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高二数学选修2-1第三章空间向量与立体几 知识点+习题+答案


空间向量与立体几何
1、空间向量的概念:

?1? 在空间,具有大小和方向的量称为空间向量.
? 2 ? 向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指
的方向表示向量的方向. ???? ??? ? ,记作 ?? . ? 3? 向量 ?? 的大小称为向量的模(或长度)

? 4 ? 模(或长

度)为 0 的向量称为零向量;模为1的向量称为单位向量. ? 5 ? 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量,记作 ?a . ? 6 ? 方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2、空间向量的加法和减法:

?

?

?

?1? 求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵
循平行四边形法则.即:在空间以同一点 ? 为 ? ? 起点的两个已知向量 a 、 b 为邻边作平行四边形
???? ? ? 则以 ? 起点的对角线 ?C 就是 a 与 b 的 ??C? ,

和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行 四边形法则.

? 2 ? 求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵
循三角形法则.即:在空间任取一点 ? ,作 ???? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ?a , ?? ? b ,则 ?? ? a ? b . ? ? 3、 实数 ? 与空间向量 a 的乘积 ? a 是一个向量, 称为向量的数乘运算. 当 ? ? 0 时, ? ? ? ? ? ? a 与 a 方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 与 a 方向相反;当 ? ? 0 时, ? a 为零向量,记 ? ? ? 为 0 . ? a 的长度是 a 的长度的 ? 倍.

? ? 4、设 ? , ? 为实数, a , b 是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结
合律.
? ? ? ? ? ? 分配律: ? a ? b ? ? a ? ? b ;结合律: ? ? ? a ? ? ? ?? ? a .

?

?

5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线 向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线. ? ? ? ? ? 6、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量 a , b b ? 0 , a // b 的充要条

?

?

1

? ? 件是存在实数 ? ,使 a ? ?b .

7、平行于同一个平面的向量称为共面向量. 8、 向量共面定理: 空间一点 ? 位于平面 ??C 内的充要条件是存在有序实数对 x , ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? y ,使 ?? ? x ?? ? y ?C ;或对空间任一定点 ? ,有 ?? ? ?? ? x ?? ? y ?C ;或
??? ? ???? ??? ? ???? 若四点 ? , ? , ? , C 共面,则 ?? ? x?? ? y ?? ? z ?C ? x ? y ? z ? 1? .

? ? ? ? ? ? ??? ? ? 9、 已知两个非零向量 a 和 b , 在空间任取一点 ? , 作? 则? ?? a ,?? ? b , ? ? ?
? ? ? ? ? ? 称为向量 a ,b 的夹角,记作 ? a , b ? .两个向量夹角的取值范围是:? a , b ? ? ? 0, ? ? .

? ? ? ? ? ? ? ? ? 10、 对于两个非零向量 a 和 b , 若 ? a, b ? ? , 则向量 a ,b 互相垂直, 记作 a ? b . 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? o s ab ,? ? 称为 a , b 的数量积, 11、 已知两个非零向量 a 和 b , 则 ab c 记作 a ? b . 即
? ? ? ? ? ? a? b ?a b c o s ab ?, ?

.零向量与任何向量的数量积为 0 .

? ? ? ? ? ? ? ? ? 12、 a ? b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos? a , b ? 的乘积.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13、若 a , b 为非零向量, e 为单位向量,则有 ?1? e ? a ? a ? e ? a cos? a , e ? ;

? ? ? ? ?a b a与b同向 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ,a ?a ? a , a ? a ?a ; ? 2 ? a ? b ? a ? b ? 0 ; ? 3? a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? a b a与b反向 ? ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? a ?b ? ? ? 4 ? cos? a, b ? ? ? ? ; ? 5 ? a ? b ? a b . a b
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14、向量数乘积的运算律: ?1? a ? b ? b ? a ; ? 2 ? ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ;

?

?

? ?

? 3? ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c .
? ? ?

? ?

? ?

? ? ? ? 15、若 i , j , k 是空间三个两两垂直的向量,则对空间任一向量 p ,存在有序 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 实数组 ? x, y , z? ,使得 p ? xi ? yj ? zk ,称 xi , yj , zk 为向量 p 在 i , j , k 上

的分量.
? ? ? ? 16、空间向量基本定理:若三个向量 a , b , c 不共面,则对空间任一向量 p ,
? ? ? ? 存在实数组 ? x, y , z? ,使得 p ? xa ? yb ? zc .

? ? ? 17、若三个向量 a , b , c 不共面,则所有空间向量组成的集合是

2

? ? ? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc , x, y, z ? R? .这个集合可看作是由向量 a , b , c 生成的, ?p ?
?
? ? ? ? , b , c ? 称为空间的一个基底, a ,b ,c 称为基向量.空间任意三个不共面的向 ?a ?

?

