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2015届高考数学(理)基础知识总复习课时精练:第3章 第6节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用]

时间:2015-03-30


第六节

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及 三角函数模型的应用

1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距 离 s( 单 位 : cm) 和 时 间 t( 单 位 : s) 的 函 数 关 系 式 为 s = ? π? ? 2 π t + 6sin? ) ? ?,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( 6 ? ?

A .2 π s C.0.5 s

B .π s D.1 s

解析:单摆来回摆动一次所需的时间即为函数的周期, 2π ∴T = =1.故选 D. 2π 答案:D 2.(2013·山东卷)将函数 y=sin(2x+φ )的图象沿 x 轴向 π 左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能 8 取值为( ) 3π π π A. B. C.0 D.- 4 4 4 解析:把函数 y=sin(2x+φ )沿 x 轴向左平移 π 个单位后 8

? ? φ π? π? ? ? ? x + + 2 x + φ + 得到函数 y=sin2? = sin 为偶函数, 则φ ? ? ? 2 8? 4? ? ? ? π = . 4

答案:B π 3.已知函数 f(x)=Atan(ω x+φ )ω >0,|φ |< ,y=f(x) 2 ?π ? ? 的部分图象如下图所示,则 f? ) ?24?=( ? ?

A .2 + 3 3 C. 3 答案:B

B. 3 D.2- 3

? π? ? x + 4. (2013·梅州一模)把函数 y=sin? ? ?图象上各点的横 6 ? ? 1 π 坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再将图象向右平移 个单 2 3 位,那么所得图象的一条对称轴方程为( ) π π A.x=- B.x=- 2 4 π π C .x = D.x= 8 4 ? π? 1 ? x + 解析: y=sin? 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍 ? 6? 2 ? ?

? π? π ? 2 x + (纵坐标不变),得到函数 y=sin? ;再将图象向右平移 ? 6? 3 ? ? ? ? ? ? π? π? π ? ? π? ? ? x - 2 x - 2 + 个单位,得函数 y=sin? = sin ,x=- 是 ? ? ? ? ? ? 3? 6? 2? 2 ? ? ? 其图象的一条对称轴方程.故选 A. 答案:A

5. 如图是周期为 2π 的三角函数 y=f(x)的图象, 那么 f(x) 可以写成( )

A.f(x)=sin (1+x) C.f(x)=sin(x-1)

B.f(x)=sin(-1-x) D.f(x)=sin(1-x)

解析:设 y=sin (x+φ ),点(1 ,0)为五点法作图的第三 点,∴由 sin (1+φ )=0?1+φ =π ,φ =π -1,∴y=sin (x +π -1)=sin (1-x). 答案:D 6.如图,某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函 数:y=Asin(ω x+φ )+B,则中午 12 时最接近的温度为( )

A.26 ℃ C.28 ℃

B.27 ℃ D.29 ℃

解析:由图象可知函数的半周期为 14-6=8, 1 2π π ∴ · =8,得 ω = . 2 ω 8 30-10 30+10 又 A= =10,B= =20, 2 2 ?π ? ? x + φ ∴y=10sin? ?8 ?+20. ? ? 3π 又点(6,10)在图象上,代入解析式可解得 φ = . 4 ?π 3π ? π ? x + ∴y=10sin? + 20. 当 x = 12 时, y = 10sin ×12 ?8 4 ? 8 ? ? 3π π + +20=10sin +20≈27.07.故选 B. 4 4 答案:B 7. (2012·天津卷)将函数 f(x)=sinω x(其中 ω >0)的图象 ?3π ? π ? ? , 0 向右平移 个单位长度, 所得图象经过点? 则 ω 的最小 ?, 4 ? 4 ? 值是( ) 1 5 A. B.1 C. D.2 3 3
? ?3 ? π? π ? ? ? x - π , 0 解析:∵y=sin ω ? 过点 ,∴sin ω =0, ? ? ? ? 4? 2 ? ?4 ? π ∴ ω =kπ ,ω =2k,当 k=1 时,ω 最小值为 2. 2 答案:D

3 8.函数 f(x)=Asin ω x 的图象如图所示,若 f(θ )= , 2 ?π π? ? , θ ∈? ,则 cos θ -sin θ =________________. ?4 2? ? ?

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T π 2π 解析:依题意,A=2, = ,∴T=π ,T= =π ,得 ω 2 2 ω 3 3 =2,f(x)=2sin 2x.当 f(θ )=2sin 2θ = 时,得 sin 2θ = . 2 4 ?π π? ? ? , ∵θ ∈ ? ,∴cos θ -sin θ <0. 2? ?4 ? ∴cos θ - sin θ = - 1-2sin θ cos θ = - 1 1-sin 2θ =- . 2 1 答案:- 2
9 . (2012· 大 纲 全 国 卷 ) 当 函 数 y = sin x - 3 cos x(0≤x<2π )取得最大值时,x=________. 解析:由 y=sin x- 3cos
? π x - x=2sin? ? 3 ? ? ? ?,∵0≤x<2π ?



