9 2 2 9 3 1 27

8 4 2 1 所以 E(X)=0× +1× +2× +3× =1. 27 9 9 27 讲评 新课标高考的数学试题对概率与统计内容的考查已经悄然发生了变化,其侧重点由以往的概率 及概率分布列的问题,变为统计与概率及分布列知识的综合,包括统计案例分析. 10.(2015· 衡水调研卷)某选修课的考试按 A 级,B 级依次进行,只有当 A 级成绩合格时,才可继续参 加 B 级的考试.已知每级考试允许有一次补考机会,两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证 2 1 书.现某人参加这个选修课的考试,他 A 级考试成绩合格的概率为 ,B 级考试合格的概率为 .假设各级考 3 2 试成绩合格与否均互不影响. (1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率; (2)在这个考试过程中, 假设他不放弃所有的考试机会, 记他参加考试的次数为 ξ, 求 ξ 的数学期望 E(ξ). 1 8 答案 (1) (2) 3 3 解析 设“A 级第一次考试合格”为事件 A1,“A 级补考合格”为事件 A2;“B 级第一次考试合格” 为事件 B1,“B 级补考合格”为事件 B2. (1)不需要补考就获得合格证书的事件为 A1B1,注意到 A1 与 B1 相互独立, 2 1 1 则 P(A1B1)=P(A1)×P(B1)= × = . 3 2 3 1 故该考生不需要补考就获得该选修课的合格证书的概率为 . 3 (2)由已知,得 ξ=2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得: 2 1 1 1 1 1 4 P(ξ=2)=P(A1B1)+P( A1 A2 )= × + × = + = . 3 2 3 3 3 9 9 P(ξ=3)=P(A1 B1 B2)+P(A1 B1 B2 )+P( A1 A2B1) 2 1 1 2 1 1 1 2 1 = × × + × × + × × 3 2 2 3 2 2 3 3 2 1 1 1 4 = + + = , 6 6 9 9 P(ξ=4)=P( A1 A2 B1 B2)+P( A1 A2 B1 B2 ) 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 = × × × + × × × = + = , 3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9 4 4 1 8 故 E(ξ)=2× +3× +4× = . 9 9 9 3 8 即该考生参加考试的次数的期望为 . 3 11.(2014· 陕西理)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1 000 元,此作物的市场价格和这块

地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 概率 300 0.5 500 0.5

作物市场价格(元/kg) 概率

6 0.4

10 0.6

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率. 答案 (1)略 (2)0.896

思路 (1)根据 X 的可能取值分解为相互独立事件和互斥事件;(2)至少有 2 季的事件包括恰有 2 季、 恰有 3 季两类事件,应分类求解. 解析 (1)设 A 表示事件“作物产量为 300 kg”,B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg”,由题设知 P(A)=0.5,P(B)=0.4, 因为利润=产量×市场价格-成本, 所以 X 所有可能的取值为 500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000. 300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800. P(X=4 000)=P( A )P( B )=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3, P(X=2 000)=P( A )P(B)+P(A)P( B )=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2. 所以 X 的分布列为 X P 4 000 0.3 2 000 0.5 800 0.2

(2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2 000 元”(i=1,2,3), 由题意知 C1,C2,C3 相互独立,由(1)知, P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512; 3 季中有 2 季利润不少于 2 000 元的概率为 P( C1 C2C3)+P(C1 C2 C3)+P(C1C2 C3 )=3×0.82×0.2=0.384, 所以这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 0.512+0.384=0.896.

2 1.(2015· 江南十校联考)甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关.甲能攻克的概率为 ,乙能 3

3 4 攻克的概率为 ,丙能攻克的概率为 . 4 5 (1)求这一技术难题被攻克的概率; (2)现假定这一技术难题已被攻克,上级决定奖励 a 万元.奖励规则如下:若只有 1 人攻克,则此人获 a 得全部奖金 a 万元;若只有 2 人攻克,则奖金奖给此二人,每人各得 万元;若三人均攻克,则奖金奖给 2 a 此三人,每人各得 万元.设甲得到的奖金数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 3 59 17 答案 (1) (2) a 60 59 2 3 4 1 1 1 59 解析 (1)这一技术难题被攻克的概率 P=1-(1- )(1- )(1- )=1- × × = . 3 4 5 3 4 5 60 a a (2)X 的可能取值分别为 0, , ,a. 3 2 1 1 1 ×?1- × ? 3 4 5 19 P(X=0)= = , 59 59 60 2 3 4 × × a 3 4 5 24 P(X= )= = , 3 59 59 60 2 3 1 1 4 ×? × + × ? a 3 4 5 4 5 14 P(X= )= = , 2 59 59 60 2 1 1 × × 3 4 5 2 P(X=a)= = . 59 59 60 ∴X 的分布列为 X P 0 19 59 a 3 24 59 a 2 14 59 a 2 59