量都可以构成空间的一个基底. ?? ?? ? ?? 18、设 e1 , e2 , e3 为有公共起点 ? 的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位
?? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? 正交基底) ,以 e1 , e2 , e3 的公共起点 ? 为原点,分别以 e1 , e2 , e3 的方向为 x

? 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 ?xyz . 则对于空间任意一个向量 p ,
??? ? ? 一定可以把它平移,使它的起点与原点 ? 重合,得到向量 ?? ? p .存在有序实
?? ?? ? ?? ? ? 数组 ? x, y , z? ,使得 p ? xe1 ? ye2 ? ze3 .把 x , y , z 称作向量 p 在单位正交基底 ?? ?? ? ?? ? ? e1 , e2 , e3 下的坐标,记作 p ? ? x, y, z ? .此时,向量 p 的坐标是点 ? 在空间直角

坐标系 ?xyz 中的坐标 ? x, y , z ? .
? ? ? ? 19、设 a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 ?1? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? .

? 2 ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? . ? 3? ? a ? ? ? x1 , ? y1 , ? z1 ? . ? 4 ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 . ? 5 ? 若 a 、 b 为非零向量,则 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 . ? 6 ? 若 b ? 0 ,则 a // b ? a ? ?b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 .
? ? ? a ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12 . ? ? xx ?y y ?z z a ?b ? ? ? 8 ? cos?a, b ? ? ? ? ? 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 . a b x1 ? y1 ? z1 ? x2 ? y2 ? z2

?

?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?7?

? ? ? x2 , y2 , z2 ? , 则 d?? ? ?? ? ? x ? 9 ? ? ? x1 , y1 , z1 ? ,

??? ?

2

x ?1

?? ? z z ?1 ?y ? 2? 2y 1
2 2

?

2

?



20、在空间中,取一定点 ? 作为基点,那么空间中任意一点 ? 的位置可以用向量 ??? ? ??? ? ?? 来表示.向量 ?? 称为点 ? 的位置向量. 21、 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 ? 以及一个定方向确定. 点 ? ? 是直线 l 上一点,向量 a 表示直线 l 的方向向量,则对于直线 l 上的任意一点 ? , ??? ? ? ? 有 ?? ? ta ,这样点 ? 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置,还可以具体表示出直
3

线 l 上的任意一点. 22、 空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线 ? ? 相交于点 ? ,它们的方向向量分别为 a , b . ? 为平面 ? 上任意一点,存在有序
??? ? ? ? ? ? 实数对 ? x, y ? , 使得 ?? ? xa ? yb , 这样点 ? 与向量 a ,b 就确定了平面 ? 的位置. ? ? 23、直线 l 垂直 ? ,取直线 l 的方向向量 a ,则向量 a 称为平面 ? 的法向量. ? ? ? ? 24、若空间不重合两条直线 a , b 的方向向量分别为 a , b ,则 a // b ? a // b ?
? ? ? ? ? ? a ? ?b ? ? ? R ? , a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 . ? ? ? 25、若直线 a 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,且 a ? ? ,则 a // ? ? a// ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? n ? a ? n ? 0 , a ? ? ? a ? ? ? a // n ? a ? ?n . ? ? ? ? 26、若空间不重合的两个平面 ? , ? 的法向量分别为 a ,b ,则 ? // ? ? a// b ?

? ? ? ? ? ? a ? ?b , ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 .

? ? 27、设异面直线 a , b 的夹角为 ? ,方向向量为 a , b ,其夹角为 ? ,则有 ? ? a ?b cos ? ? cos ? ? ? ? . a b
? ? ? ? 28、设直线 l 的方向向量为 l ,平面 ? 的法向量为 n ,l 与 ? 所成的角为 ? ,l 与 n ? ? l ?n 的夹角为 ? ,则有 sin ? ? cos ? ? ? ? . l n
?? ?? ? ?? ?? ? 29、设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? , ? 的法向量,则向量 n1 , n2 的夹

角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? , ?? ?? ? n1 ? n2 则 cos ? ? ?? ?? ? . n1 n2 ???? ??? ? 30、点 ? 与点 ? 之间的距离可以转化为两点对应向量 ?? 的模 ?? 计算. ? 31、在直线 l 上找一点 ? ,过定点 ? 且垂直于直线 l 的向量为 n ,则定点 ? 到直线 ??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? l 的距离为 d ? ?? cos???, n? ? ? . n ? 32、点 ? 是平面 ? 外一点, ? 是平面 ? 内的一定点, n 为平面 ? 的一个法向量, ??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? 则点 ? 到平面 ? 的距离为 d ? ?? cos???, n? ? ? . n

4

空间向量与立体几何练习题 1 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

A1 D1 =b, 1.如图, 在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, M 为 AC 与 BD 的交点.若 A1 B1 =a,

A1 A =c,则下列向量中与 B1 M 相等的向量是
A.-

1 1 a + b +c 2 2 1 2

B. a+ b+c

1 2

1 2

C. a- b+c

1 2

D.- a- b+c

1 2

1 2

2.下列等式中,使点 M 与点 A、B、C 一定共面的是 1 1 1 A. OM ? 3OA ? 2OB ? OC B. OM ? OA ? OB ? OC 2 3 5 C. OM ? OA ? OB ? OC ? 0 D. MA ? MB ? MC ? 0

3.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1,点 E、F 分别是 AB、AD 的中点,则 EF ? DC 等于 A.
1 4

B. ?

1 4

C.

