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3.1.1方程的根与函数的零点


新课导入
在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知 的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座,虽然 今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解 法,但这一切却经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方 程的求解的问题.如约公元50年—100年编成的 《九章算术》,就给出了求一次方程、二次方程 和三次方程根的具体方法……

回顾旧知,

发现问题:
问题1 求下列方程的根:

(1)2x-1=0 ; (2)x2-2x-3=0.
问题2 方程-x3-3x+5=0的根怎么求?

3.1.1

方程的根 与函数的零点

教学目标
知识与能力
掌握函数零点的概念;了解函数零点方 程根的关系;会判断函数是否存在零点.

过程与方法
由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标 和对应的一元二次方程为突破口,探究方程

的根与函数的零点的关系,以探究的方法发
现函数零点存在的条件;在课堂探究中体会

数形结合的数学思想,从特殊到一般的归纳
思想.

情感态度与价值观
在函数与方程的联系中体验数学中的

转化思想的意义和价值.在教学中让学生
体验探究的过程、发现的乐趣,在数学教

学中培养学生的辨证思维能力,以及分析
问题解决问题的能力.

教学重难点
重点
函数零点与方程根之间的关系;函数在 某区间上存在零点的判定方法.

难点
发现与理解方程的根与函数零点的关系; 探究发现函数存在零点的方法.

探究1
下列一元二次方程及其相应的二次函数图 象有什么关系?
2 y = x - 2x - 3 (1) x - 2x - 3 = 0 与函数 2 2 (2) x - 2x + 1 = 0 与函数 y = x - 2x +1
2

(3) x - 2x + 3 = 0 与函数 y = x - 2x + 3

2

2

方程 函数 函 数 的 图 象

x2-2x-3=0 y= x2-2x-3
.
-1

x2-2x+1=0

x2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y

y= x2-2x+1
y

y
2

. .
-1
-2

.

1

.
x
-1

2

.

.
3 2

5

0

1

2

3

.

1

-3 -4

.

0

.

.
1 2

.

4

.
1

.
2

.

x

1
-1

0

3

x

方程的实数根 x1=-1,x2=3 函数的图象 与x轴交点 (-1,0)、(3,0)

x1=x2=1

无实数根

(1,0)

无交点

探究2
对于一般的一元二次方程及相应的二次函数的 图象与x轴交点的关系,上述结论是否仍然成立?

动脑思考一下

判别式△ = △>0 △=0 b2-4ac 有两个相等的 方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a>0)的根
y y

△<0 没有实数根
y

函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象

x1

0

x2 x

0

x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

知识要点
函数的零点定义:
对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做 函数y=f(x)的零点.

注意:
零点指的是一个实数.

零点是一个点吗?

二次函数的图象与x轴的交点与相应的一 元二次方程的根有什么关系?

函数y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)的图像与x轴的 2 ax + bx + c = 0(a ? 1) 交点的横坐标即为方程
的根.
即 : 函数y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)的零点即为方程

ax + bx + c = 0(a ? 1) 的根.
2

知识要点
等价关系
对任意的方程f(x)=0与函数y=f(x)
方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)的图象与x轴有交点

零点的求法

函数y=f(x)有零点 代数法

1.通过求方程的根来找出函数的零点 2.利用函数图像的性质找出函数的零点

例题

1.前面问题2:方程-x3-3x+5 =0的根怎么求?
解:令f(x)= -x3-3x+5,做出函数 f(x)的图像,如下: 可知函数图像与x轴有 交点,所以说方程的 -x3-3x+5=0的根是 x=1.
-2 -1 o 6 4 2 -2 -4 1 2

2.方程-x2+3x+5=0有根吗?有几个;
分析:求方程的根就是看其相应函数与x 轴的交点.
y

解:令f(x)=-x2+3x+5,
作出函数f(x)的图象,如下:

8 6

.
. . .

4

它与x轴有两个交点,所以
方程-x2+3x+5=0有两 个不相等的实数根.
-2 -1

2

.

