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《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习3-4章课件4-1角的概念的推广与任意角的三角函数

时间:2013-06-18


走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第四章

三 函 与 角 角 数 三 形

第四章

三角函数与三角形

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第四章

三角函数与三角形

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●课程标准 一、任意角的三角函数 1.任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化. 2.三角函数 () 借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的 1 定义.

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三角函数与三角形

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() 借 单 圆 的 角 数 推 出 导 式 2 助位中三函线导诱公 的弦余、切 正、弦正

π ( ±α,π±α 2

), 画 能 出 y=s x,y=cs x,y=tn x的 n i o a 图

象了三函的期. ,解角数周性 () 借 图 理 正 函 、 弦 数 3 助象解弦数余函在
? π π? 在 ?-2,2? 上 性 的质 ? ?

[2 π], 切 数 0 , 正函 x轴 点 交

(如 调 、 大 最 值 图 与 单性最和小、象

等). () 理 同 三 函 的 本 系 : 4 解角角数基关式 s x n i a cs x=tn x. o
第四章 三角函数与三角形

s 2x+cs 2x=1, n i o

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() 结合具体实例,了解y=As ( x +φ)的实际意义;能借 5 n ω i 助计算器或计算机画出y=As ( x +φ)的图象,观察参数A, n ω i ω,φ对函数图象变化的影响. () 会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是 6 描述周期变化现象的重要函数模型.

第四章

三角函数与三角形

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二、三角恒等变换 1.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余 弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的 内在联系. 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和 差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).

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三角函数与三角形

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三、解三角形 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦 定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题.

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三角函数与三角形

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●命题趋势 从近几年的各省高考试卷看,试题内容主要有以下几种类 型:一是重点考查两域(定义域、值域)四性(单 、 偶 周 调奇、 期、对称),尤其是图象变换、周期、单调性与最值,题型多为 选择题、填空题,但也出现中低档的解答题;二是考查三角函 数式的恒等变形,利用公式求值,解决简单综合问题,难度为 中等或易题;三是简单的应用正、余弦定理判断三角形的形状 的选择、填空题,一般为容易题;四是将三角函数的图象与性 质,三角恒等变换,平面向量及不等式等融合在一起,有一定 的综合性的大题.但总体上来看,大题的难度明显降低.
第四章 三角函数与三角形

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角的概念的考查多结合三角函数的基础知识进行.对求 角的集合的交、并等计算技能的考查,有一定综合性,涉及 的知识点较多,不过多比较浅显.三角函数的意义与三角函 数的符号一般在最基本的层面上用选择、填空题的形式考 查. 三角函数的性质和图象主要考查三角函数的概念、周期 性、单调性、有界性、对称性及图象的平移和伸缩变换等, 多以小而活的选择题和填空题的形式出现,有时也会出现以 函数性质为主、结合图象的综合题.尤其是y=As ( x +φ) n ω i 的图象与性质考查较多.
第四章 三角函数与三角形

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三函的简值最问,要查角角数 角数化求及值题主考同三函 的本系,角数诱公,、、、、积 基关式三函的导式和差倍半和 互公在三函值的用考利三公进恒 化式求角数时应,查用角式行 等形技,及本算能,别出理法考 变的能以基运的力特突算方的 查 . 解角主考应正余定对知进变、 三形要查用、弦理已式行形 求或定角的状 值判三形形.

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三角函数与三角形

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近年高考命题强调以能力立意,加强对知识综合性和应用 性的考查,跨学科应用是三角函数的一个鲜明特点、与不等 式、平面向量、数列、解析几何、立体几何等都可能结合起 来,重点仍是与平面向量的结合.