3 4

D. ?

3 4

4.若 a ? (1, ? ,2) , b ? (2,?1,1) , a 与 b 的夹角为 60 0 ,则 ? 的值为 A.17 或-1 B.-17 或 1 C.-1 D.1

5.设 OA ? (1,1,?2) , OB ? (3,2,8) , OC ? (0,1,0) ,则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距 离为 A.
13 2

B.

53 2

C.

53 4

D.

53 4

6.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

①正方体

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥

5

A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 7.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A. 9π 2 B. 10π C. 11π 3 D. 12π
2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

8.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是 .. A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60°

9.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角 的正弦值为 A.
6 3

B.

2 5 5

C.

15 5

D.

10 5

10.⊿ABC 的三个顶点分别是 A(1,?1,2) ,B(5,?6,2) ,C (1,3,?1) ,则 AC 边上的高 BD 长为 A.5 B. 41 C.4 D. 2 5

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.设 a ? ( x,4,3) , b ? (3,?2, y) ,且 a // b ,则 xy ? .

12.已知向量 a ? (0,?1,1) , b ? (4,1,0) , ?a ? b ? 29 且 ? ? 0 ,则 ? =________. 13.在直角坐标系 xOy 中,设 A(-2,3) ,B(3,-2) ,沿 x 轴把直角坐标平面折 成大小为 ? 的二面角后,这时 AB ? 2 11 ,则 ? 的大小为 14.如图,P—ABCD 是正四棱锥,
ABCD ? A1 B1C1D1 是正方体,其中
AB ? 2, PA ? 6 ,则 B1 到平面 PAD



的距离为

.

6

三、解答题(共 80 分) 15.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正 方形,侧棱 PA 的长为 2,且 PA 与 AB、AD 的夹角都等于 600, M 是 PC 的中点, 设 AB ? a, AD ? b, AP ? c . (1)试用 a, b, c 表示出向量 BM ; (2)求 BM 的长.
D A B C P

M

16.(本小题满分 14 分)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得 多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm).(1)在正视图 下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该 多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 BC ' ,证明: BC ' ∥面 EFG..
D' G F B' C'

E D A
6 2

C B
2

2 4

4

正视图

侧视图

7

17. (本小题满分 12 分) 如图, 在四面体 ABCD 中, 点 E,F CB ? CD,AD ? BD , 分别是 AB,BD 的中点.求证: (1)直线 EF // 面 ACD ; (2)平面 EFC ? 面 BCD .

18. (本小题满分 14 分) 如图, 已知点 P 在正方体 ABCD ? A' B' C' D' 的对角线 BD' 上,∠PDA=60°. (1)求 DP 与 CC' 所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA' D' D 所成角的大小.
D' A' B' C'

P

D A B

C

8

19.(本小题满分 14 分)已知一四棱锥 P-ABCD 的三视图如下,E 是侧棱 PC 上 的动点. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)是否不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE?证明你的结论; (3)若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D-AE-B 的大小.
P

E

2
D C

2 1

A

B

1 正视图

1 侧视图

1 俯视图

20.(本小题满分 14 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 为菱形,

PA ? 平面 ABCD , ?ABC ? 60? , E,F 分别是 BC,PC 的中点.
(1)证明: AE ? PD ; (2)若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 面角 E ? AF ? C 的余弦值.
P

6 ,求二 2

F A B E C D

9

参考答案 一、选择题

1 1 1 1 1. B1 M ? B1 B ? BM ? A1 A ? ( BA ? BC) =c+ (-a+b)=- a+ b+c,故选 A. 2 2 2 2
2. 由于M、A、B、C四点共面 ? OM ? xOA ? yOB ? zOC ( x, y, z ? R)且x ? y ? z ? 1
? 选项( A)、 ( B)、 (C )都不正确. 由于MA ? MB ? MC ? 0 ? MA ? ? MB ? MC

所以存在x ? ?1, y ? 1, 使 MA ? x MB ? y MC ? MA, MB, MC共面

故选 D. 由于M为公共点? M、A、B、C四点共面, 3.∵ E, F分别是AB, AD的中点 ,? EF // BD且EF ?
? EF ? DC ?