0

1

2

3 4

x

3.方程2x(x-2)=-3有根吗?有几个;
分析:看方程有根否就是看其相应函数与 x轴的有无交点. 解:2x(x-2)=-3可化为 2x2-4x+3=0, 令f(x)= 2x2-4x+3 , 作出 函数f(x)的图象,如下:它与 x轴没有交点,所以方程 2x(x-2)=-3无实数根.

.

y
5
4 3 2

. .
.

.

1
-1

0

1

2

3

x

4.方程 x2 =4x-4有根吗?有几个.
解:x2 =4x-4可化 为x2-4x+4=0, 令f(x)= x2-4x+4, 作出函数f(x)的图象, 如下:它与x轴只有 一个交点,所以方 程x2 =4x-4有两个 相等的实根.
y

. .
3 2
1
-1

6 5 4

. .

0

1

2

.

3

4

x

回顾思考
函数f(x)=-x2+3x+5有零点吗?有几个; 函数f(x)=2x(x-2)+3有零点吗?有几个;
函数 f(x)=x2 -4x+4有零点吗?有几个.

其实就是考虑f(x)=0的根的情况;
求函数零点的步骤:
(1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0;

(3)写出零点.

观察1 下面函数
y = f(x) 的图象

有 有/无)零点; 1 在区间 [a, b] 上______( ) < (<或>). f (a )· f (b_____0
有 有/无)零点; 2 在区间 [b, c] 上______(

< (<或>). f (b)· f (c)_____0
有 有/无)零点; 3在区间 [ a, d ]上______(
f (a )· f (d ) _____0 < (<或>).

观察2
3 观察二次函数 f(x) = x - 2x - 的图像
有 1. 在区间 [?2,1] 上______( 有/无)零点; f(-2)· f(1)_____0 < (<或>). y 有 (有 2. 在区间[2,4]上_____ /无)零点; < f(2) f(4)_____0(< 或 >)
5 4 3 2 1 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x

2

知识要点
勘根定理
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断的一条曲线,且f(a)· f(b)<0,则函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点.

即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程
f(x)=0的根.

思考
(1)若只给条件f(a)· f(b)<0能否保证在(a,b)有 零点? (2)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断的一条曲线:且f(a)· f(b)>0,是否在(a,b)内 函数就没有零点?

看以下图像

y

y
b x

0 a y

0 a y

b

x

0a

b

x

0a

b

x

若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线:且函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,是否 一定有f(a)· f(b)<0?
y

0 a

bbb

bb

bb

b b bb

b

x

结论
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断的一条曲线: (1) f(a)· f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点; ? (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 f(a)· f(b)<0. 如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续 的,并且在闭区间的两个端点上的函数值互异 即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数那么,这个函数 在(a,b)内必有惟一的一个零点.

?

例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数,并指 出零点所在的大概区间.
解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应 值表(表3-1)和图象(图3.1—3)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
表3-1 y
14 12

由表3-1和图3.1— 3可知 f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)· f(3)<0,

10
8 6 4 2 0 -2 -4 -6 1 2

.

..
3 4

.
5

.

.

.

.

6

7

8

9 10

x

.

图3.1—3

说明这个函数在区间(2,3)内有零点. 由于函数f(x)在定义(0,+∞)内是增函数,所以 它仅有一个零点. 例2 如图是一个二次函数y=f(x)的图像 (1)写出这个二次函数的零点;

(2)写出这个二次函数的解析式;
(3)试比较f(-4)f(-1),f(0)f(2)与0的大小关系.

分析:先观察图像找出零点,然后把零 点代入二次函数的一般式求得这个函数 的解析式.


?1?由图象可知
-4 -3 -2 -1

y
4 3 2 1

此函数的零点是 x1 = -3,x2 = 1.

