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圆锥曲线历年高考题(整理)附答案


数学圆锥曲线测试高考题
一、选择题: x2 y2 4 1. (2006 全国 II)已知双曲线 - =1的一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心率为( 2 2 3 a b 5 4 5 3 (A) (B) (C) (D) 3 3 4 2 )

x2 2. (2006 全国 II)已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆

的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点 3 在 BC 边上,则△ABC 的周长是( (A)2 3 (B)6 ) (C)4 3 (D)12 )

3.(2006 全国卷 I)抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是( A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

4. (2006 广东高考卷)已知双曲线 3x2 ? y 2 ? 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等 于( A. 2 ) B.

2 2 3

C. 2

D. 4 )

5.(2006 辽宁卷)方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根可分别作为( A.一椭圆和一双曲线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 6.(2006 辽宁卷)曲线 (A)焦距相等 B.两抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? m ? 9) 的( 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m
(B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同



7. (2006 安徽高考卷)若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ? 2 B. 2 C. ?4
2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
D. 4



8.(2006 辽宁卷)直线 y ? 2k 与曲线 9k x ? y ? 18k x (A)1 (B)2 (C)3

(k ? R ,且k ? 0 ) 的公共点的个数为(
(D)4



二、填空题: 9. (2006 全国卷 I)双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ?
2 2



10. (2006 上海卷)已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆, 它的中心在原点, 左焦点为 F (? 3,0) ,右顶点为 D (2, 0) , 设点 A ?1, ? ,则求该椭圆的标准方程为

? 1? ? 2?



11. (2011 年高考全国新课标卷理科 14) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在

x 轴上,

离心率为

2 。过 l 的直线 交于 A, B 两点,且 ? ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 2



12. (2011 年高考四川卷理科 14)双曲线 是 .

x 2 y2 ? =1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么点 P 到左准线的距离 64 36

13. (上海卷)已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,且焦距与虚轴长之比为 5 : 4 ,则双曲线的标准方程是 ____________________. 14. (2011 年高考全国卷理科 15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: 坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2 的角平分线.则|AF2| = 三 、解答题: 15.已知抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M( 3,?2 3 ) ,求它的标准方程。 .

x2 y 2 =1 的左、右焦点,点 A 为 C 上一点,点 M 的 9 27

16.(2010 浙江理数)已知 m>1,直线 l : x ? my ?

m2 x2 ? 0 ,椭圆 C : 2 ? y 2 ? 1 , F1, F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点。 2 m

(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, VAF 1F 2 , VBF 1F 2 的重心分别为 G , H .若原点 O 在以线段 GH 为直径的 圆内,求实数 m 的取值范围.

17.(2010 江苏卷)在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点为 A、B,右焦点为 F。设过 9 5

点 T( t , m )的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。 (1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关) 。

18.中心在原点,焦点在 x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1,F2,且 F1 F2 ? 2 13 ,椭圆的长半轴与双曲线的 半实轴之差为 4,离心率之比为 3:7。求这两条曲线的方程。

19. (2011 年高考辽宁卷理科 20)(本小题满分 12 分)如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这 四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D.

(I)设 e ?

1 ,求 BC 与 AD 的比值; 2

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由

20. (2006 上海卷)已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆, 它的中心在原点, 左焦点为 F (? 3,0) ,右顶点为 D (2, 0) , 设点 A ?1, ? . (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程;

? 1? ? 2?

(3)过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值。

高二数学圆锥曲线高考题选讲答案
1.双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得

b 4 c 32 ? 42 5 ? , 可得e ? ? ? ,故选 A a 3 a 3 3

2. (数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得 ?ABC 的周长为 4a= 4 3 ,所以选 C 3.设抛物线 y ? ? x2 上一点为(m,-m2),该点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离为 最小值为

| 4m ? 3m2 ? 8 | ,当 5

m=

2 时,取得 3

4 ,选 A. 3

4.依题意可知 a ? 3, c ?

a2 ? b2 ? 3 ? 9 ? 2 3 , e ?
1 ,故选 A 2

c 2 3 ? ? 2 ,故选 C. a 3

5.方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根分别为 2,

6.由

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 知该方程表示焦点在 x 轴上的椭圆,由 ? ? 1(5 ? m ? 9) 知该方程表示焦点 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为(2,0),则 p ? 4 ,故选 D。 6 2
2 2 2 2 2 2 2 2

在 y 轴上的双曲线,故只能选择答案 A。 7.椭圆

8.将 y ? 2k 代入 9k x ? y ? 18k x 得: 9k x ? 4k ? 18k x

? 9 | x |2 ?18 x ? 4 ? 0 ,显然该关于 | x| 的方程有两正解,即 x 有四解,所以交点有 4 个,故选择答案 D。
9.双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,∴
2 2

x2 m<0,且双曲线方程为 ? ? y 2 ? 1 ,∴ 4

m= ?