5π ? π ? ? π ∴x- ∈?- , ? , 3 ? 3 ? 3 ? π π 5π 当 x- = ,即 x= 时,函数取得最大值为 2. 3 2 6 5π 答案: 6 10.设函数
? π 2 x + f(x)=sin? ? 3 ? ? ? ?,现有下列结论: ?

①f(x)的图象关于直线 x=

π 对称; 3

?π ? ? , 0 ②f(x)的图象关于点? ?4 ?对称; ? ? π ③把 f(x)的图象向左平移 个单位长度,得到一个偶函数 12 的图象; ? π? ? 0 , ④f(x)的最小正周期为 π ,且在? 上为增函数. ? 6? ? ? 其中正确的结论有____________(把你认为正确的序号都填 上).

答案:③
? 1? ? cos x ,- 11. (2013·陕西卷)已知向量 a=? , b=( 3sin ? 2? ? ? x,cos 2x),x∈R,设函数 f(x)=a·b. (1)求 f (x)的最小正周期. ? π? ? 0 , (2)求 f (x)在? 上的最大值和最小值. ? 2? ? ?

1 3 解析:(1)f(x)=a·b=cos x· 3sin x- cos 2x= sin 2 2 ? π? 1 ? 2 x - 2x- cos 2x=sin? ? ?. 6 2 ? ? 2π 最小正周期 T= =π . 2 ? π? ? 2 x - 所以 f(x)=sin? 最小正周期为 π . ? 6? ? ? ? ? ? π? π? 5π ? ? ? ? ? π ? 0 , 2 x - - , (2)当 x∈? , ∈ ? ? ? ? ? ?,由函数 y=sin x 2 6 6 6 ? ? ? ? ? ? ? π ? ? ? ? ?π ?? 5π ? π? ? ? ? ? ? π? ? ?? - , 2 x - - 在? 上的图象知, f ( x ) = sin ∈ f , f ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 6 6 6 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 1 ? ? - , 1 =? ? 2 ?. ? ?

? π? 1 ? 0 , 所以,f(x)在? 上的最大值和最小值分别为 1 ,- . ? 2? 2 ? ? ? 5π ? ? 2 x + 12.(2013·江门一模)已知函数 f(x)=Asin? (A> ? 6 ? ? ? 0,x∈R)的最小值为-2. (1)求 f(0); (2)若函数 f(x)的图象向左平移 φ (φ >0)个单位长度,得 到的曲线关于 y 轴对称,求 φ 的最小值. ? 5π ? ? 2 x + 解析:(1)因为函数 f(x)=Asin? ? ?(A>0,x∈R)的最 6 ? ? 小值为-2, ? 5π ? ? 2 x + 所以 A=2,f(x)=2sin? ? ?, 6 ? ? 5π f(0)=2sin =1. 6 (2)函数 f(x)的图象向左平移 φ (φ >0)个单位长度,可得 ? 5π ? ? 2( x + φ ) + y=2sin? . ? 6 ? ? ? ? 5π ? ? 2( x + φ ) + 因为 y=2sin? 的图象关于 y 轴对称, 所以 2(0 ? 6 ? ? ? 5π π +φ )+ = +kπ ,k∈Z. 6 2 π kπ 解得 φ =- + ,k∈Z, 6 2 π 因为 φ >0,所以 φ 的最小值为 . 3

13 . (2013· 汕 头 二 模 ) 已 知 函 数 f(x) = Asin(ω x + ? π? ? φ )?A,ω >0,|φ |< ? 的图象与 y 轴交于(0,3 2), 它在 y 轴右 2? ? ? 侧 的 第 一 个 最 高 点 和 第 一 个 最 低 点 的 坐 标 分 别 为 (m,6) 和 ? ? π ? ? ?m+ 2 ,-6?. ? ?

(1)求函数 f(x)的解析式及 m 的值; (2)若锐角 θ 满足 tan θ =2 2,求 f(θ ). 解析:(1)由函数的图象在 y 轴右侧的第一个最高点和第一 ? ? π ? m + ,- 6 个最低点的坐标分别为(m,6)和? ? ?,可得 A=6, 2 ? ? π? 1 1 2π ? π ? m + ·T = · =? - m = ,求得 ω =2. 2? 2 2 ω ? 2 ? ? 把点(0,3 2)代入函数的解析式 可得 6sin(2×0+φ )=3 2, 2 π π 解得 sin φ = ,再由|φ |< ,求得 φ = . 2 2 4 ? π? ? 2 x + 故 f(x)=6sin? . ? 4? ? ? 函数在 y 轴右侧的第一个最高点的坐标分别为(m,6),故 2m π π π + = ,解得 m= . 4 2 8 ? π? ? 0 , (2)若锐角 θ 满足 tan θ =2 2,θ ∈? ? ?, 2 ? ? 2 2 1 ∴sin θ = ,cos θ = . 3 3 ? π? ? f(θ )=6sin?2θ + ? 4? ? ? π π =6sin 2θ ·cos +6 cos 2θ ·sin 4 4 2 =6 2sin θ cos θ +3 2(2cos θ -1) ? ? 1 2 2 1 ? 2× - 1 =6 2× × +3 2? ? 9 ? 3 3 ? ? = 8-7 2 . 3


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