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2-3第2课时 等差数列前n项和的性质a


第2课时

等差数列前n项和的性质

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第二章 数列

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1.进一步了解等差数列的定义,通项公式以及前n项和公 式. 2.理解等差数列的性质,等差数列前n项和公式的性

质应

用.
3.掌握等差数列前n项和之比问题,以及实际应用.

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1.对等差数列的通项公式、前n项和公式的考查是本课时的
热点. 2.常与函数、不等式结合命题. 3.多以选择题和解答题的形式考查.

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1.数列的通项与前 n 项和的关系 数列{an}的前 n 项和 Sn=a1+a2+a3+…+an 与 an 有如
?S ? 1 下关系:an=? ?Sn-Sn-1 ?

?n=1?, ?n≥2?,

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【特别提醒】

若已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求数列

的通项公式 an 时,要分两步进行;先求当 n≥2 时,an=Sn -Sn-1,此时令 n=1,求 a1. 若 a1=S1,则 an 即为所求,若 a1≠S1, 则
?S ? 1 an=? ?Sn-Sn-1 ?

?n=1?, ?n≥2?,

即表示为分段函数形式.

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2.等差数列前 n 项和公式的性质 n?n-1? d 2 ? d? Sn=na1+ 2 d=2n +?a1-2?n. ? ? 可以写成自变量 n∈N*的函数式, 其图象是分布在抛物线上 d d 的一系列点,2 为二次项系数,a1-2 为一次项系数,常数项 二次 为 0 .所以当 d≠0 时,其 Sn 是关于 n 的无常数项的 函数.

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1.数列{an}的前n项和Sn =2n2 +n(n∈N*),则数列{an}为 ( )

A.首项为1,公差为2的等差数列
B.首项为3,公差为2的等差数列 C.首项为3,公差为4的等差数列 D.首项为5,公差为3的等差数列

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解析: 当n=1时,a1=S1=2×12+1=3. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1. 又a1=4×1-1=3,∴公差d=a2-a1=4×2-1-3=4. ∴{an}是首项为3,公差为4的等差数列,故选C. 答案: C

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2.若一个等差数列{an}的前3项和为34,最后3项的和为146,
且所有项的和为390,则这个数列有( A.13项 C.11项 B.12项 D.10项 )

解析: a1+a2+a3+an-2+an-1+an=34+146=180, 所以 3(a1+an)=180,即 a1+an=60. n?a1+an? 由 Sn=390,知 =390, 2 n×60 所以 2 =390,解得 n=13.故选 A.

答案: A
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3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9 =72,则a2 +a4+a9 =________. 解析: 由等差数列的性质S9 =9a5 =72,a5 =8,a2 +a4 +

a9=a1+a5+a9=3a5=24,故填24. 答案: 24

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4.(1)等差数列{an}中,a2+a7+a12=24,求 S13. 1 (2)等差数列{an}的公差 d=2,且 S100=145, 求 a1+a3+a5+…+a99.
解析: (1)∵a2+a12=a1+a13=2a7, 又 a2+a7+a12=24,∴a7=8. 13?a1+a13? ∴S13= =13×8=104. 2

(2)∵S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100) =2(a1+a3+…+a99)+50d=145, 1 又 d=2,∴a1+a3+…+a99=60.
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已知下列各数列{an}的前 n 项和 Sn, 求{an}的通项公式. 3 2 205 (1)Sn=-2n + 2 n; (2)Sn=3n-2.

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[解题过程]

3 2 205 (1)a1=S1=- ×1 + ×1=101, 2 2

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1
? 3 ? 205 ? ? 3 205 2 2 =?-2n + 2 n?-?-2?n-1? + 2 ?n-1?? ? ? ? ?

=-3n+104. ∵n=1 也适合上式, ∴数列通项公式为:an=-3n+104(n∈N*).
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(2)当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2·n 1. 3 ∵a1=1 不符合 an=2·n 1, 3
?1 ? ∴an=? n-1 ?2· ? 3
- -

?n=1? . ?n≥2?

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[题后感悟] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 或 Sn 与 an 的关 系式, 求通项 an 有如下关系
?S ? 1 an=? ?Sn-Sn-1 ?

?n=1? .特别当 ?n≥2?

n≥2 时,若求出 an 也符合 n=1,可直接写成 an=Sn-Sn-1, 否则分段表示. ,

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1.(1)已知数列{an}的前n项和Sn =n2 -3n+1,求通项公式an ; (2)已知数列{an}的前n项和Sn=(-1)n+1·n,求通项公式an.

解析: (1)当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=n2-3n+1-[(n-1)2-3(n-1)+1] =2n-4, 当 n=1 时,a1=S1=-1 不适合上式,
?-1 ? ∴an=? ?2n-4 ?

?n=1?, ?n≥2?.
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(2)当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(-1)n 1n-(-1)n(n-1) =(-1)n(-2n+1), 由于 a1 也符合此等式, 因此 an=(-1)n(-2n+1)(n∈N*).


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一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,
求前110项之和.