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●备考指南 1.任意角的三角函数和三角恒等变换的复习,要立足于 教材,弄清公式的来龙去脉及适用条件,掌握基本的三角变 换,要注意对公式的正用、逆用、变形应用的训练,以增强变 换的意识;同时,要归纳解题思路及解题规律,如在三角函数 求值问题中,一般是用基本公式,把未知角变换为已知角来 解;在求最值、周期问题中,其思路是合理运用公式把已知表 达式化为一个角的一种三角函数式来求解,由于新课标对三角 变换的要求降低了很多,因此复习时选题不宜太难,注重通性 通法,要重视对有关结论的掌握,不要刻意追求特别技巧.
第四章 三角函数与三角形

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2.解三角形的复习应弄清应用正弦定理和余弦定理解决 三角形问题的基本题型与思路,会应用面积公式,注意解的 讨论. 体会如何用代数方法解决几何问题,学习将实际问题中 的长度、角度看成三角形中的边和角,将实际问题转化为解 三角形的问题,并注意边角关系与解析几何、立体几何的联 系问题. 注意加强化简、求值或判断三角形的形状等问题的训练 和立体几何中的计算、与向量的结合等方面的练习.
第四章 三角函数与三角形

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3.本章试题多以选择题、填空题的形式出现,因此复习 中要重视选择题、填空题的一些特殊解题方法训练,如:数 形结合法、代入检验法、特殊化法、待定系数法、排除法 等.另外,在求有关三角函数的最值问题时,有时可用换元 法将问题转化为一元二次函数的最值来解决,这也是常用的 方法

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三角函数与三角形

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4.三角函数是以实数为自变量的函数,复习时要注意函 数思想的应用,新教材突出了应用问题的地位,今后的高考 会继续体现,而对三角的综合考查将继续向三角形问题中伸 展及与平面向量综合,或与不等式、复数、解析几何、立体 几何相联系,故应注意这方面的训练.与概率知识的交汇应 予以关注. 5.注意单位圆在三角函数复习中梳理知识,探寻解法等 应用.

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三角函数与三角形

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第四章
第 节 一 角 概 的 广 任 角 三 函 的 念 推 与 意 的 角 数

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三角函数与三角形

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

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基础梳理导学

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重点难点

引领方向

重点:1.终边相同的角、轴线角和象限角的表示方法; 2.角度数与弧度数的换算; 3.三角函数的定义; 4.各三角函数值在每个象限的符号; 5.特殊角的三角函数值. 难点:1.三角函数定义及符号. 2.弧度制.

第四章

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夯实基础

稳固根基

1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到

逆 另一个位置所成的图形,按____时针方向旋转所形成的角叫 顺 做正角,按____时针方向旋转所形成的角叫做负角.若一条
射线没作任何旋转,称它形成了一个零角.

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2.象限角 使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴 非 半 重 的负轴

终边 合.角的_____落在第几象限,就说这个角是第几象限角.
3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集 合{| =α+k6° β 30 · ,k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z},前者α用

角度制表示,后者α用弧度制表示.

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4.弧度制

半径 把长度等于_____长的弧所对的圆心角叫1弧度的角.以
弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制,它的单位符号 是rd , 常 去 写 度 弧 的 算 系 下 a 通略不.与度换关如: 180° π a1 =___rd° , π =180rdrd a1 ,a 180 =( π ) ° .

5.弧度制下弧长公式和扇形面积公式
1 2lr |α|· r 扇形弧长l=______,扇形面积S=_____.

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6.任意角的三角函数的定义 直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P的坐标(x, y x y),P到原点的距离是r(r>0),那么s α= r ,cs α= r ,tn α= n i o a y (x≠0)分别叫做角α的 弦 余 、 切 正、弦正. x

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7.正 、 弦 正 函 的 义 弦余、切数定域 三函 角数 y=s α n i y=cs α o y=tn α a 定域 义 R R π {α|α≠kπ+2,k∈Z}

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8.各象限内角的三角函数值的符号如下图所示:

三角函数正值口诀:Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ两切,Ⅳ余 弦.

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疑难误区

点拨警示

1. 入 度 后 角 表 要 采 弧 制 要 采 引弧制,的示么用度,么用 角度制,两者不可混用. 2.() 相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定 1 相 ,边 同 等终 相 的 角 无 个它 之 相 有 数 ,们 间 差 360° 整 倍解 的数.

三角方程时,一定要注意终边相同的角.

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() 角的集合的表示形式不是唯一的,如:终边在 y 轴的 2 π 负半轴上的角的集合可以表示为{x|x=2kπ-2,k∈Z},也可 3π 以表示为{x|x=2kπ+ ,k∈Z}等. 2 3. 三 函 中 角 三 函 值 对 关 是 对 , 在 角 数 ,和 角 数 的 应 系 多 一 即给定一个角,它的各个三角函数值是唯一确定的(不存在的 情况除外);反过来,给定一个三角函数值,有无穷多个角和 它对应.