1 1 BD,? EF ? BD , 2 2

1 1 1 1 BD ? DC ? BD ? DC cos ? BD, DC ?? ? 1 ? 1 ? cos120 0 ? ? 2 2 2 4

故选 B. 4.B 5.B

6.D

7.D

8.D
AC

9.D 所以 BD ? ? 4,
AB ? AD
2 2

10.由于 AD ? AB ? cos ? AB, AC ? ?

AB ? AC

? 5 ,故选 A

二、填空题 11.9 12.3 13.作 AC⊥x 轴于 C,BD⊥x 轴于 D,则 AB ? AC ? CD ? DB ∵ AC ? 3, CD ? 5, DB ? 2, AC ? CD ? 0, CD ? DB ? 0, AC ? DB ? AC ? DB cos( 180 0 ? ? ) ? ?6 cos?
? AB ? ( AC ? CD ? DB ) 2 ? AC ? CD ? DB ? 2( AC ? CD ? CD ? DB ? DB ? AC ) 1 ? (2 11) 2 ? 3 2 ? 5 2 ? 2 2 ? 2(0 ? 0 ? 6 cos? ),? cos? ? ? .由于 0 0 ? ? ? 180 0 ,?? ? 120 0 2
2 2 2 2

14.以 A1 B1 为 x 轴, A1 D1 为 y 轴, A1 A 为 z 轴建立空间直角坐标系
?? 设平面 PAD 的法向量是 m ? ( x, y, z ) ,
???? ??? ? ?? ? AD ? (0, 2, 0), AP ? (1,1, 2) ,∴ y ? 0, x ? y ? 2 z ? 0 ,取 z ? 1 得 m ? (?2, 0,1) , ???? ?? B1 A ? m 6 ???? ? B1 A ? (?2, 0, 2) ,∴ B1 到平面 PAD 的距离 d ? ?? ? 5. 5 m

10

三、解答题 15.解: (1)∵ M 是 PC 的中点,∴ BM ?
1 1 1 1 ? [b ? (c ? a )] ? ? a ? b ? c 2 2 2 2

1 1 ( BC ? BP) ? [ AD ? ( AP ? AB)] 2 2

(2)由于AB ? AD ? 1, PA ? 2, ? a ? b ? 1, c ? 2
由于AB ? AD, ?PAB ? ?PAD ? 60 0 , ? a ? b ? 0, a ? c ? b ? c ? 2 ? 1 ? cos 60 0 ? 1
由于BM ?
? BM
2

1 (?a ? b ? c ), 2

?

1 1 1 3 (?a ? b ? c) 2 ? [a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(?a ? b ? a ? c ? b ? c)] ? [12 ? 12 ? 2 2 ? 2(0 ? 1 ? 1)] ? 4 4 4 2

? BM ?

6 6 , ? BM的长为 . 2 2

16.解: (1)如图

1 ?1 284 ? (2) 所求多面体体积 V ? V长方体 ? V正三棱锥 ? 4 ? 4 ? 6 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? (cm2 ) . 3 ?2 3 ?

(3)证明:在长方体 ABCD ? A?B?C?D? 中, D? G F 连结 AD? ,则 AD? ∥ BC? . A? 因为 E,G 分别为 AA? , A?D? 中点, 所以 AD? ∥ EG , E D 从而 EG ∥ BC? .又 BC? ? 平面 EFG , A 所以 BC? ∥面 EFG . 17.证明: (1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵AD ? 面 ACD,EF ? 面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD; (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD, ∵CB=CD,F 是BD的中点,∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F, ∴BD⊥面 EFC,

C?

B?
C B

11

∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC ? 面 BCD . 18.解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz .
??? ? ???? ? 则 DA ? (1, 0, 0) , CC ? ? (0, 0, 1) .连结 BD , B?D? .

在平面 BB?D?D 中,延长 DP 交 B?D? 于 H . ???? ? ??? ? ???? ? 1)(m ? 0) ,由已知 ? DH, 设 DH ? (m,m, DA ?? 60? ,
??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? DH ? ,可得 2m ? 2m 2 ? 1 . 由 DA?DH ? DA DH cos ? DA,

解得 m ?

???? ? ? 2 2 ? 2 1? ,所以 DH ? ? ? 2 ,2 , ?. 2 ? ?

z

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ???? ? ???? ? 2 2 2 (1)因为 cos ? DH, , CC ? ?? ? 2 1? 2

D? A?
D A x

H P

C?

