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第1讲 平行截割定理与相似三角形


第1讲

平行截割定理与相似三角形
基础梳理

1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理及其推论 ①定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在任一条(与这 组平行线相交的)直线上截得的线段也. ②推论:经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰. (2)平行截割定理及其推论 ①定理:两条直线与一组平行线相交,它

们被这组平行线截得的对应线段 成 .

②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),截得的三角 形与原三角形的对应边 (3)三角形角平分线的性质 三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比. (4)梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于 2.相似三角形 (1)相似三角形的判定 ①判定定理 a.两角对应相等的两个三角形相似. b.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. c.三边 的两个三角形相似.

②推论: 平行于三角形一边的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角 形相似. ③直角三角形相似的特殊判定

斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. (2)相似三角形的性质 相似三角形的对应线段的比等于相似比,面积比等于 (3)直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积, 斜边 上的高的平方等于两条直角边在斜边上 双基自测 1. 如图所示, 已知 a∥b∥c, 直线 m、 分别与 a、 c 交于点 A, C 和 A′, n b、 B, 3 B′,C′,如果 AB=BC=1,A′B′=2,则 B′C′=________. 的乘积.

2.如图所示,BD、CE 是△ABC 的高,BD、CE 交于 F,写出图中所有与△ ACE 相似的三角形________.

第2题

第3题

3.(2011· 西安模拟)如图,在△ABC 中,M、N 分别是 AB、BC 的中点,AN、 CM 交于点 O,那么△MON 与△AOC 面积的比是________. 4.如图所示,已知 DE∥BC,BF∶EF=3∶2,则 AC∶AE=______,AD∶ DB=________.

第4题

第5题

5.(2010· 广东)如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a, a CD=2,点 E、F 分别为线段 AB、AD 的中点,则 EF=________.

考向一

平行截割定理的应用

【例 1】?(2011· 广州测试(二))在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=2,BC=5, AE 3 点 E、F 分别在 AB、CD 上,且 EF∥AD,若EB=4,则 EF 的长为________.

【训练 1】 如图,在△ABC 中,DE∥BC,EF∥CD,若 BC=3,DE=2,DF =1,则 AB 的长为________. 考向二 相似三角形的判定和性质的应用

【例 2】?已知,如图,在△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC,点 D 是垂足. 求证:BC2=2CD· AC.

【训练 2】 (2011· 惠州调研)如图,在△ABC 中,DE∥BC,DF∥AC,AE∶AC =3∶5,DE=6,则 BF=________.

考向三

直角三角形射影定理的应用

【例 3】?已知圆的直径 AB=13,C 为圆上一点,过 C 作 CD⊥AB 于 D(AD> BD),若 CD=6,则 AD=________.

【训练 3】 在△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D,AD∶BD=2∶3.则△ ACD 与△CBD 的相似比为________. 练习 1.如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于点 D,AD=4,sin 4 ∠ACD=5,则 CD=________,BC=________.

2.(2011· 揭阳模拟)如图,BD⊥AE,∠C=90° ,AB=4,BC=2,AD=3,则 EC=________.

3.(2011· 湛江模拟)如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点, BF AE 交于 BC 于 F,则FC=________.

4.如图所示,∠C=90° ,∠A=30° 是 AB 中点,DE⊥AB 于 E,则△ADE ,E 与△ABC 的相似比是________.


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