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4. 切 数 正函 不是 R.

y=tn x 的 义 是 a 定域

π {x∈R|x≠kπ+ ,k∈Z}, 2

5. 断 角 数 的 号 , 特 注 角 在 限 判三函值符时应别意所象的 确定,不要忽略角的终边落在坐标轴上的情况. 6.下列概念应注意区分 小于 90° 的角;锐角;第一象限的角;0° ~90° 的角. 7.三角函数定义中,角 α 的三角函数值仅仅与角 α 的终 边位置有关,而与终边上点 P 的位置无关.

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思想方法技巧

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一、构造思想 [例1]
? π? 已知:α∈?0,2?,求证:s n i ? ?

α<α< α. a tn

分析:构造单位圆,利用单位圆中的三角函数线及三角 形和扇形的面积来证明.

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证 : 设 α与 位 交 明 角 单圆于 如所, 图示

P,则 MP=s α,AT=tn α, n i a

PA 的 l=α.连 AP. 长 结

1 1 △P A 的 积 O 面 = 2OA· MP=2s α. n i 1 1 扇 OP 的 积 形 A 面 = 2l· OA=2α. 1 1 △OT 的 积 A 面 = OA· AT= a α. tn 2 2 ∵S△PA <S 扇 形 O
O A P

<S△O A T

1 1 1 , s α< α< tanα. 即 n i 2 2 2

∴s α<α< α. n i a tn
第四章 第一节

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二、解题技巧 1. 用 角 数 定 解 问 , 般 在 的 边 利三函的义决题一可角终上 任取一点或取某个特殊点. 2. 简 三 不 式 常 利 单 圆 的 角 数 解单角等通是用位中三函线 求解. α α 3.利用单位圆判断 2α、3α、2、3所在象限问题.

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[例 2]

已 角 α 是第 n(n=1、2、3、4)象 的 , 知 限角问

α 是 2

第几象限的角?

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解析:如 : 单 圆 各 限 圆 都 图把位在象的弧 分母),从∠A B 开 逆 针 次 上 O 始时依标

α 2 等分(2 是 的 2 1、2、3、4, 循 一 再环

α 遍,直到填满为止,则有标号 n 的就是 所在象限数. 2 α 如 n=4,2是第二或第四象限的角.用同样的方法也可求 α α 3,4所在象限.

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α α 上图左是求3的方法,上图右是求4的方法.

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一 地要 定 般 ,确

θ 所 的 限可 把 个 限 在 象 ,以 各 象 都 n

n 等分,

从 x 轴的非负半轴起,按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环 标上号码 1、2、3、4,则标号是几的区域,就是 θ 为第几象 θ θ 限的角时, 终边落在的区域, 所在的象限就可直观地看出. n n

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考点典例讲练

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终边相同的角与角所在象限的判断

[例 1]

若α是 二 限 , 第象角则

α 是第______象限角. 3

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解析:解法 1:∵α 是第二象限角, ∴k· +9° α<k· +180° 30 6° 0 < 30 6° ,k∈Z, k α k ∴330 +3° 3<330 +60° · 6° 0 < · 6° ,k∈Z. α 当 k=3n 时,有 n· +3° 3<n· +60° 30 6° 0 < 30 6° ,n∈Z,此 α 时3是第一象限角. α 当 k=3n+1 时,n· +150° <n· +180° 30 6° < 30 6° ,n∈Z, 3 α ∴3是第二象限角.
第四章 第一节

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当 k=3n+2 时,n· +20 30 6° 7° < α ∴3是第四象限角.

α <n· +300° 30 6° ,n∈Z, 2

α 综上所述知, 为第一、二、四象限角. 3

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解法 2:如图可知

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α α 为第二象限角时, 位于第一、二、四象限. 3

答案:一、二或四

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点: 准判角在象,速行度弧的 评 确明所的限迅进角和度 熟 掌 终 相 的 的 示 学 三 函 知 必 的 本 练 握 边 同 角 表 是 习 角 数 识 备 基

互, 化

功.涉及到角度和弧度互化关系和终边相同角的问题,基本公式 10 =π 8° a r d 在题起键用若确一绝值大角 解中关作,要定个对较的所 2kπ+α(0<α<2( k∈Z)的 式 然 π ) 形, π的数, 偶倍

在象,般先角成 的限一是将化 后根 再据

α所 的 限以 断 这 要 别 意 在象予判,里特注是

而是 π的数,要出某指范内某特的, 不 整倍若求在一定围的种殊角 通是为等去出应 常化不式求对的 的念并掌好 概,能握 互关 . 系
第四章 第一节

k值另,要意解间 .外还注理区角 α 2α、2角 取 范 间 相 的值围的

α角取范与 的值围

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已 α是 三 限 角 则 知 第象的,

α 第 ____ 2为 ____

象角 限.

