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江西省崇义中学2015-2016学年高一数学下学期第一次月考试题 理


崇义中学 2016 年下学期高一月考(一)数学试卷
时量:120 分钟 满分:150 分 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 测试时间:2016.03.30

1.已知向量 a ? (1, ? ) , b ? (2,1) , c ? (1, ?2) ,若向量 2a ? b 与 c 共 线,则 ? 的值为( A.

>
?

?

?

?

?

?



9 9 C. 2 D. ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.已知向量 a , b 满足 a ? a ? b ? 3 ,且 a ? 2 , b ? 1,则向量 a 与 b 夹角的正弦值为( )
B.

1 2

?

?

A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2


D.

3 2

3.数列

2 , 5, 2 2 , 11,?的一个通项公式是(
B. an ? 3n ?1

A. an ? 3n ? 3

C. an ? 3n ? 1

D. an ? 3n ? 3 )

4.已知平面向量 a 与 b 的夹角为 A.1 B. 3

?

?

? ? ? ? ? ,且 | b |? 1,|a ? 2b |? 2 3 ,则 | a |? ( 3
C.2 D.3

5.点 P 在 ? ABC 所在平面上,若 PA ? PB ? PC ? AB ,且 S? ABC ? 12 ,则 ? PAB 的 面积为( ) A.4 B.6 C.8 D.16 6.在△ABC 中,a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC 外接圆的 直径为( A.4 3 B. 6 C.5 2 D.6 2

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

)

7. A(a,1), B(2, b), C (4,5) 为坐标平面内三点, O 为坐标原点,若 OA 与 OB 在 OC 方向上的投影相同,则 a , b 满足的关系式为( A. 4a ? 5b ? 3 8.在 ?ABC 中, cos A.正三角形
2

??? ?

??? ?

??? ?

) B. 5a ? 4b ? 3

C. 4a ? 5b ? 14

D. 5a ? 4b ? 14 )

B a?c ? , (a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边) ,则 ?ABC 为( 2 2c
B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形

??? ? ??? ? 9.已知点 A(2, ?1) , B(4, 2) ,点 P 在 x 轴上,当 PA ? PB 取最小值时, P 点的坐标为(
A. (2, 0) B. (4, 0) C. (



10 ,0) 3
2 2 2

D. (3, 0) ac,则角 B 为( )

10.在△ABC 中,角 A,B,C,的对边分别为 a,b,c,若(a +c ﹣b )tanB= A. B. 或 C. D. 或

11.若 数列 A : a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,其中 ai ?{?1,0,1},i ? 1,2,3,4,5,则满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 3 的不同数列 A 的 个数为( A. 15 ) B. 25 C. 30 D. 35

1

12.在 A.1

中,a , b, c 分别是角 A, B, C 所对的边,若 cos A ? sin A ? B. 2 C. 3 .

2 a?b ? 0 ,则 的值是( c cos B ? sin B
D.2



二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在 ?ABC 中, A : B : C ? 1 : 2 : 3 ,则 a : b : c ? 14.已知向量 a =(1,0) , b =(-

? ? 1 3 , ) ,则 a 与 b 的夹角为 . 2 2 ???? ??? ? ??? ? ???? 15.在平行四边形 ABCD 中, AC =(1,2), BD =(-3,2),则 AD · AC =
E 在 CD 延长线上, 16. 如图, 已知正方形 ABCD 的 边长为 1 , 且 DE ? CD . 动点 P 从点 A 出发沿正方形 ABCD
的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中 AP ? ? AB ? ? AE ,则下列命题正确 的是 ..

?

?

??? ?

??? ?

??? ?



① ? ? 0, ? ? 0 ;②当点 P 为 AD 中 点时, ? ? ? ? 1 ;③若 ? ? ? ? 2 ,则点 P 有且只有一个;④ ? ? ? 的最大 值为 3 ;⑤ AP ? AE 的最大值为 1 .

??? ? ??? ?

三.解答题(本大题共 6 题,共 70 分) 17. (10 分)已知 | a |? 4 , | b |? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120°求: (1) (a ? 2b) ? (a ? b) ; (2) | 2a ? b | ;

18. (12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 对边分别为 a, b, c ,且 b sin A ? 3a cos B (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3, sin C ? 2 sin A ,求 a , c 的值.