B?
C B y

???? ? ???? ? 所以 ? DH, CC ? ?? 45? ,即 DP 与 CC ? 所成的角为 45? .
???? 1, 0) . (2)平面 AA?D?D 的一个法向量是 DC ? (0,
2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 ???? ? ???? 1 2 因为 cos ? DH, DC ?? 2 ? , 2 1? 2

???? ? ???? DC ?? 60? ,可得 DP 与平面 AA?D?D 所成的角为 30? . 所以 ? DH,

19.解: (1)由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的 1 2 正方形,侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2.∴ VP ? ABCD ? S? ABCD ? PC ? 3 3 (2)不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE 证明如下:连结 AC,∵ABCD 是正方形,∴BD⊥AC ∵PC⊥底面 ABCD 且 BD ? 平面 ABCD ∴BD⊥PC 又 AC ? PC ? C ∴BD⊥平面 PAC ∵不论点 E 在何位置,都有 AE ? 平面 PAC ∴不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE (3)解法 1:在平面 DAE 内过点 D 作 DG⊥AE 于 G,连结 BG ∵CD=CB,EC=EC,∴ Rt ?ECD ≌ Rt ?ECB ,∴ED=EB ∵AD=AB,∴△EDA≌△EBA,∴BG⊥EA ∴ ?DGB 为二面角 D-EA-B 的平面角 ∵BC⊥DE,AD∥BC,∴AD⊥DE
2 在 Rt△ADE 中 DG ? AD ? DE = =BG AE 3

12

2 2 2 在△DGB 中,由余弦定理得 cos ?DGB ? DG ? BG ? BD ? ? 1

2? 2? ∴ ?DGB = ,∴二面角 D-AE-B 的大小为 . 3 3

2 DG ? BG

2

解法 2:以点 C 为坐标原点,CD 所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示:
z

则 D(1,0,0), A(1,1,0), B(0,1,0), E(0,0,1) ,从而
???? ??? ? ??? ? ??? ? DE ? (?1, 0,1), DA ? (0,1, 0), BA ? (1, 0, 0), BE ? (0, ?1,1)

P

E x D

设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 ?? ? m ? (a, b, c), n ? (a ', b ', c ')

C

A

由法向量的性质可得: ?a ? c ? 0, b ? 0 , a ' ? 0, ?b '? c ' ? 0
?? ? 令 c ? 1, c ' ? ?1,则 a ? 1, b ' ? ?1 ,∴ m ? (1, 0,1), n ? (0, ?1, ?1)
?? ? m?n 设二面角 D-AE-B 的平面角为 ? ,则 cos ? ? ??? ? ? ? 1 2 | m |?| n |

y

B

∴? ?

2? 2? ,∴二面角 D-AE-B 的大小为 . 3 3

20.(1)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60? ,可得 △ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE ? BC . 又 BC ∥ AD ,因此 AE ? AD . 因为 PA ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD ,所以 PA ? AE . 而 PA ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD 且 PA ? AD ? A , 所以 AE ? 平面 PAD .又 PD ? 平面 PAD , 所以 AE ? PD . (2)解:设 AB ? 2 , H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH . 由(1)知 AE ? 平面 PAD , 则 ?EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt△EAH 中, AE ? 3 , 所以当 AH 最短时, ?EHA 最大, 即当 AH ? PD 时, ?EHA 最大. 此时 tan ?EHA ?
AE 3 6 ? ? , AH AH 2

因此 AH ? 2 .又 AD ? 2 ,所以 ?ADH ? 45? , 所以 PA ? 2 .
13

解法一:因为 PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ? 平面 ABCD . 过 E 作 EO ? AC 于 O ,则 EO ? 平面 PAC , 过 O 作 OS ? AF 于 S ,连接 ES ,则 ?ESO 为二面角 E ? AF ? C 的平面角,
sin 30? ? 在 Rt△AOE 中, EO ? AE ? 3 3 , AO ? AE ?cos 30? ? , 2 2

又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ASO 中, SO ? AO? sin 45? ?

3 2 , 4

3 2 3 9 30 SO 15 , 又 SE ? EO ? SO ? ,在 Rt△ESO 中, cos ?ESO ? ? ? ? 4 ? 4 8 4 SE 5 30 4
2 2

即所求二面角的余弦值为

15 . 5

解法二:由(1)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的 空间直角坐标系,又 E,F 分别为 BC,PC 的中点,所以
A(0, 0,, 0) B( 3, ? 1,, 0) C ( 3, 1,, 0) D(0, 2, 0) ,
? 3 1 ? P (0, 0, 2),E ( 3, 0,, 0) F ? , 1? , ? 2 , 2 ? ? ? ??? ? ??? ? ? 3 1 ? 0,, 0) AF ? ? , 1? . 所以 AE ? ( 3, ? 2 , 2 ? ? ?
P z

F A B D E x C y

设平面 AEF 的一法向量为 m ? ( x1,y1,z1 ) ,

??? ? ? 3 x1 ? 0, ?m ?AE ? 0, ? ? 则 ? ??? 因此 ? 3 ? 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0. ? ? ?m ?AF ? 0, ? 2 2
取 z1 ? ?1 ,则 m ? (0, 2, ? 1) , 因为 BD ? AC , BD ? PA , PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 AFC ,
??? ? 故 BD 为平面 AFC 的一法向量.