1 。 4

10.椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 4

11. 答案:

x2 y2 ? ?1 16 8
c 2 ? ,? c ? 2 2 ,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 8 因此,所 a 2

解析:由椭圆的的定义知, C ? ? 4a ? 16,? a ? 4 ,又因为离心率

x2 y2 ? ? 1; 求椭圆方程为: 16 8

12. 答案:16 解析:由双曲线第一定义,|PF1|-|PF2|=±16,因|PF2|=4,故|PF1|=20, (|PF1|=-12 舍去) ,设 P 到左准线的距离是 d,由第 二定义,得

20 10 ? ,解得 d ? 16 . d 8

13.双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,则焦点在 x 轴上,且 a=3,焦距与虚轴长之比为 5 : 4 ,即 c : b ? 5 : 4 , 解得 c ? 5, b ? 4 ,则双曲线的标准方程是 14. 【答案】6 【解析】 :? F1 (?6, 0), F2 (6, 0) ,由角平分线的性质得 又 AF1 ? AF2 ? 2 ? 3 ? 6

x2 y 2 ? ?1. 9 16

AF1 AF2

?

F1M MF2

?

8 ?2 4

? AF2 ? 6

15.解:因为抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M( 3,?2 3 ) ,所以可设它的标准方程为:

y 2 ? 2 px( p ? 0) ,又因为点 M 在抛物线上,所以 ( 3) 2 ? ?2 p( x ? 2 3)
即p?

3 3 2 ,因此所求方程是 x ? ? y。 4 2
m2 m2 ? 0 经过 F2 ( m 2 ? 1, 0) ,所以 m 2 ? 1 ? ,得 m 2 ? 2 , 2 2

16. (Ⅰ)解:因为直线 l : x ? my ?

又因为 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,

2 故直线 l 的方程为 x ? 2 y ? ? 0。 2
(Ⅱ)解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 。

2

? m2 x ? my ? ? ? 2 由? 2 ,消去 x 得 ? x ? y2 ? 1 ? ? m2
m2 2 y ? my ? ?1 ? 0 4
2

则由 ? ? m2 ? 8(

m2 ? 1) ? ?m2 ? 8 ? 0 ,知 m2 ? 8 , 4

且有 y1 ? y2 ? ?

m m2 1 , y1 ?y2 ? ? 。 2 8 2

由于 F 1 (?c,0), F2 (c,0), , 故 O 为 F1F2 的中点, 由 AG ? 2GO, BH ? 2HO , 可知 G (
2

????

??? ? ????

????

x1 y1 x y , ), h( 2 , 1 ), 3 3 3 3

GH ?

( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 9 9
x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 6 6

设 M 是 GH 的中点,则 M ( 由题意可知 2 MO ? GH ,

即 4[(

x1 ? x2 2 y ?y ( x ? x )2 ( y ? y )2 ) ? ( 1 2 )2 ] ? 1 2 ? 1 2 6 6 9 9

即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0

m2 m2 )(my2 ? ) ? y1 y2 而 x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 2 2 m2 1 ? (m2 ? 1 ) ( ? ) 8 2
所以

m2 1 ? ?0 8 2
2

即m ? 4 又因为 m ? 1 且 ? ? 0 所以 1 ? m ? 2 。 所以 m 的取值范围是 (1, 2) 。 17. [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题 的能力。满分 16 分。 (1)设点 P(x,y) ,则:F(2,0) 、B(3,0) 、A(-3,0) 。
2 2 2 2 由 PF ? PB ? 4 ,得 ( x ? 2) ? y ? [( x ? 3) ? y ] ? 4, 化简得 x ?
2 2

9 。 2

故所求点 P 的轨迹为直线 x ? (2)将 x1 ? 2, x 2 ?