2

19.(12 分)已知向量 a =(cosx,sinx), b =(-cosx,cosx), c =(-1,0). π ? ? ? ? ?π 9π ? (1)若 x= ,求向量 a . c .(2)当 x∈? , ?时,求函数 f(x)=2 a ? b +1 的最大值. 8 ? 6 ?2

?

?

?

20. (12 分) 已知 a , b , c 分别为 ?ABC 内角 A , B , C 的对边, m ? (?2a ? c, b), n ? (cosB, cosC), 且 m ? n ? 0. ( 1)求角 B 的大小;(2)若 b ? ac ,求
2

??

1 1 的值. ? tan A tan C

21. (12 分)已知海岛 B 在海岛 A 北偏东 45? , A , B 相距 20 海里,物体甲从海岛 B 以 2 海里/小时的速度沿 直线向海岛 A 移动,同时物体乙从海岛 A 沿着海岛 A 北偏西 15 方向以 4 海里/小时的速度移动.
?

(1)问经过多长时间,物体甲在物体乙的正东方向; (2)求甲从海岛 B 到达海岛 A 的过程中,甲、乙两物体的最短距离.

22. ( 12 分)已知函数 f (? ) ? ? sin

2

? ? 4 cos? ? 4 , g (? ) ? m ? cos?
3

(1)对任意的 ? ? [0,

?
2

) ,若 f (? ) ? g (? ) 恒成立,求 m 取值范围.

(2)对 ? ? [?? , ? ] , f (? ) ? g (? ) 有唯一实根,求 m 的取值范围.

崇义中学 2016 年下学期高一月考(一)数学参考答案 一、DDBCA CABDB AB 三、17.(1) 二、 1: 3 : 2 120? 3 ①②④⑤

? ? ? ? ? ? ? ? (a ? 2b) ? (a ? b) ? a 2 ? a ? b ? 2b 2 1 ? 16 ? 4 ? 2 ? (? ) ? 8 ? 12..............5 2

? ? 2a ? b ? ?

? ? ? ? 4a 2 ? 4a ? b ? b 2

1 4 ?16 ? 4 ? 4 ? 2 ? (? ) ? 4 2

? 2 21..................10
18 解: (1)∵bsinA= acosB,由正弦定理可得 ,

即得

, 。

………………6 分 , 由 余 弦 定 理 。…….12 分
2 2 2 2

( 2 ) ∵ sinC=2sinA , 由 正 弦 定 理 得 ,解得 ,



19.解析:(1)∵a=(cosx,sinx),c=(-1,0),∴|a|= cos x+sin x=1,|c|= ?-1? +0 =1. π ? ? 3 1? π ? π 当 x= 时,a=?cos ,sin ?=? , ?, 6 6 ? ? 2 2? 6 ?

a·c=

3 1 3 ×(-1)+ × 0=- …………………4 分 2 2 2
2 2

(2)f(x)=2a·b+1=2(-cos x+sinxcosx)+1=2sinxcosx-(2cos x-1)=sin2x-cos2x π? ? = 2sin?2x- ?……………………8 分 4? ? π? ? π ? 3π 2? ?π 9π ? ? ? ∵x∈? , ?,∴2x- ∈? ,2π ?,故 sin?2x- ?∈?-1, ?, 2 8 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ? 2? π 3π π ∴当 2x- = ,即 x= 时,f(x)max=1…………………….12 分 4 4 2 22.解: f (? ) ? ?(1 ? cos
2

? ) ? 4 cos? ? 4 ? cos2 ? ? 4 cos? ? 3
?
2 ) ? 0 ? cos ? ? 1 当 0 ? cos ? ? 1 时, m ? cos ? ?
3 ? 4, cos ?
4

2 (1) cos ? ? 4 cos? ? 3 ? m cos ? ,?? ? [0,

令 cos ? ? t , h(t ) ? t ?

3 ? 4 , t ? (0,1] 单调递减,当 t=1 时, h(t ) min ? h(1) ? 0 ,所以 m ? h(t ) min ? 0 ;所 t

以 m ? 0 。……….…6 分
2 (2) cos ? ? 4 cos? ? 3 ? m cos ? 即在 ? ? ?- ?,? ?上有唯一的实根。

cos? ? 1即? ? 0时满足题意。 代入方程得 m=0,经检验 m=0 符合题意。……12 分

5


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