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3π 解析:∵2kπ+π<α<2kπ+ ,k∈Z, 2 π α 3π ∴kπ+2<2<kπ+ 4 , α 当 k=2n(n∈Z)时, 为第二象限角; 2 π α 3π 当 k=2n+1(n∈Z)时,(2n+1 +2<2< n+1 + 4 ,即 ) π ( 2 ) π 3π α 7π 2nπ+ < <2nπ+ , 2 2 4

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α ∴ 是第四角限角. 2 α 综上知,2是第二或第四象限角.

答案:二或四

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[例 2]

若 s θ<o θ,且 s θ· θ<0,则 θ 在( n cs i n cs i o B.第二象限 D.第四象限

)

A.第一象限 C.第三象限

分析: s θ· θ<0 可知 s θ 与 cs θ 异 ,由 由 n cs i o n i o 号再 可知其正负,即可判断出角 θ 所在象限.

s θ<o θ n cs i

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解析:由条件可知:cs θ>> o 0s n i 故选 D.
答案:D

θ,则 θ 为 四 限 , 第象角

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(文)01 ( 1· 2

广模 州 拟 )已知 cs θ· θ<0, 么 o a tn 那角

θ 是(

)

A. 一 第 象 角 第或二限 B. 二 第 象 角 第或三限 C. 三 第 象 角 第或四限 D. 一 第 象 角 第或四限

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解析:∵cs θ· θ=s θ<0,cs θ≠0. o a tn n i o ∴θ 为第三、四象限角,故选 C.

答案:C

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(理)若 s2 α>0 且 cs α<0,则 α 是( n i o A.第二象限角 C.第三象限角 B. 一 第 象 角 第或三限

)

D.第二或第三象限角

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解析:∵s2 α=2 αcs α>0,cs α<0,∴s α<0, n i s n i o o n i ∴α 为第三象限角.

答案:C

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三角函数的定义

[例 3] 的值为(

(文)设角 α 终边上一点 P(-4a, 3a)(a<) , s α 0 则n i )

3 3 A.5 B.-5 4 4 C.5 D.-5

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解析:∵a<0,∴r= ?-4a?2+?3a?2=-5a, 3a 3 ∴s α= r =-5,故选 B. n i

答案:B

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(理)已知角 α 的顶点与直角坐标系的原点重合,始边在 x 轴的正半轴上,终边经过点 P(1,-2).则 cs o ________.
? π? ?2α- ?的值为 3? ?

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解析:∵P(1,-2)是角 α 终边上一点,由此求得 r=|OP|= 5, 2 5 5 ∴s α=- 5 ,cs α= 5 . n i o 4 ∵s2 α=2 αcs α=- , n i s n i o 5 3 cos2α=cs α-s α=-5. o n i
2 2

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∴cs o

? π? ?2α- ?=cs 2 3? o ?

π π αcs +s2 αs o n i n i 3 3 3 .

? 3? 1 ? 4? 3 3+4 ?- ?·+?- ?· =- = 5 2 10 ? ? ? 5? 2

3+4 3 答案:- 10

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(02 21·

济南一模)已知 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的 )

1 一点,且 cs α= x,则 a α=( o tn 5 4 A. 3 3 C.-4 3 B. 4 4 D.-3

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解析:由 意 的 角 数 定 可 任角三函的义知

x 1 = x,解 x2+16 5

4 得 x=3(舍去)或 x=-3,所以 a α=-3,故选 D. tn

答案:D

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三角函数值的符号的判断

[例 4]

若θ是 三 限 , 断 第象角判

s ?cs θ? n o i 的符号. cs ?s2 θ? o n i

分析:确定符号,关键是看角所在象限.