由题目可获取以下主要信息: ①S10=100,S100=10;②此数列为等差数列. 解答本题可充分利用等差数列前n项和的有关性质解答.

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[解题过程] 方法一:设等差数列{an}的公差为 d,前 n n?n-1? 项和为 Sn,则 Sn=na1+ 2 d. ? ?10a +10×9d=100 2 ? 1 由已知得? 100×99 ? ?100a1+ 2 d=10 ? ① ②

11 ①×10-②,整理得 d=-50. 1 099 代入①,得 a1= , 100
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110×109 ∴S110=110a1+ d 2 1 099 110×109 ? 11? =110× 100 + ×?-50? 2 ? ?
?1 =110×? ? ?

099-109×11? ? ? 100 ?

=-110, 故此数列的前 110 项之和为-110.

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方法二:设 Sn=an2+bn,∵S10=100,S100=10, 11 ? ?102a+10b=100 ?a=-100 ? ∴? ?? ?1002a+100b=10 ? ?b=111 10 ? 11 2 111 ∴Sn=-100n + 10 n, 11 111 2 ∴S110=-100×110 + 10 ×110=-110.



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方法三:数列 S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90, S110-S100 成等差数列.设其公差为 D,前 10 项的和 10×9 10S10+ 2 · D=S100=10?D=-22, ∴ S110 - S100 = S10 + (11 - 1)D = 100 + 10×(-22) = - 120, ∴S110=-120+S100=-110.

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方法四:∵S100-S10=a11+a12+…+a100 90?a11+a100? 90?a1+a110? = = . 2 2 又 S100-S10=10-100=-90, ∴a1+a110=-2, 110?a1+a110? ∴S110= =-110. 2

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方法五:设数列{an}的公差为 d. n?n-1? Sn d 由于 Sn=na1+ 2 d,则 n =a1+2(n-1).
?Sn? d ? ? ∴数列? n ?是等差数列,公差为2. ? ? ? ?

S100 S10 d S110 S100 d ∴100- 10 =(100-10)2,且110-100=(110-100)2, 将已知数值代入上式,消去 d,可得 S110=-110.

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[题后感悟] 本题解法较为灵活,方法一、二建立方程(组) 计算属于通性通法.方法三、四、五直接应用性质简捷明快, 起到事半功倍的效果.

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2.(1)等差数列{an}的前n项和为Sn ,若S2 =2,S4 =10,则S6
等于( ) B.18 D.42

A.12 C.24

(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=1,S3m=4,试 求S6m. 解析: (1)S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即2,8,S6-10

成等差数列,S6=24.

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(2)∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m…成公差为d的等差数列 ∴设S2m-Sm=x,则S3m-S2m=2x-1
4 ∴1+x+(2x-1)=4,解得 x=3, 4 1 ∴所以该数列的公差 d=3-1=3. 1 S6m 相当于以 Sm=1 为首项,d= 的数列的前 6 项的和. 3 6×5 1 S6m=6×1+ 2 ×3=11.

答案: (1)C

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已知数列{an}为等差数列,其前12项和354,在前12项中, 偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27,求这个数列的通项公 式.

利用等差数列前n项和公式列方程组求解或根据等差数列的 奇数项依次成等差数列,偶数项依次成等差数列求解.

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[规范作答] 方法一: 由等差数列的性质可知奇数项 a1, a3,a5,…,a11 与偶数项 a2,a4,a6,…,a12 仍然成等差数 列,2 分 设{an}的首项为 a1,公差为 d,则 6×5 S 偶=a2×6+ ×2d=6a1+36d,4 分 2 6×5 S 奇=a1×6+ 2 ×2d=6a1+30d,6 分

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?12a1+66d=354, ? ∴?6a1+36d 32 ?6a +30d=27, ? 1

?a =2, ? 1 解得? ?d=5. ?

10 分

∴an=a1+(n-1)d=5n-3.12 分 方法二:设奇数项与偶数项的和分别为 S 奇,S 偶, ?S偶+S奇=354, ? ∴?S偶 32 ?S奇=27, ?

2分

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?S偶=192, ? ∴? ?S奇=162, ?

4分

192-162 ∴d= =5,6 分 6 ?a1+a11?×6 又∵S 奇= =3(2a1+10d)=162, 2 ∴a1=2,8 分 ∴an=a1+(n-1)d=5n-3.12 分

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[题后感悟] 等差数列{an}中,a1,a3,a5,…是首项为a1, 公差为2d的等差数列,a2,a4,a6,…是首项为a2,公差为2d的 等差数列.当项数为2n时,S偶-S奇=nd,方法2中运用到了这些

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1 3.等差数列{an}的奇数项的和为 51,偶数项的和为 42 , 2 首项为 1,项数为奇数,求此数列的末项及通项公式.
解析: 设等差数列{an}的项数为 2k+1,则数列的中

间项为 ak+1,偶数项有 k 项,奇数项有 k+1 项,于是 1 S 奇=2(k+1)(a1+a2k+1)=(k+1)ak+1=51,① 1 1 S 偶= k(a2+a2k)=kak+1=42 ,② 2 2 k+1 51 ①÷ ②,得 = ,解得 k=5, k 1 42 2
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∴数列共有 11 项. 51 17 将 k=5 代入①,得 a6= 6 = 2 . 17 又 a1+a11=2a6,∴a11=2a6-a1=2× -1=16, 2 17 17 3 (或 a1+5d= 2 ,1+5d= 2 ,d=2.因此末项 a11=16) 3n-1 通项公式 an=1+(n-1)d= 2 (n∈N*,n≥1).