19 a 24 a 14 2 17 ∴E(X)=0× + × + × +a× = a. 59 3 59 2 59 59 59 2.某制药厂新研制出一种抗感冒药,经临床试验疗效显著,但由于每位患者的身体素质不同,可能 有少数患者服用后会出现轻微不良反应,甲、乙、丙三位患者均服用了此抗感冒药,若他们出现轻微不良 1 1 1 反应的概率分别是 , , . 5 3 4 (1)求恰好有一人出现轻微不良反应的概率; (2)求至多有两人出现轻微不良反应的概率; (3)设出现轻微不良反应的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望.

13 59 47 答案 (1) (2) (3) 30 60 60 1 2 3 1 解析 (1)患者甲出现轻微不良反应,患者乙、丙没有出现轻微不良反应的概率为 × × = ;患者 5 3 4 10 4 1 3 1 乙出现轻微不良反应, 患者甲、 丙没有出现轻微不良反应的概率为 × × = ; 患者丙出现轻微不良反应, 5 3 4 5 4 2 1 2 患者甲、乙没有出现轻微不良反应的概率为 × × = ,所以,恰好有一人出现轻微不良反应的概率为 5 3 4 15 1 1 2 13 P1= + + = . 10 5 15 30 1 1 3 4 1 1 1 2 1 1 1 1 3 (2)有两人出现轻微不良反应的概率 P2= × × + × × + × × = + + = . 5 3 4 5 3 4 5 3 4 20 15 30 20 4 2 3 2 三人均没有出现轻微不良反应的概率 P0= × × = ,所以,至多有两人出现轻微不良反应的概率为 5 3 4 5 2 13 3 59 + + = . 5 30 20 60 (3)依题意知,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,由(1)(2)得, 2 13 3 2 13 3 1 P(ξ=0)= ,P(ξ=1)= ,P(ξ=2)= ,P(ξ=3)=1- - - = . 5 30 20 5 30 20 60 于是 ξ 的分布列为 ξ P 0 2 5 1 13 30 2 3 20 3 1 60

2 13 3 1 47 ξ 的数学期望 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 5 30 20 60 60 3.(2014· 福建理)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励,规定:每位顾 客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励 额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求: ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率; ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球 组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成,为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位 顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由. 1 答案 (1)① ,②40 元 (2)略 2 解析 (1)设顾客所获的奖励额为 X.
1 C1 1 1C3 ①依题意,得 P(X=60)= 2 = , C4 2

1 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为 . 2 ②依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60.

1 C2 1 3 P(X=60)= ,P(X=20)= 2= , 2 C4 2 即 X 的分布列为 X P 20 1 2 60 1 2

1 1 所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)=20× +60× =40(元). 2 2 (2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元,所以,先寻找期望为 60 元的可能方案.对于面 值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面值之和的最大值,所以期望 不可能为 60 元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为 60 元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案 1. 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方 案是(20,20,40,40),记为方案 2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为 X1,则 X1 的分布列为 X1 P 20 1 6 60 2 3 100 1 6

1 2 1 X1 的期望为 E(X1)=20× +60× +100× =60, 6 3 6 1 2 1 1 600 X1 的方差为 D(X1)=(20-60)2× +(60-60)2× +(100-60)2× = . 6 3 6 3 对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为 X2,则 X2 的分布列为 X2 P 40 1 6 60 2 3 80 1 6

1 2 1 X2 的期望为 E(X2)=40× +60× +80× =60, 6 3 6 1 2 1 400 X2 的方差为 D(X2)=(40-60)2× +(60-60)2× +(80-60)2× = . 6 3 6 3 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小,所以应该选择方案 2.


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