O

1

2

x

? 2 ?由?1? 可知这个二次函数解析式为 f ? x ? = a ? x + 3 ?? x -1? , 由f ? -1? = 4可知a = -1, 故 f ? x ? = - ? x + 3 ?? x - 1 ? , 即这个二次函数的解析式为f ? x? = -x2 - 2x + 3. ? 3?因为f ?-4? = -5,f ?-1? = 4,f ?0? = 3,f ?2? = -5, 所以f ? -4 ? f ? -1 ? = -20 < 0, f ? 0 ? f ? 2 ? = -15 < 0.

课堂小结
1.函数零点的定义.
2.三个等价关系. 3.函数的零点或相应方程的根的存在性以及 个数的判断.

4.确定方程f(x)=0的根存在性的方法 ⑴若是一元一次或一元二次方程,用公式法, 且确定了根的值. ⑵图象法:函数y=f(x)图象与x轴有交点 方程f(x)=0有实数根.

⑶利用函数性质: 若函数y=f (x)在区间[a, b]上的图象是连续不 断的一条曲线,且f (a)· f (b)<0,则函数y=f (x)在区 间(a, b)内有零点. 即存在c ∈(a, b),使得f (c)=0,这个c就是方程f

(x)=0的根.

勘根定理

高考链接
1 1.(2009 天津)设函数f(x) = x - lnx(x > 0), 3 则y = f(x) ( ) 1 A.在区间( ,1) , (1, e)内均有零点 e 1 B.在区间( ,1), (1, e)内均无零点 e 1 C.在区间( ,1)内有零点, (1, e)内无零点 e 1 D.在区间( ,1)内无零点, (1, e)内有零点 e

答案D 解析:本题考查连续函数的零点定理 1 1 及其应用.由于f( )= +1> 0 e 3e 1 1 f(1)= > 0, f(e)= e-1< 0, 所以 3 3 1 函数y =(x)在区间( , 1)内无零点, e 在区间(1,e)内有零点.故选D

2.(2007 广东)已知a是实数,函数 f(x) = 2ax 2 + 2x - 3 - a, 如果函数y = f(x) 在区间[-1,上有零点,求 1] a的取值范围.

解析:若a = 0,f(x) = 2x - 3, , 显然在 [-1,1]上没有零点,所以a ≠ 0; 方程f(x) = 0在[-1,1]上有解 ? f(-1)f(1) ≤ 0或
?af(-1)≥0, ? af(1) ≥0, ? ? ?Δ =4+8a(3+a)≥0,?1≤a≤5或 ? ?- 1∈ [-1,1] ? ? a a≤ -3- 7 -3- 7 或a≥5?a≤ 或a≥1 2 2 -3- 7 或a≥1 2

所以实数a的取值范围是a≤

1 x-2 3.(2007 山东)设函数y = x 与y = ( ) 的图像 2 的交点为(x0 , y 0 ),则所在的区间是 ( )
3

A.(0,1) B.(1, 2) C.(2, 3) D.(3, 4)

解析:令g(x) = x - 2 , 可求得:g(0) < 0, g(1) < 0, g(2) > 2, g(3) > 0, g(4) > 0易知函数 g(x)的零点所在区间为(1, 2).故选B.

3

2-x

求函数零点的步骤:

课堂练习
1.求下列函数的零点:

(1)令f(x)=0;
(2)解方程f(x)=0; (3)写出零点.

(1)y=-x2-x+20; (2)y=x3-2x2 -x+2.
解:(1)令-x2-x+20=0,则解得方程的根 为x=-5,x=4,所以此函数的有两个零点 是x=-5,x=4. (2)令x3-2x2 -x+2=0,则解得方程的根为 x=2,x=1,x=-1,所以此函数有三个零点 分别是x=2,x=1,x=-1.

(3)y=lg(x-1)
解:令lg(x-1)=0,这个方程的根为 x=2,所以说此函数的零点是x=2.