9 。 2

1 5 1 20 分别代入椭圆方程,以及 y1 ? 0, y 2 ? 0 得:M(2, ) 、N( , ? ) 3 3 3 9

1 y ?0 x?3 ,即 y ? x ? 1 , ? 5 3 ?0 2?3 3 5 5 y ?0 x ?3 直线 NTB 方程为: ,即 y ? x ? 。 ? 20 1 6 2 ? ?0 ?3 9 3
直线 MTA 方程为:

?x ? 7 ? 联立方程组,解得: ? 10 , y? ? 3 ?
所以点 T 的坐标为 (7,

10 )。 3

(3)点 T 的坐标为 (9, m)

y?0 x?3 m ? ( x ? 3) , ,即 y ? m?0 9?3 12 y ?0 x?3 m ? 直线 NTB 方程为: ,即 y ? ( x ? 3) 。 m?0 9?3 6
直线 MTA 方程为: 分别与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立方程组,同时考虑到 x1 ? ?3, x2 ? 3 , 9 5

解得: M (

3(80 ? m2 ) 40m 3(m2 ? 20) 20m , ) N ( ,? )。 、 2 2 2 80 ? m 80 ? m 20 ? m 20 ? m2

20m 3(m2 ? 20) x ? 20 ? m2 20 ? m2 (方法一)当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: ? 40m 20m 3(80 ? m2 ) 3(m2 ? 20) ? ? 80 ? m2 20 ? m2 80 ? m2 20 ? m2 y?
令 y ? 0 ,解得: x ? 1 。此时必过点 D(1,0) ; 当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: x ? 1 ,与 x 轴交点为 D(1,0) 。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0) 。 (方法二)若 x1 ? x2 ,则由

240 ? 3m2 3m2 ? 60 ? 及 m ? 0 ,得 m ? 2 10 , 80 ? m2 20 ? m2

此时直线 MN 的方程为 x ? 1 ,过点 D(1,0) 。

若 x1 ? x2 ,则 m ? 2 10 ,直线 MD 的斜率 kMD

40m 2 10m , ? 80 ? m2 ? 240 ? 3m 40 ? m2 ?1 80 ? m2

直线 ND 的斜率 k ND

?20m ? m2 ? 10m ,得 k ? k ,所以直线 MN 过 D 点。 ? 20 MD ND 3m2 ? 60 40 ? m2 ? 1 20 ? m2

因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0) 。

18.设椭圆的方程为

2 x2 y2 x2 y ,双曲线得方程为 ? 2 ? 1 ,半焦距 c= 13 ? ? 1 2 a2 b2 a12 b12

由已知得:a1-a2=4

c c : ? 3 : 7 ,解得:a1=7,a2=3 a1 a 2
所以:b1 =36,b2 =4,所以两条曲线的方程分别为:
2 2

x2 y2 x2 y2 ? ?1 , ? ?1 49 36 9 4

19.

解得

t??

ab 2 1 ? e2 ? ? ?a. a 2 ? b2 e2 1 ? e2 2 ? 1 ,解得 ? e ? 1. 2 e 2

因为 | t |? a ,又 0 ? e ? 1 ,所以

所以当 0 ? e ?

2 2 时,不存在直线 l,使得 BO//AN;当 ? e ? 1 时,存在直线 l 使得 BO//AN. 2 2

20.(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1.

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0),

x= 由

x0 ? 1 2


x0=2x-1

1 y0 ? 2 y= 2

y0=2y-

1 2

由,点 P 在椭圆上,得

(2 x ? 1) 2 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 , 4 2
1 2 1 4

2 2 ∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4( y ? ) ? 1 .

(3)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1. 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入

x2 ? y2 ? 1, 4
),

解得 B(

2 4k 2 ? 1

,

2k 4k 2 ? 1
2

),C(-

2 4k 2 ? 1

,-

2k 4k 2 ? 1
k? 1 2

则 BC ? 4

1? k

1 ? 4k 2

,又点 A 到直线 BC 的距离 d=

1? k 2

,

∴△ABC 的面积 S△ABC=

2k ? 1 1 AB ? d ? 2 1 ? 4k 2

于是 S△ABC= 由

4k 2 ? 4k ? 1 4k ? 1? 2 2 4k ? 1 4k ? 1

1 4k ≥-1,得 S△ABC≤ 2 ,其中,当 k=- 时,等号成立. 2 2 4k ? 1

∴S△ABC 的最大值是 2 .


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