??? ? ??? ? ??? ? m?BD 2?3 15 3, 0) ,所以 cos ? m, 又 BD ? (? 3, . BD ?? ? ??? ? ? 5 5 ? 12 m ?BD
因为二面角 E ? AF ? C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为
15 . 5
14

空间向量与立体几何 2 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.下列各组向量中不平行的是( ) ? ? ? ? A. a ? (1,2,?2), b ? (?2,?4,4) B. c ? (1,0,0), d ? (?3,0,0)
? ? C. e ? (2,3,0), f ? (0,0,0)
? ? D. g ? (?2,3,5), h ? (16,24,40)

2.已知点 A(?3,1, ?4) ,则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为( A. (?3,?1,4) B. (?3,?1,?4) C. (3,1,4) D. (3,?1,?4)



? ? ? ? 8 3.若向量 a ? (1, ? ,2), b ? (2,?1,2) ,且 a 与 b 的夹角余弦为 ,则 ? 等于( 9 2 2 A. 2 B. ? 2 C. ? 2 或 D. 2 或 ? 55 55



4.若 A (1,?2,1) ,B (4,2,3) ,C (6,?1,4) ,则△ABC 的形状是( A.不等边锐角三角形 角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

) D.等边三 )

? 5.若 A ( x,5 ? x,2 x ? 1) ,B (1, x ? 2,2 ? x) ,当 A B 取最小值时, x 的值等于(

A. 19

B. ?

8 7

C.

8 7

D.

19 14

6.空间四边形 OABC 中, OB ? OC , ?AOB ? ?AOC ? 值是( A.
1 2

?
3

??? ? ??? ? ,则 cos < OA, BC > 的

) B.
2 2

C.-

1 2

D. 0 ) .

7.设 m、n 表示直线, ?、? 表示平面,则下列命题中不正确 的是( ... A. m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? C. m ? ? , m // ? , 则 n ?? 8.在棱长均为 2 的正四面体 A ? BCD 中,若以三角形 ABC 为 视角正面的三视图中,其左视图的面积是( A. 3
2 6 B. 3

B.m// ? , ? ? ? ? n ,则 m//n D. m // n , m ? ? ,
A

则? ? ?

) .
B

D C

C. 2

2 2 D.
C

9、如图,将无盖正方体纸盒展开,直线 AB,CD
A

D

15

B

在原正方体中的位置关系是( A.平行 C. 异面



B.相交且垂直 D.相交成 60°

10、点 P 在平面 ABC 外,若 PA=PB=PC,则点 P 在平面 ABC 上的射影 是△ABC 的 A.外心 ( ) B.重心 C.内心 D.垂心

11、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底均 为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )
1? 2 2? 2 (A) (C) (D) 2 ? 2 (B) 1? 2 2 2
P

12、已知 PD⊥矩形 ABCD 所在的平面,图中相互垂直的 平面 有( ) (A)2 对 (B)3 对 (C)4 对 (D)5 对

D A B

C

二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) ? ? ? ? ? ? 13. 若向量 a ? (4,2,?4), b ? (6,?3,2) , 则 (2a ? 3b )?(a ? 2b ) ? __________________。
? ? ? ? ? ? ? ? 14 . 若 向 量 a ? 2i ? j ? k , b ? 4i ? 9 j ? k , , 则 这 两 个 向 量 的 位 置 关 系 是

___________。
? ? ? ? ? ? 15 .已知向量 a ? (2,?1,3), b ? (?4,2, x) ,若 a ? b ,则 x ? ______ ;若 a // b 则

x ? ______。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 16 . 已 知 向 量 a ? mi ? 5 j ? k , b ? 3i ? j ? rk , 若 a // b 则 实 数 m ? ______ ,

r ? _______。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17 . 若 (a ? 3b ) ? (7a ? 5b ) , 且 (a ? 4b ) ? (7a ? 5b ) , 则 a 与 b 的 夹 角 为

____________。 18 . 已 知 空 间 四 边 形 OABC , 点 M , N 分 别 为 OA, BC 的 中 点 , 且
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? OA ? a , OB ? b , OC ? c ,用 a , b , c 表示 MN ,则 MN =_______________。

三、解答题(每小题 12 分,共 36 分)
16

19(08 海南宁夏卷理 18)如图,已知点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 对角线 BD1 上,∠PDA=60°. z (1)求 DP 与 CC1 所成角的大小; D? (2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小. C? H A? B?
P D A x B C y

20.(08 陕西卷理 20)三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所 示, 截面为 A1B1C1 , ?BAC ? 90? ,A1 A ? 平面 ABC ,A1 A ? 3 ,AB ? 2 ,AC ? 2 ,
BD 1 A1C1 ? 1 , ? . DC 2
A1 B1 A B D C1

(Ⅰ)证明:平面 A1 AD ? 平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)求二面角 A ? CC1 ? B 的大小. (只求余弦值的大小)

C

17

21.如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1 F 所截面而得到 的,其中
AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1 .

(Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1 F 的距离.

18

答案 一、选择题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.D b ? ?2a ? a // b; d ? ?3c ? d // c; 而零向量与任何向量都平行 2.A 3.C 关于某轴对称,则某坐标不变,其余全部改变 ? ? ? ? a? b 6?? 8 2 cos ? a, b ?? ? ? ? ? , ? ? ?2, 或 2 55 a b 3 ? ?5 9
??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AB ? (3, 4, 2), AC ? (5,1,3), BC ? (2, ?3,1) , AB?AC ? 0 ,得 A 为锐角;

4.A

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CA? CB ? 0 ,得 C 为锐角; BA?BC ? 0 ,得 B 为锐角;所以为锐角三角形

5.C

??? ? ??? ? AB ? (1 ? x, 2 x ? 3, ?3x ? 3), AB ? (1 ? x)2 ? (2 x ? 3) 2 ? (?3x ? 3) 2
? 14 x 2 ? 32 x ? 19 ,当 x ?
? 8 时, A B 取最小值 7 ??? ? ???? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? OA OC cos ? OA OB cos OA?(OC ? OB ) 3? ??? 3 ?0 ? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA BC OA BC

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA?BC 6.D cos ? OA, BC ?? ??? ? ??? ? OA BC

7.B 8.C 二、填空题 13. ?212 14.垂直 15 .

9.D

10.A

11.A

12.D

? ? ? ? 2a ? 3b ? (?10,13, ?14) , a ? 2b ? (16, ?4, 0) ? ? ? ? ? ? a ? (2, ?1,1), b ? (4,9,1), a? b?0?a ?b

10 ? , ?6 若 a ? 3

? b

, 则 ?8 ? 2 ? 3x ? 0, x ?

10 ? ; 若 a // 3

? b

, 则

2 : (?4) ? (?1) : 2 ? 3: x, x ? ?6

? 1 ? m 5 ?1 1 a ? (m,5, ?1), b ? (3,1, r ), ? ? , m ? 15, r ? ? 5 3 1 r 5 ?2 ? ? ?2 ?2 ? ? ?2 ? ? ?2 ?2 ? ? b ? 15b ? 0, 7a ? 33a? b ? 20b ? 0, 得49a ? b ? 35b , 49a ? 35a ? b 17. 0 7a ? 16a?

16. 15, ?

? ? ? 35 ? 2 a 35 ? ? a? b ? b , ? ? , cos ? a, b ?? 49 b 49

? 35 ? 2 ? ? b a? b 49 35 b ? ? ? ? ? ? ? ?1 49 a a b a b

1 ? ? ? 18. (b ? c ? a) 2

???? ? ???? ???? ? 1 ? ? 1? MN ? ON ? OM ? (b ? c) ? a 2 2
19

三、解答题 19(08 海南宁夏卷理 18)如图,已知点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 对角线 BD1 上,∠PDA=60°. (1)求 DP 与 CC1 所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小. 解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz .
??? ? ???? ? 则 DA ? (1, 0, 0) , CC ? ? (0, 0, 1) .连结 BD , B?D? .

在平面 BB?D?D 中,延长 DP 交 B?D? 于 H . ???? ? ??? ? ???? ? DA ?? 60? , 设 DH ? (m,m, 1)(m ? 0) ,由已知 ? DH,
??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? DH ? 由 DA?DH ? DA DH cos ? DA,

z

D? A?
D A x

H P

C?
B?
C B y

可得 2m ? 2m 2 ? 1 .解得 m ?

2 , 2

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ???? ? ? 2 2 ? ???? ? ???? ? 2 2 2 1? 所以 DH ? ? (Ⅰ)因为 cos ? DH, , CC ? ?? ? ? 2 ,2 , ?. 2 1? 2 ? ?

???? ? ???? ? CC ? ?? 45? .即 DP 与 CC ? 所成的角为 45? . 所以 ? DH,
???? (Ⅱ)平面 AA?D?D 的一个法向量是 DC ? (0, 1, 0) .

2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 ???? ? ???? ???? ? ???? 1 2 DC ?? 60? . 因为 cos ? DH, DC ?? 2 ? , 所以 ? DH, 2 1? 2

可得 DP 与平面 AA?D?D 所成的角为 30? . 20.(08 陕西卷理 20)三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所 示, 截面为 A1B1C1 , ?BAC ? 90? ,A1 A ? 平面 ABC ,A1 A ? 3 ,AB ? 2 ,AC ? 2 ,
BD 1 A1C1 ? 1 , ? . DC 2
A1 B1 A B D C1

(Ⅰ)证明:平面 A1 AD ? 平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)求二面角 A ? CC1 ? B 的大小. 解:解法一: (Ⅰ)? A1 A ? 平面 ABC,BC ? 平面 ABC ,

C

? BC ? 6 , ? A1 A ? BC .在 Rt△ABC 中, AB ? 2,AC ? 2,

20

? BD : DC ? 1: 2 ,? BD ?