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有两个等差数列{an},{bn},其前 n 项和分别为 Sn,Tn, Sn 7n+2 a5 若T = ,求b . n+3 n 5

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由题目可获取以下主要信息: ①{an}、{bn}分别为等差数列; Sn 7n+2 ② = . Tn n+3 解答本题可充分利用前 n 项和公式及等差中项的关系解 决.

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a5 2a5 a1+a9 [解题过程] 方法一:b =2b = b1+b9 5 5 9?a1+a9? 2 S9 7×9+2 65 = = = = . T9 12 9?b1+b9? 9+3 2 Sn 7n+2 方法二:因为T = , n+3 n 所以设 Sn=(7n+2)kn,Tn=(n+3)· kn. ∴a5=S5-S4=65k,b5=T5-T4=12k,

a5 65k 65 ∴b =12k=12. 5
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[题后感悟]

(1)数列{an},{bn}为等差数列,Sn,Tn 分别

am S2m-1 为其前 n 项和,则 = . bm T2m-1 Sn 7n+2 (2)由 = ,设 Sn 与 Tn 时,如果设成 Sn=(7n+2)k, Tn n+3 Tn=(n+3)k 则错误.从此例的性质方向讲是正确的.但要考 虑到等差数列的前 n 项和为关于 n 的二次函数,所以应设为 Sn=(7n+2)kn,Tn=(n+3)kn. ,

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Sn 两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 Tn 2n an = ,求b . 3n+1 n

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解析: 方法一:设 an=a1+(n-1)d,bn=b1+(n-1)e. a1 S1 1 取 n=1,则 = = ,所以 b1=2a1. b1 T1 2 n?n-1? n-1 n d na1+ d a1+ d a1+ d- 2 2 2 2 Sn 所以T = = = n e= n?n-1? n-1 n nb1+ 2 e b1+ 2 e 2a1+2e-2 2n , 3n+1

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3 d? 3 2 ? d 故 en +(4a1-e)n=2dn +?3a1-2d+2?n+a1-2. ? ?
2

d ? ?a1-2=0, ? 从而?4a1-e=3a1-d, ? 3 ?e= d. ? 2 an 2n-1 所以 = . bn 3n-1

?d=2a , ? 1 ? 即 ?e=3a1. ?

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方法二:设 Sn=an2+bn,Tn=pn2+qn(a,b,p,q 为常 数), Sn an+b 2n 则T = = ,所以 3an2+(3b+a)n+b=2pn2+ pn+q 3n+1 n 2qn, ?3a=2p, ? 从而?3b+a=2q, ?b=0, ? 3qn2+qn.
a1 S1 1 an Sn-Sn-1 2n-1 当 n=1 时, = = ;当 n≥2 时, = = b1 T1 2 bn Tn-Tn-1 3n-1
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?a=2q, ? 即?b=0, ?p=3q, ?

所以 Sn=2qn2,Tn=

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等差数列的前 n 项和有如下的性质. (1)若{an}为等差数列,前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn, S3n-S2n,…也为等差数列.
?Sn? ? ? (2)等差数列{an}中,数列? n ?仍为等差数列. ? ? ? ?

(3)等差数列{an}中,若 Sm=Sp(m≠p),则 Sm+p=0.

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(4)在等差数列{an}中, ①若项数为偶数 2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an, S奇 an an+1 为中间两项);S 偶-S 奇=nd; = . S偶 an+1 ②若项数为奇数 2n-1,则 S2n-1=(2n-1)an;S 奇-S S奇 n =an; = . S偶 n-1 (5)若数列{an}与{bn}均为等差数列,且前 n 项和分别是 am S2m-1 Sn 和 Tn,则 = . bm T2m-1
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◎已知一个数列的前n项和为Sn=n2+n-1,求它的通项公 式,问它是等差数列吗? 【错解】 an=Sn-Sn-1=(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)-1] =2n,又an-an-1=2n-2(n-1)=2,即数列每一项与前一项的 差是同一个常数,∴{an}是等差数列.

【错因】 已知数列的前n项和Sn,求数列的通项an时,需
分类讨论,即分n≥2与n=1两种情况.

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【正解】

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1

=(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)-1]=2n; 当 n=1 时,a1=S1=1.
?1,n=1 ? ∴an=? ?2n,n≥2 ?

.

∵a2-a1=4-1=3≠2, ∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数, ∴{an}不是等差数列.

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练考题、验能力、轻巧夺冠
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2-3第2课时 等差数列前n项和的性质

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