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3π 解析:∵2kπ+π<θ<2kπ+ (k∈Z), 2 ∴-1cs <o 0s2 < n i ∴s(o ns ic θ<4 kπ+2< θ<4kπ+3π, 0 , π2

θ≤1, θ)0 ,cs2 < on ( s i θ)0 >.

s ?cs θ? n o i s ?cs θ? n o i ∴ <. ∴ 0 的符号是负号. cs ?s2 θ? o n i cs ?s2 θ? o n i

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点 P(21° s04 n i A. 一 限 第象 C. 三 限 第象

,tn04 a21° )

位 ( 于

)

B. 二 限 第象 D. 四 限 第象

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解析:∵2014° =360° ×5+214° 为第三象限角, ∴tn040 a21° >
答案:B

,s21° n040 i <

,∴点 P 在第二象限.

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弧长公式的应用

[例 5]

已知 2 弧 的 心 所 的 长 度圆角对弦为 )

2, 么 个 那这

圆心角所对弧长是( A.2 2 C.s1 n i B.s2 n i D.21 s n i

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解析:如图,∠A B =2 弧度,过 O 点作 OC⊥AB 于 C, O 并延长 OC 交 A B 于 D.∠A D =∠B D =1 弧 , O O 度且 AC 1 =1,在 Rt△A C 中,AO= O = ,而 从弧 s1 n i s ∠A C n i O 2 为 l=|α|· r= .∴选 C. s1 n i 1 AC= AB 2 AB 的长

答案:C

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点评:本题是据弧长公式 l=|α|r 求 长 需 求 径 弧,先半.

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(文)P 点从(0 1) ,

出,单圆 发沿位

x2+y2=1 按逆时针方向运 .

2 π 动 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为____ ____ 3

第四章

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解析:由三角函数的定义可知,Q 点的坐标(x,y)满足 x 2π 2π 1 3 =cs 3 ,y=s 3 ,故 Q 点坐标为(-2, 2 ). o n i

1 3 答案:(-2, 2 )

第四章

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(理)一扇形的周长为 20, 这 扇 的 积 大 , 形 当 个 形 面 最 时扇 的中心角为________rad.

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解析:设扇形的半径为 r,弧长为 l,则 l+2r=20. 即 l=20-2r(< r<0 .① 0 1) 1 1 扇形的面积 S=2lr,将①代入,得 S=2(0 -2r)r=-r2 2 +10r=-(r-5)2+25, 所以当且仅当 r=5 时,S 有最大值 25. l 此时 l=20-2×5=10,α= =2. r 所以当 α=2d r a
答案:2
第四章 第一节

时扇的积最值 ,形面取大.

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课堂巩固训练

第四章

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一、选择题 π 1.若-2<α<0,则点 P( α,cs α)位于( a tn o A.第一象限 C.第三象限
[答案] B

)

B. 二 限 第象 D.第四象限

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[解析]

π ∵- <α<0,∴tn α<0,cs α>0, a o 2

∴点 P( α,cs α)在 二 限 a tn o 第象.

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2.(01 21· 限是( )

秦皇岛模拟)已知 α 为 二 限 , 第 象 角则

α 所在的象 2

A.第一或第二象限 C.第一或第三象限
[答案] C

B.第二或第三象限 D.第二或第四象限

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[解析]

∵α 为 二 限 , 第象角

π ∴2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z. π α π ∴ +kπ< < +kπ,k∈Z. 4 2 2 设 m∈Z,则 α 当 k=2m 时,2为 一 限 ; 第象角 α 当 k=2m+1 时, 为第三象限角. 2

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3.(02 21·

潍坊模拟)已知角 α 的终边经过点 P(m,-3), )

4 且 cs α=-5,则 m 等于( o 11 11 A.- B . 4 4 C.-4
[答案] C

D.4

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[解析]

由意知 题可,

m 4 cs α= 2 o =- ,又 m<0,解 5 m +9

得 m=-4,故选 C.

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二、填空题 4. 知 已角 α 与 3α 的 边 同 终相, α∈(2) 0π , ,则 α=______.

[答案]

π

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[解析] ∵α∈(2) 0π ,

由件, 条知

3α=α+2kπ,∴α=kπ (k∈Z).

,∴α=π.

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