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高一数学 正切函数的图像和性质


高一 学生姓名:
专 目 题 标

年级 数学 授课教师:

科辅导讲义(第 讲) 授课时间: 12.20

正切函数的性质与图像 掌握正切函数的图像和性质 五点法画图;正切函数的图像和性质;特殊角的正切值 正切函数的单调区间;最值

重 难 点 常 考 点

正切函数的

性质与图像
第一部分 知识梳理 1. 正切函数的图像

y

y

3 ? ? 2

?

?
2

?
2

?

3 ? 2

2. 正切函数 y ? tan x 的性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性 3. 函数 y ? A tan(? x ? ? ) 的周期为 T ?

? ?

第二部分

精讲点拨

考点 1 正切函数的图像的应用 (1) 直线 y ? a ( a 为常数)与正切曲线 y ? tan x 相交的相邻两点间的距离是( )

A. ?

B.

? 2

C. 2?

D 与 a 值有关

1

变式练习 解不等式 tan x ? ?1

考点 2

正切函数性质应用

(2)不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小 ① tan1670 与 tan1730 ; ②

? 11? tan ? ? ? 4

? ? 13? ? ? 与 tan ? ? ? ? ? 5 ?

(3)求函数 y ? tan 2 x 的定义域、值域和周期,并且求出它在区间 ?? , ? 内的图像

?

?

考点 3

利用整理的思想求函数的单调区间和定义域

【例 2】 求函数 y ? tan( x ?

?
3

) 的定义域,并讨论它的单调性

2

变式练习 求函数 y ? 3 tan(

?
4

? 2 x) 的单调区间

考点 4

正切函数综合应用

【例 3】试判断函数 f ( x ) ? lg

tan x ? 1 的奇偶性 tan x ? 1

【例 4】已知 ?

?
3

?x?

?
4

, f ( x) ? tan 2 x ? 2 tan x ? 2 ,求 f ( x) 的最大值与最小值,并且求相应 x 的值

第三部分 巩固练习
3

一、选择题 1.函数 y ? tan( x ?

?
4

) 的定义域是 (



A. ?x | x ? R, 且x ? 2k? ? C.

?
4

,k ? Z

?

B. D.

?x | x ? R, 且x ? k? ? 3? , k ? Z ? ?x | x ? R, 且x ? 2k? ? ? , k ? Z ?
4 4

?x | x ? R, 且x ? k? , k ? Z ?
?
2 , 则(


2.若

?
4

?? ?

A. sin ? ? cos ? ? tan ? C. sin ? ? tan ? ? cos ? 3.若函数 y=2tan(2x+

B. cos ? ? tan ? ? sin ? D. tan ? ? sin ? ? cos ?

? ) 的图象的对称中心是( ) 4 ? ? ? k? ? k? A. ( ,0) B. ( ,0) C. ( ? , 0) D. (? ? ,0) 8 4 8 4 8 4 ? 4.若函数 f ( x) ? 2 tan( kx ? ) 的最小正周期 T 满足 1 ? T ? 2 ,则自然数 k 的值为( ) 3
A.1,2 5. 函数 y=tan (2x+ A π B.2
? )的周期是 6

C.2,3 ( C

D .3 ) D ( ) D.b<a<c ( )

B 2π

? 2

? 4

6. 已知 a=tan1,b=tan2,c=tan3,则 a、b、c 的大小关系是 A. a<b<c B. c<b<a C. b<c<a

7. 下列函数中 ,同时满足(1)在(0, A

? )上递增; (2)以 2π 为周期;(3)是奇函数的是 2
C

y=|tanx|

B

y=cosx

y=tan

1 x 2
(

D y=- tanx )

8. 函数 y=lgtan

x 的定义域是 2

A .{x|kπ <x<kπ +

? ,k∈Z} 4

B . {x|4kπ <x<4 kπ + D. 第一、三象限

? ,k∈Z} 2

C.{x|2kπ <x<2kπ +π ,k∈Z} 9.方程x-tanx=0的实根个数为 A .1 B .2 C .3 D .无穷多

10.已知函数 y=tan ω x 在(-

? ? , )内是单调减函数,则 ω 的取值范围是 2 2
4

(

)

A .0< ω ≤ 1

B . -1≤ω <0

C. ω ≥1

D. ω ≤ -1

11.函数 y ? tan x cos x 的部分图象是

A.
5? ) 2 4 4 ? 3? 5? 3? ) ( , ) C. ( , 2 4 4 2
A. (

B.

C.
5? , ) (? , ) 4 2 4 ? 3? 3? ) ( ,? ) D. ( , 2 4 4
B. (

D.


12.若点 P(sin ? ? cos ? , tan ? ) 在第一象限,则在 [0, 2? ) 内 ? 的取值范围是(

? 3?
,

) (? ,

? ?

二.填空题 9 . 函数 y=2tan(
2

? x - )的定义域是 3 2

,周期是 ; ;

;

10 .函数 y=tan x-2tanx+3 的最小值是 11 .函数 y=tan(
x ? + )的递增区间是 2 3

12.下列关于函数 y=tan2x 的叙述:①直线 y=a(a∈R)与曲线相邻两支交于 A、B 两点,则线段 AB 长为π ; ②直线 x=kπ + 为 三. 解答题 13.不通过求值,比较下列各式的大小 (1)tan(.

? k? ,(k∈Z)都是曲线的对称轴;③曲线的对称中心是 ( ,0),(k∈Z),正确的命题序号 2 4

? 3? )与 tan() 5 7

(2)tan(

7? ? )与 tan ( ) 8 16

14.求函数 f ( x ) ? tan( 2 x ?

?
3

) 的定义域、周期、单调区间、对称中心.

5


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