6 BD 3 AB ,又 , ? ? 3 AB 3 BC

? △DBA ∽△ABC ,??ADB ? ?BAC ? 90? ,即 AD ? BC .
又 A1 A ? AD ? A ,? BC ? 平面 A1 AD ,
A1 B1 E A F C C1

? BC ? 平面 BCC1 B1 ,?平面 A1 AD ? 平面 BCC1 B1 .
(Ⅱ)如图,作 AE ? C1C 交 C1C 于 E 点,连接 BE , 由已知得 AB ? 平面 ACC1 A1 .
? AE 是 BE 在面 ACC1 A1 内的射影.

D B (第 19 题, 解法一)

由三垂线定理知 BE ? CC1 ,??AEB 为二面角 A ? CC1 ? B 的平面角.

C1F ? A1 A ? 3 , 过 C1 作 C1 F ? AC 交 AC 于 F 点, 则 CF ? AC ? AF ? 1 , ??C1CF ? 60? .
在 Rt△AEC 中, AE ? AC sin 60? ? 2 ?
AB ? AE
3 ? 3. 2

在 Rt△BAE 中, tan AEB ?

2 6 6 ? .??AEB ? arctan , 3 3 3
z B1 A1 C1

6 即二面角 A ? CC1 ? B 为 arctan . 3

解法二: (Ⅰ)如图,建立空间直角坐标系,

0,, 0) B( 2, 0,, 0) C (0, 2,, 0) A1 (0, 0,3),C1 (0, 1,3) , 则 A(0,
B

A D C y

??? ? 1 ??? ? ?2 2 2 ? x , 0? ? BD : DC ? 1: 2 ,? BD ? BC .? D 点坐标为 ? ? 3 , ? . (第 19 题,解法二) 3 3 ? ?

? ???? ???? ? 2 2 2 ? ??? BC ? ( ? 2 , 2 ,, 0) AA1 ? (0, 0,3) . , , 0 , ? AD ? ? ? ? 3 3 ? ? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? BC ?AA1 ? 0 , BC ?AD ? 0 ,? BC ? AA1 , BC ? AD ,又 A1 A ? AD ? A ,

? BC ? 平面 A1 AD ,又 BC ? 平面 BCC1 B1 ,?平面 A1 AD ? 平面 BCC1 B1 .
??? ? 0, 0) 为平面 ACC1 A1 的法向量, (Ⅱ)? BA ? 平面 ACC1 A1 ,取 m ? AB ? ( 2,

??? ? ???? ? CC1 ?n ? 0 . 设平面 BCC1 B1 的法向量为 n ? (l,m,n) ,则 BC ?n ? 0,
21

?? 2l ? 2m ? 0, 3 ? ? l ? 2m,n ? m, ?? 3 ? m ? 3 n ? 0 , ? ?
? 3? 2 , 1 , 如图,可取 m ? 1,则 n ? ? ?, ? 3 ? ? ?

cos ? m,n ??

2 ? 2 ? 0 ?1 ? 0 ?
2 2 2 2

3 3
2 2

?

? 3? ( 2) ? 0 ? 0 ? ( 2) ? 1 ? ? ? ? 3 ?
15 . 5

15 , 5

即二面角 A ? CC1 ? B 为 arccos

21.如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1 F 所截面而得到 的,其中
AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1 .

(Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1 F 的距离.

解: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) , B(2, 4,0)
A(2, 0, 0), C (0, 4, 0), E (2, 4,1), C1 (0, 4,3) 设 F (0,0, z ) .

∵ AEC1 F 为平行四边形,
?由AEC1 F为平行四边形, ?由AF ? EC1得, (?2,0, z ) ? (?2,0,2), ? z ? 2. ? F (0,0,2). ? EF ? (?2,?4,2). 于是 | BF |? 2 6 , 即BF的长为2 6 .

(II)设 n1 为平面 AEC1 F 的法向量,

22

显然n1不垂直于平面ADF , 故可设n1 ? ( x, y,1)

? ?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 由? 得? ?? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ? n ? AF ? 0 , ? 1
? x ? 1, ?4 y ? 1 ? 0, ? 即? ?? 1 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . 4 ?

又CC1 ? (0,0,3), 设CC1与n1 的夹角为 ? ,则
cos? ? CC1 ? n1 | CC1 | ? | n1 | ? 3 3? 1? 1 ?1 16 ? 4 33 . 33

∴ C 到平面 AEC1 F 的距离为
d ?| CC1 | cos? ? 3 ? 4 33 4 33 ? . 33 11

23


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