2.函数y= f(x)在区间[a, b]上的图象是连续 不断的曲线,且f(a) f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,b)内 ( A )
A.至少有一个零点 B.至多有一个零点 C.只有一个零点 D.有两个零点

3.若方程 2ax 2 ? x ? 1 ? 0 在 ? 0,1?内恰 有一解,则 a 的取值范围( B )
A. a<-1 C. -1<a<1 B. a>1 D. 0<a<1

分析:令 f ( x) ? 2ax2

内恰有一解,则 f (0) ? f (1) ? 0

? x ?1 在 ? 0,1?

?a ? 1

即 ?1 ? ? 2a ? 2 ? ? 0

4.函数f(x)=lnx-2/x的零点所在的大致区 间( B )

A. (1,2)
C. (1,1/e)和(3,4)

B. (2,3)
D. (e,+∞)

分析:判断区间(a,b)是否为f(x)零点所在的 区间,只要判断f(a).f(b)<0是否成立.经代入计算得 f(2)=ln2 -1<0,f(3)=ln3 -2/3>0 所以f(2).f(3)<0, 所以f(x)在(2,3)内有零点. 选B.

5.若函数y=f(x)的图象是连续不断的,且f(0)>0, f(1)f(2)f(4)<0,则下列命题正确的是 ( D ) A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数f(x)在区间(1,2)内有零点

C.函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D.函数f(x)在区间(0,4)内有零点

6. 若二次函数y= x +kx-(k-8)与x轴至多有一 个交点,求k的取值范围?
解:令x 2 + kx -(k - 8)= 0, 由题目可以知道 方程要么有一个根,要么没有根,即 k 2 + 4(k - 8)= 0或k 2 + 4(k - 8)< 0,所以 -8 ≤ k ≤ 4.

2

7.函数y=| log2|x|-1|有几个零点?

解:令| log2|x|-1|=0,则方程有几个根 就有几个零点.由此得到方程有两个根分 别是x=+2,x=-2,所以函数有两个零点.

1.(1)令f(x)=-x2 +3x+5,做出函数f(x)图像, 它与x轴有两个交点,所以说方程)-x2 +3x+5=0有两个不相等的实根.

教材习题答案

(2)2x(x-2)=-3可化为2x2 -4x+3=0,令f(x)= 2x2 -4x+3,做出函数f(x)图像,它与x轴没有交点, 所以说方程2x(x-2)=-3无实根.

(3)x2 =4x-4可化为x2 -4x+4=0,令f(x)= x2 -4x+4, 做出函数f(x)图像,它与x轴只有一个交点(相 切),所以方程x2 =4x-4有两个相等的实数根.

(4)5x2 +2x=3x2 +5,可化为2x2 +2x-5=0,令 f(x)=2x2 +2x-5,做出函数f(x)图像,它与x轴有两个 交点,所以方程5x2 +2x=3x2 +5有两个不相等的 实数根.

2.(1)做函数图像,因为f(1)=1>0, f(1.5)=2.875<0.所以f(x)=- x3 -3x+5在区间(1,1.5) 上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+ ∞ )上 的减函数,所以f(x)=- x3 -3x+5在区间(1,1.5) 上只有一个零点. (2)做出函数图像,因为f(3)<0,f(4)>0.所以 f(x)=2x.ln(x-2)-3在区间(3,4 )上有一个零 点.又因为f(x)是(2,+ ∞ )上的增函数,所 以f(x)在(2,+ ∞ )上有且仅有一个(3,4) 上零点.

(3)做出函数图像,因为f(0)<0,f(1)>0.所以 f(x)= ex-1 +4x-4在区间(0,1 )上有一个零 点.又因为f(x)是(- ∞ ,+ ∞ )上的增函数, 所以f(x)在( -∞ + ∞ )上有且仅有一个零点. (4)做出函数图像,因为f(-4)<0,f(-3)>0, f(2)<0,f(3)>0.所以f(x)= 3(x+2)(x-3)(x+4)+x在区 间(-4,-3 ),(-3,-2),(2,3)上各有 一个零点.


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